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二项式定理说课
篇一:
二项式定理说课稿
《二项式定理》说课稿
一、教材分析
1.教材的地位和作用
二项式定理一节,分四个课时.这里讲的是第一课时,重点是公式的推导,其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用,至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时.
二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续,它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式,这一小节与不少内容都有着密切联系,特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于:
(1)由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系,本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识.
(2)由于二项式系数都是一些特殊的组合数,利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式,从而深化对组合数以及计数原理的认识.
(3)基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用.
(4)二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法.
2.教学的重点·难点
根据以上分析和新课标的教学要求确定了以下:
重点:
二项定理的推导及运用
难点:
二项式定理及通项公式的运用
二、三维教学目标分析
知识目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式,并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项.
能力目标通过探索二项式定理,培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力.
情感目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现,探索新知的精神,渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点,并通过数学的对称美,培养学生的审美意识.
三、教法分析:
新的数学课程标准提出:
掌握数学知识只是结果,而掌握知识的活动过程才是途径,通过这个途径,来挖掘人的发展潜能才是目的,结果应让位于过程.因此,在教学中,必须贯彻好过程性原则.也就是说,在教学过程中,充分揭示每一个阶段的思维活动过程,通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变,使教学活动成为思维活动的教学,由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程.
变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”,变教师是传授者为组织者、合作者、指导者,在学习过程中,教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣,并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中,让学生在探究、发现中获取知识,发展能力.从而增强学生的主体意识,提高学生学习的效果.
四、教学过程:
(一)创设情境,激发兴趣
提出问题:
“今天是星期六,我能很快知道再过810天的那一天是星期几,你能想出来吗?
”
设计意图:
根据教学内容特点和学生的认识规律,给学生提出一些能引起思考和争论性的题目,即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境,利用问题设下认知障碍,激发学生的求知欲望.
(二)问题初探
(1)、从具体问题入手,启发学生将这个问题转化成一个数学问题:
“求
23810被7除的余数是多少?
”因为8=7+1,82=(7+1)=72+2﹡7+1,83=(7+1)=73+3
72+3﹡7+1,那810=(7+1)10又如何展开呢?
更一般的(a+b)10、(a+b)n如何展开?
从而产生研究问题从特殊到一般的转化.
1、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出(a+b)2、(a+b)3、410(a+b)的展开式,然后提出用这种方法写出(a+b)的展开式容易吗?
(a+b)100、(a+b)n呢?
对于这个问题,我们如何解决?
设计意图:
复习旧知识,提问设疑,逐步推进,引起学生对学习的注意,为学生学习新课内容作知识上、方法上、心理上的准备.
(三)理性探究
引导学生对写出的(a+b)2、(a+b)3、(a+b)4的展开式进行下列四个方面的探究:
①项数;②各项次数;③字母a、b指数的变化规律;④各项系数等.在此过程中提创学生小组讨论,自由发表见解.在教学中发现,学生虽然注意到各展开式的结构特征,也很快能得出:
①项数;②各项次数;③字母a、b指数的变化规律,但还缺乏丰富的联想意识,即学生的观察往往不具有见微知著的联想能力,并且对各项系数的探究出现困难.于是进一步启发学生从多项式乘以多项式的过程中去发现思路,即研究a4、a3b?
?
这些项的形成过程中去寻找解决问题的方法,学生才领悟到a4是从(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)四个括号中,每个括号都取a然后相乘而得到,即每个括号都不取b,最后学生根据刚学过的组合数的算法得到共有C(或)种情况,因此a4的系数是C.利用同样的办法学生探究得到含a3b、a2b2、ab3、b4这些项的系数分别为、C、、,所以学
4生不难得到(a+b)的展开式,还可用组合数表示为:
(这些符号是大家熟悉的
组合数自己补充)
设计意图:
学生通过对三个展开式的自主探讨,亲历了知识的发生、发展、形成的过程,从而发现问题,提出问题,并在老师的引导下解决问题,达到了“创造性地使用教材,培养学生的创新意识”教学目的.
(三)归纳、猜想
学生通过对(a+b)2、(a+b)3、(a+b)4三个展开式探究,由学生归纳得出(a+b)n展开式有如下特性:
(1)共有n+1项;
(2)各项的次数都等于二项式的次数n;
(3)字母a的指数由n递减到0;同时字母b的指数由0递增到n;
(4)各项的系数依次为.
到此,学生大胆合理的猜想得到(a+b)n的展开式:
--------
这就是二项式定理.
设计意图:
学生在探究过程中通过观察、发现,类比从而是进行必要的归纳和合理的猜想得出结论,这是数学教学提创培养的,是一种创造性的思维活动,是掌握探求新知识的一种手段,也是进一步提高学生的归纳、推理、猜想能力的一种途径.
(四)分析定理的结构特点
1、展开式的项数;
2、学习通项;
3、分二项式系数与项的系数.
(五)尝试应用
10101、回到引例:
8=(7+1)用二项式定理展开,前10项的和是7的倍数,
第11项是1.所以,当今天是星期六,再过810天后是星期天.然后把8改为6,15,13,2,3,或把10改为100,1000结果又如何呢?
学生运用二项式定理很快得到答案.
设计意图:
回归问题,体现了知识的实际应用价值,学生的学习热情自然达到高潮.
2、例题展示
例1:
展开=.(变式:
把分式中的分子1改写为-2)
设计意图:
例1是二项式定理简单顺向应用,目的在于熟悉二项式定理.变式体现知识的多样性.
例2:
.
设计意图:
例2是二项式定理逆向运用,主要在于训练学生对二项展开式有几项,有哪些项进一步的探讨,然后对照本例题,考察题(来自:
WwW.:
二项式定理说课)目中项数是否完备,若不完备应如何处理,从而深化对二项式定理的理解,体现知识的严谨性.
例3:
求的展开式的第5项(变式:
求常数项或有理项;或含的项);
设计意图:
例3是用二项展开式的通项公式求给定项.变式是让学生从多方面多角度去应用二项式的通项公式,求展开式中的特定项,在教学中也可要求学生自己单独或小组合作的方式探究原题,然后增删原题中的条件或改写其结论,尽可能多演变出一些题目,并加以验证,从而培养学生的创造性思维和发散性思维能力.
例4:
求(x+3y-z)8展开式中含x2y3z3的项的系数.
设计意图:
例4是引导学生用推导二项式定理的思路去探索例4的解法,意在启发学生不但要重视定理的结论,而且要重视定理的推导过程,推导思路和方法,并且把推导方法在不知不觉中应用于解题,由此进一步深化本节课的重点.
(六)归纳与提高
1、小结二项式定理的推导,体现组合思想的应用;
2二项式定理的结构及其注意问题.
设计意图:
小结不只是对课堂内容的简单回顾,还应对所用数学思想、方法加以总结.
(七)作业:
(略,体现因材施教)
五教学评价
本节课的设计理念遵循以下原则
以学生为主体,以情趣为载体,以合作交流为手段,以能力提高为目的,重视知识的形成探索过程,学生通过自主探究,合作交流,体会合作学习的乐趣。
六板书设计:
(略,简洁明了)
篇二:
二项式定理说课稿
《二项式定理》说课稿
单位:
新郑一中
姓名:
张松业
《二项式定理》说课稿
一、教材分析
【教材的地位及作用】
二项式定理安排在高中数学选修2-3第三节,是排列组合内容后的一部分内容,其形成过程是组合知识的应用,同时也是自成体系的知识块,为随后学习的概率知识及概率与统计,作知识上的铺垫。
二项展开式与多项式乘法有密切的联系,本节知识的学习,必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。
运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题,例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。
【学生情况分析】
授课对象是高二中等程度班级的学生。
学生具有一般的归纳推理能力,学生思维较活跃,但创新思维能力较弱。
在学习过程中,大部分学生只重视定理、公式的结论,而不重视其形成过程。
(根据以上分析,结合新课标的理念,制订如下的教学目标和教学重、难点)。
【教学目标】
1、知识目标:
理解二项式定理及其推导方法,识记二项展开式的有关特征,并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。
2、能力目标:
在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中,培养学生观察、猜想、归纳的能力,以及学生的化归意识与知识迁移的能力。
3、情感目标:
(1)通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程,培养学生解决数学问题的兴趣和信心.
(2)通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程,使学生体会到数学内在的和谐对称美.
【教学重点、难点】
重点:
二项式定理的内容及应用。
难点:
掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。
二、教法、学法分析
数学是一门培养人的思维发展的重要学科。
因此,在教学中让学生自己发现规律是最好的途径。
正所谓“学问之道,问而得,不如求而得之,深固之。
”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习,积极探求为主,创设一个以学生为主体,师生互动,共同探索的教与学的情境,采用引导发现法,由学生熟悉的多项式乘法入手,进行分析,又可利用组合的有关知识加以分析、归纳,通过对二项展开式规律的探索过程,培养学生由特殊到一般,经过观察分析、猜想、归纳(证明)来解决问题的数学思想方法,培养了学生观察、联想、归纳能力。
不仅重视知识的结果,而且注重了知识的发生、发现和解决的过程,贯彻了新课程标准的教学理念,培育了本节课内容最佳的“知识生长点”,这对于学生建立完整的认知结构是有积极意义的。
三、教学手段
制作多媒体课件,以增加课堂容量,提高学生的兴趣,使学生加深对定理、概念的理解。
四、教学程序设计
1、复习引入:
初中学习的完全平方式是什么?
你能写出?
a?
b?
、?
a?
b?
的展开式吗?
3
4
【设计意图】
通过复习旧知识,自然引入,在这里设计了层层递进多项式展开问题,目的是为了让学生
了解知识发生、发展的过程,激发学生的认知的冲突,让学生明白?
a?
b?
实质上是多项式
n
的乘法。
2、定理的两种推导过程
思路一:
观察下列几个等式:
?
a?
b?
?
a?
b?
2
22
?
a?
2ab?
b?
a?
b?
?
a?
3ab?
3ab?
b
3
3
2
2
3
4
432234
?
?
a?
b?
?
?
a?
b?
?
a?
4ab?
6ab?
4ab?
b
3
提问:
(1)以?
a?
b?
为例,展开式中各项字母的形式是什么?
展开式项的次数是什么?
有几项?
4
(2)?
a?
b?
展开式中各项的系数与?
a?
b?
展开式中各项的系数有没有关系?
4
3
(3)你能猜想?
a?
b?
展开式的形式吗?
n
【设计意图】
由特殊的二项式来分析猜想一般的?
a?
b?
展开式,培养学生由特殊到一般的思维方式,培
n
养学生大胆探索的精神。
发现:
(1)展开式中各项是ab?
i?
i
j
j?
n?
的形式,可按
n?
1
a(或b)的降幂排成:
a,a
n
n?
1
b,a
n?
2
2
b,…,ab
,bn
n
(2)展开式中各项系数的规律:
将?
a?
b?
展开式的系数列成表如下:
n=1:
11n=2:
121n=3:
1331n=4:
14641……………发现:
发现每行两端都是1,后一行其它各数是上一行肩上二数之和。
再从一个数等于另二数之和联想到组合数及其性质:
C
m?
1n
?
Cn?
Cn?
1
mm?
1
,于是各项系数可写成表中形式:
C10C11C20C21C22C30C31C32C33CCCCC
1
2
3
4
4
4
4
4
4
………
由此猜想?
a?
b?
展开式的各项系数:
C,C,C,?
C
n
1
2
n
n
n
n
n
【设计意图】
学生对各项是ab形式不难猜测到,但对二项式系数不易想到。
通过“杨辉三角”中的数字规律,联想到组合数及性质,进而可用组合数来表示表中的数,从而猜想到?
a?
b?
rn
n
ij
各项系数为C?
r?
0,1,2,?
n?
,让学生的思维从特殊到一般,由迷茫到大悟,使学生深深体会到数学内在的和谐、对称美。
在此,适时对学生进行爱国主义教育,激发学生的民族自豪感和学习数学的热情。
思路二:
观察此式:
?
a?
b?
?
?
a?
b?
?
?
a?
b?
?
?
a?
b?
?
?
a?
b?
4
由多项式乘法知,其展开式的每一项是由4个括号各取一项相乘而得,故每一项都是ab
i
j
?
i?
j?
4?
形式,即a,ab,ab,ab,b。
各项系数是由相同的项合并而成,有几项其系数
4
3
2
2
3
4
就是几,故
含a4的项只能由每个括号取a不取b(或说取0个b)而得,即C
ab4
4
,系数为:
C40
含a3b的项只能由1个括号取b,余下的3个括号取a而得,即C41a3b,系数为:
C41含ab的项只能由2个括号取b,余下的2个括号取a而得,即Cab,系数为:
C42
2
2
2
2
2
4
含ab3的项只能由3个括号取b,余下的1个括号取a而得,即C含b的项只能由4个括号都取b而得,即C44b4,系数为C44
4
34
ab
3
,系数为;C43
从而可得:
?
a?
b?
?
Ca?
Cab?
Cab?
Cab?
Cb
4
4
1
3
2
2
2
3
3
4
4
4
4
4
4
4
提问:
?
a?
b?
的展开式怎么写呢?
n
引导学生回答:
可以对b分类:
不取b,取1个b,取2个b,…,取k个b,…,取n个b
将这n+1个式子相加,可得二项式定理
?
a?
b?
n
?
Cnab?
Cnab?
Cna
0n01n?
12n?
2
2
?
?
?
Cnna0bnb?
【设计意图】
本环节以问题为中心,由浅入深地引导学生大胆猜想。
利用组合知识,充分揭示二项展开式的内涵和外延。
帮助学生建构和完善自己的认知结构,既显得合情合理,又科学严谨。
进一步强化学生的逻辑思维能力和归纳能力。
3、定理及其特点
把上述探索得到的结果叫做二项式定理,右边的多项式,共有n+1项,其中各项系数
Cn?
r?
1,2,3,?
n?
叫做二项式系数,其通项公式为:
T?
Cab?
0?
r?
n?
r
n?
r
r
r?
1
n
r
说明:
(1)猜证法是数学中常用方法,本定理是由不完全归纳法得出,需加以证明。
其证明因目前知识所限,留待以后完成,目前,只要求同学熟记并会应用。
(2)二项式定理是个恒等式,定理中字母a、b可表示数或式,其中n?
N.(3)展开式共有n+1项,各项次数为n,它是按字母a降幂,b升幂排列。
(4)通项公式表示的是第r+1项,不是第r项,且a、b位置不能对换。
?
(5)二项式系数为C,注意与项的系数的区别。
例如:
?
1?
2x?
的第四项是T?
C1?
2x?
其二项式系数为:
C73?
35,第四项的系数为:
7
3
4
3
4
7
C7?
2?
280
33
。
【设计意图】
对定理的特点加以说明,可使学生能熟练掌握定理的特点,以便今后在应用定理解决问题时能得心应手。
4、应用解析:
例1:
展开?
1?
?
1?
?
x?
?
4
例2:
求?
2a?
3b?
展开式的第3项
6
例3:
?
3b?
2a?
展开式的第三项
6
【设计意图】例1是对二项式定理的简单应用,目的在于对定理字母a、b所表示的数或
式的领会及运用定理的能力;例2、3二题着重于学生对通项公式的掌握,体会二项式定理?
a?
b?
的展开式中a与b位置不能对换,并注意到例(3)的结论正是例
(2)展开式中
n
的倒数第3项。
例4?
a?
2b?
3c?
的展开式中,a2b3c2项的系数是多少?
7
【设计意图】
本题可先将其中的二项看成是一个整体,再用二项式定理展开,进而求出其系数,这种解法体现了化归的意识,但本题如能根据二项式定理的形成过程中项的系数的探究,可得如下解法:
从7个括号的2个里取“a”得C7a,再从余下的5个括号中的3个取”2b“得
3
C5?
2b?
,最后剩下的2个括号里取“3c”得:
C?
3c?
,由分步计数原理得:
3
2
2
2
22
223223232232C7a?
C5?
2b?
?
C2?
3c?
?
72C7C5abc?
15120abc
3
2
通过本题的学习,有利于学生对知识的串联、累积、加工,使学生的思维有一个升华过程,从而达到举一反三的效果,加深学生对数学本质的理解。
5、课堂小结由思路一:
由特殊的二项式来分析猜想一般的?
a?
b?
展开式
n
思路二:
根据多项式乘法、结合组合知识,通过猜想归纳得到。
篇三:
二项式定理说课教案
二项式定理说课教案
教材分析一、教材地位:
二项式定理是在初中学习的多项式的基础上研究一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式。
由于二项式系数是一些特殊的组合数,因此学完组合后讲二项式定理能加深对组合数的理解。
二项式定理与后边要学习的概率中的二项分布有其内在的联系,是准备知识,因此,二项式定理在本章的学习中起着承上启下的作用。
二、教学(学习)目标:
1,知识目标:
正确理解掌握二项式定理及其通项公式。
2,能力方法目标:
(1)培养学生观察、分析、归纳、发现事物内在规律的能力。
(2)培养学生严格的逻辑思维能力及创造性思维能力。
3,德育目标:
(1)通过对问题的研究,培养学生用辩证唯物主义的观点处理问题。
(2)培养学生热爱学习,善于观察,勇于探索科学规律的精神。
4,情感目标:
通过引例激发学生的学习兴趣,调动学生的积极性,使学生能积极参与到探索未知事物的过程中去,从而主动获取知识。
三、教学重点、难点:
重点:
正确理解和掌握二项式定理。
难点:
二项式定理的推导,定理大致按“设想→突破→建构→论证”四个层次得
到的。
(定理的证明本课不做要求)
突破难点的关键:
运用类比、归纳的思想,摸索出规律,从而使问题得到解决。
教学方法分析
教学方法:
是“导悟研评”式教学方法.
其中包括:
导学悟学:
师导生悟,教师引导学习,学生自学自悟.
研学:
小组合作,通过观察、研究、分析、归纳发现定理。
评学:
师生共同总结出定理及其通项公式,本节所用的数学思想和方
法。
通过例题及变式训练研究定理的应用.整个过程渗透对学生学法的指导。
在对定理的探索中不断激发学生的学习兴趣,使学生学会观察、发现问题,体会到发现的乐趣。
教学设计分析
一、导学阶段:
导入设问设计两个问题:
1、引例:
今天是星期一,7100天后是星期几?
8100天后呢?
设计意图:
激发学生的学习兴趣,产生求知欲,并指出用本节的知识就可以解
决这个问题:
2、初中学习了完全平方公式和立方公式,上一节又学习了组合数公式,大家思
考一下:
把完全平方公式和立方公式的系数用组合数表示出来。
(a+b)2=a2+2ab+b2=C02a2+C12ab+C22b2
(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3
设计意图:
对比这两个展开式的系数,使学生产生联想,去探讨(a+b)n的情况,
为本课的学习做好知识铺垫。
二、研学阶段:
(探索规律,得出结论)1、提出问题:
(a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b)展开式中的各项是什么?
思考:
在上面的展开式中,ab3是怎样来的?
有多少个?
学生讨论后发现:
ab3=abbb是从上面四个括号中各选一个而来的。
三个b从四个括号中给出,四个括号中选三个b,有C34种选法,由于选出三个b后,剩下的一个括号自然选出a,因此,a与b3是同时得到的,所以在计算ab3数目时,只需考虑b3的数目就可以了,而不必考虑a的数目,所以ab3的个数是C34,即ab3的系数是C34。
再引导学生按刚才的道理分别写出a4,a3b,a2b2,ab3,b4的系数。
设计意图:
引导学生追究每个系数的来源,借助于组合的思想,组合的符号,
经过努力,学生们可以找到规律,从中体会到探索的乐趣。
2、归纳结论:
(!
)由上面的探索得到:
(a+b)4=C04a4+C14a3b+C24a2b2+C34ab3+C44b4
(2)让学生按上面的规律写出(a+b)5,(a+b)6的展开式。
(a+b)5=C05a5+C15a4b+C25a3b2+C35a2b3+C45ab4+C55b5
(a+b)6=C06a6+C16a5b+C26a4b2+C36a3b3+C46a2b4+C56ab5+C66b6(3)归纳:
一般对于任意的正整数n,有:
(a+b)n=C0nan+C1nan-1b+?
+Crnan-rbr?
+Cnnbn(n∈N*)并指出:
①这个式子所表示的定理叫二项式定理。
右边的多项式叫(a+b)n的二项展开式。
各项系数Crn(r=0、1、2、?
、n)叫做二项式系数。
②式子中的Crnan-rbr叫做二项展开式的通项。
记做:
Tr+1=Crnan-rbr。
③1665年初,牛顿发现了二项式定理,1666年,牛顿、莱布尼兹用数学归纳法证明了此定理。
(此处不证)
设计意图:
上述结论是从分析了少数特例后,得出了一般的结论,这种方法
叫不完全归纳法,还需用数学归纳法证明,但这里教材不要求证明了。
让学生知道,不完全归纳法容易发现规律,但不可靠,需证明。
3、特例:
(1)在(a+b)n中用-b代b得(a-b)n的展开式:
(a-b)n=C0nan-C1nan-1b+?
+Crnan-r(-b)r?
+Cnn(-b)n(n∈N*)这里:
Tr+1=(-1)rCrnan-rbr
设计意图:
使学生明确通项是针对标准式(a+b)n而言的,如果换成了(a-b)n,则
需注意符号,从而加深了对定理的理解。
(2)在二项式定理中,令a=1,b=x得公式:
(1+x)n=C0n+C1nx+?
+Crnxr+?
+Cnnxn
设计意图:
使学生明确,“取特例”是研究数学问题的一种方法。
可结合具体例
子让学生体会。
三、研学、评学阶段:
(研究定理的应用,运用所学知识解题)
1
例1、展开(1+)4(类型:
直接按定理展开)
x
例2、展开(2x?
1x
)6(类型:
当二项式较复杂时,先将式子化简再展开)
例3、求(x+a)12的展开式中的倒数第四项。
(类型:
利用通项公式求指定项)变式训练:
求(1-2x)7的展开式的第四项、第四
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