等比数列的前n项和练习题.docx
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等比数列的前n项和练习题
等比数列的前n项和练习
1、设Sn是数列{an}(n∈N*)的前n项和,已知a1=4,an+1=Sn+3n,设bn=Sn﹣3n.
(Ⅰ)证明:
数列{bn}是等比数列,并求数列{bn}的通项公式;
(Ⅱ)令cn=2log2bn﹣+2,求数列{cn}的前n项和Tn.
2、已知数列{an}的前n项和Sn=,且a1=1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)令bn=lnan,是否存在k(k≥2,k∈N*),使得bk、bk+1、bk+2成等比数列.若存在,求出所有符合条件的k值;若不存在,请说明理由.
3、数列{an}满足a1=1,a2=r(r>0),令bn=an•an+1,{bn}是公比为q(q≠0,q≠﹣1)的等比数列,设cn=a2n﹣1+a2n.
(1)求证:
cn=(1+r)•qn﹣1;
(2)设{cn}的前n项和为Sn,求的值;
(3)设{cn}前n项积为Tn,当q=﹣时,Tn的最大值在n=8和n=9的时候取到,求n为何值时,Tn取到最小值.
4、已知等比数列{an}的公比为q,a1=,其前n项和为Sn(n∈N*),且S2,S4,S3成等差数列.
(I)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn=Sn﹣(n∈N*),求bn的最大值与最小值.
5、等比数列{}的前n项和为,已知,,成等差数列
(1)求{}的公比q;
(2)若-=3,求。
6、对于一组向量(),令,如果存在(),使得,那么称是该向量组的“向量”.
(1)设(),若是向量组的“向量”,
数的取值围;
(2)若(),向量组是否存在“向量”?
给出你的结论并说明理由;
(3)已知均是向量组的“向量”,其中,
.设在平面直角坐标系中有一点列满足:
为坐标原点,为的位置向量的终点,且与关于点对称,与()关于点对称,求的最小值.
7、已知数列为等比数列,其前项和为,已知,且对于任意的有,,成等差数列.
求数列的通项公式;
已知(),记,若对于恒成立,数的围.
8、已知各项都为正数的等比数列的前n项和,数列的通项公式
,若是与的等比中项。
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前n和项。
9、等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=10,a2为整数,且在前n项和中S4最大.
(1)求{an}的通项公式;
(2)设bn=,n∈N+.
①求证:
bn+1<bn≤;
②求数列{b2n}的前n项和Tn.
10、设为公比不为1的等比数列,=16,其前n项和为,且5、2、成等差数列.
(l)求数列的通项公式;
(2)设,为数列的前n项和.是否存在正整数k,使得对于任意n∈N*不等式>恒成立?
若存在,求出k的最小值;若不存在,请说明理由.
11、为了加强环保建设,提高社会效益和经济效益,某市计划用若干年时间更换10000辆燃油型公交车。
每更换一辆新车,则淘汰一辆旧车,更换的新车为电力型车和混合动力型车。
今年初投入了电力型公交车辆,混合动力型公交车辆,计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加,混合动力型车每年比上一年多投入辆.设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量,设、分别为年里投入的电力型公交车、混合动力型公交车的总数量。
(1)求、,并求年里投入的所有新公交车的总数;
(2)该市计划用年的时间完成全部更换,求的最小值.
12、已知等比数列的前n项和为,且满足.
(I)求p的值及数列的通项公式;
(II)若数列满足,求数列的前n项和.
13、已知递增等比数列的前n项和为,,且.
(Ⅰ)求数列的通项公式;
(Ⅱ)若数列满足,求的前项和.
14、等差数列中,,公差且成等比数列,前项的和为.
(1)求及.
(2)设,,求
15、本题共有2个小题,第1小题满分7分,第2小题满分7分.
已知a>0且a1,数列{an}是首项与公比均为a的等比数列,数列{bn}满足bn=anlgan(nN*).
(1)若a=3,求数列{bn}的前n项和Sn;
(2)若对于nN*,总有bn 16、已知点是区域的点,目标函数的最大值记作,若数列的前n项和为,,且点在直线上。 (1)证明: 数列是等比数列; (2)求数列的前n项和。 17、设数列是各项均为正数的等比数列,其前项和为,若,. (1)求数列的通项公式; (2)对于正整数(),求证: “且”是“这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件; (3)设数列满足: 对任意的正整数,都有 ,且集合中有且仅有3个元素,试求的取值围. 18、已知等比数列,则 A. B. C. D. 19、现有六名篮球运动员进行传球训练,由甲开始传球(第一次传球是由甲传向其他五名运动员中的一位),若第次传球后,球传回到甲的不同传球方式的种数记为. (1)求出、的值,并写出与≥的关系式; (2)证明数列是等比数列,并求出数列的通项公式; (3)当≥时,证明: . 20、定义: 若各项为正实数的数列满足,则称数列为“算术平方根递推数列”. 已知数列满足且点在二次函数的图像上. (1)试判断数列是否为算术平方根递推数列? 若是,请说明你的理由; (2)记,求证: 数列是等比数列,并求出通项公式; (3)从数列中依据某种顺序自左至右取出其中的项,把这些项重新组成一个新数列: .(理科)若数列是首项为、公比为的无穷等比数列,且数列各项的和为,求正整数的值. (文科)若数列是首项为,公比为的无穷等比数列,且数列各项的和为,求正整数的值. 答案 1、(Ⅰ)由an+1=Sn+3n可得Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2(Sn﹣3n),从而得到bn+1=2bn,于是有: 数列{bn}是等比数列,可求得b1=1,从而可求得数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)由(Ⅰ)得: cn=2log2bn﹣+2=2n﹣,设M=1++++…++…①则M=++++…++…②,利用错位相减法即可求得数列{cn}的前n项和Tn. 证明: (Ⅰ)∵an+1=Sn+3n, ∴Sn+1﹣Sn=Sn+3n 即Sn+1=2Sn+3n, ∴Sn+1﹣3n+1=2Sn+3n﹣3n+1=2(Sn﹣3n) ∴bn+1=2bn…(4分) 又b1=S1﹣3=a1﹣3=1, ∴{bn}是首项为1,公比为2的等比数列, 故数列{bn}的通项公式为bn=2n﹣1…(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)得: cn=2log2bn﹣+2=2n﹣…(8分) 设M=1++++…++…① 则M=++++…++…② ①﹣②得: M=1+++++…+﹣=2﹣﹣, ∴M=4﹣﹣=4﹣, ∴Tn=n(n+1)+﹣4…(12分) 2、 (1)直接利用an=Sn﹣Sn﹣1(n≥2)求解数列的通项公式即可(注意要验证n=1时通项是否成立). (2)先利用 (1)的结论求出数列{bn}的通项,再求出bkbk+2的表达式,利用基本不等式得出不存在k(k≥2,k∈N*),使得bk、bk+1、bk+2成等比数列. 解: (1)当n≥2时,,(2分) 即(n≥2).(4分) 所以数列是首项为的常数列.(5分) 所以,即an=n(n∈N*). 所以数列{an}的通项公式为an=n(n∈N*).(7分) (2)假设存在k(k≥2,m,k∈N*),使得bk、bk+1、bk+2成等比数列, 则bkbk+2=bk+12.(8分) 因为bn=lnan=lnn(n≥2), 所以 .(13分) 这与bkbk+2=bk+12矛盾. 故不存在k(k≥2,k∈N*),使得bk、bk+1、bk+2成等比数列.(14分) 3、 (1)根据题意得出=q(n≥2),判断出奇数项,偶数项分别成等比数列,运用等比数列的通项公式求解即可. (2)运用等比数列的求和公式得出q=1时,Sn=(1+r)n,=0,q≠1时,Sn=,=,分类讨论求解即可 (3)利用条件得出(1+r)8(﹣)28=(1+r)9(﹣)36,r=28﹣1=255,Tn=(256)n•(﹣2)=(﹣1)•2,再根据函数性质得出最小项,注意符号即可. 解: (1)bn=an•an+1,{bn}是公比为q(q≠0,q≠﹣1)的等比数列, 因为数列{anan+1}是一个以q(q>0)为公比的等比数列 因此=q,所以=q(n≥2), 即=q(n≥2), ∴奇数项,偶数项分别成等比数列 ∵设cn=a2n﹣1+a2n. ∴cn=1•qn﹣1+r•qn﹣1=(1+t)•qn﹣1 ∴bn=(1+r)•qn﹣1 (2)q=1时,Sn=(1+r)n,=0 q≠1时,Sn=,= 若0<q<1,= 若q>1,=0∴ = (3)设{cn}前n项积为Tn,当q=﹣时,Tn=(1+r)n ∵Tn的最大值在n=8和n=9的时候取到, ∴(1+r)8(﹣)28=(1+r)9(﹣)36,r=28﹣1=255, ∴Tn=(256)n•(﹣2)=(﹣1)•2, 根据数列的函数性质得出n=7,n=10时,Tn的最小值为﹣235. 4、(Ⅰ)利用等比数列的前n项和公式表示出S2,S4,S3,然后根据S2,S4,S3成等差数列,利用等差数列的性质列出关系式,将表示出的S2,S4,S3代入得到关于a1与q的关系式,由a1≠0,两边同时除以a1,得到关于q的方程,求出方程的解,即可得到数列{an}的通项公式; (Ⅱ)Sn=1﹣,分类讨论,利用函数的单调性,即可求出bn的最大值与最小值. 解: (Ⅰ)由题意,q≠1,则 ∵S2,S4,S3成等差数列, ∴2S4=S2+S3, 又数列{an}为等比数列, ∴4(a1+a1q+a1q2+a1q3)=(a1+a1q)+(a1+a1q+a1q2), 整理得: 2q2﹣q﹣1=0, 解得: q=1或q=﹣, ∴an=; (Ⅱ)Sn=1﹣, n为奇数时,Sn=1+,随着n的增大而减小,所以1<Sn≤S1=, 因为y=x﹣在(0,+∞)上为增函数,bn=Sn﹣(n∈N*), 所以0<bn≤; n为偶数时,Sn=1﹣,随着n的增大而增大,所以S2≤Sn<1, 因为y=x﹣在(0,+∞)上为增函数,bn=Sn﹣(n∈N*), 所以﹣≤bn<0; 所以﹣≤bn<0或0<bn≤, 所以bn的最大值为,最小值为﹣. 5、(Ⅰ)依题意有 由于,故,又,从而……6分 (Ⅱ)由已知可得,故 从而 …………………………12分 6、 (1)由题意,得: ,则………………..2’ 解得: ………………..4’ (2)是向量组的“向量”,证明如下: , 当为奇数时, ………………..6’ ,故………8’ 即 当为偶数时, 故 即 综合得: 是向量组的“向量”………………..10’ (3)由题意,得: ,,即 即,同理, 三式相加并化简,得: 即,,所以………………..13’ 设,由得: 设,则依题意得: , 得 故 所以 ……16’ 当且仅当()时等号成立 故………………..18’ 7、 8、 关闭 9、 (1)利用等差数列的通项公式及其性质即可得出; (2)①利用数列的单调性即可证明; ②利用“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出. 解析: (1)由a1=10,a2为整数,等差数列{an}的公差d为整数. 又Sn≤S4,故a4≥0,a5≤0,即10+3d≥0,10+4d≤0, 解得, 因此d=﹣3. 数列{an}的通项公式为an=10﹣3(n﹣1)=13﹣3n. (2)①证明: 由 (1)可知: bn==, ∴bn+1﹣bn=<0, ∴数列{bn}是单调递减数列,{bn}的最大项为b1=. ∴bn+1<bn≤. ②, , 两式相减可得=﹣=﹣, ∴Tn=. 10、 (1)解: ∵5S1、2S2、S3成等差数列 ∴,即 2分 ∴ ∵,∴q=2 4分 又∵,即, ∴. 5分 (2)解: 假设存在正整数k使得对于任意n∈N*不等式都成立 则 7分 又 9分 所以 10分 显然Tn关于正整数n是单调递增的,所以 ∴,解得k≥2. 11分 所以存在正整数k,使得对于任意n∈N*不等式都成立 且正整数k的最小值为. 12分 11、 (1)设、分别为第年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量, 依题意知,数列是首项为、公比为的等比数列; 1分 数列是首项为、公差为的等差数列, 2分 所以数列的前和, 4分 数列的前项和, 6分 所以经过年,该市更换的公交车总数 ; 7分 (2)因为、是关于的单调递增函数, 9分 因此是关于的单调递增函数, 10分 所以满足的最小值应该是, 11分 即,解得, 12分 又,所以的最小值为147. 13分 12、 …………12分 13、 (1)设公比为q,由题意: q>1,,则,,∵,∴, 则 解得: 或(舍去), ∴ (2) 则 14、 (1)有题意可得又因为……2分 …………………4分 (2) ………6分 …………10分 15、 (1)由已知有, , , 所以 , .………………………………………………………7分 (2)即.由且,得, 所以或 即或对任意nN*成立, 且,所以或……………………………………………14分 16、 (Ⅱ)由(Ⅰ)得,∴ ∵, ∴………10分 ∴ …………13分 17、 (1)数列是各项均为正数的等比数列,,, 又,,,; …………4分 (2)(ⅰ)必要性: 设这三项经适当排序后能构成等差数列, ①若,则,,, . …………6分 ②若,则,,左边为偶数,等式不成立, ③若,同理也不成立, 综合①②③,得,所以必要性成立. …………8分 (ⅱ)充分性: 设,, 则这三项为,即,调整顺序后易知成等差数列, 所以充分性也成立. 综合(ⅰ)(ⅱ),原命题成立. …………10分 (3)因为 , 即 ,(*) 当时, ,(**) 则(**)式两边同乘以2,得 ,(***) (*)-(***),得,即, 又当时,,即,适合,.………14分 ,, 时,,即; 时,,此时单调递减, 又,,,,. ……………16分 18、C 19、 (1),,; (2)(3)见解析. 解析: (1),, 第次传球后,不同传球方式种数为,不在甲手中的种数为, ∴当≥时, ……5分 (2)由=-+得,, 又,则数列是以为首项,为公比的等比数列. 从而,故. …………9分 (3).当≥为奇数时,则为偶数 < 当≥为偶数时,则为奇数,从而 综上,当≥时,. …………分 【思路点拨】 (1)第次传球后,不同传球方式种数为,不在甲手中的种数为,由此能求出,,即可写出与≥的关系式. (2)由=-+得,,由此能证明数列是以为首项,为公比的等比数列.,从而能求出. (3)当≥为奇数时,则为偶数,;当≥为偶数时,则为奇数,从而,由此能证明当≥时,. 20、 (1)答: 数列是算术平方根递推数列. 理由: 在函数的图像上, ,. 又, ∴. ∴数列是算术平方根递推数列. 证明 (2), . 又, 数列是首项为,公比的等比数列. . (理)(3)由题意可知,无穷等比数列的首项,公比, . 化简,得. 若,则.这是矛盾! . 又时,, . . (文)(3)由题意可知,无穷等比数列的首项,公比, . 化简,得. 若,则.这是矛盾! . 又时,, . .
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