专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案.docx
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专题训练蚂蚁爬行的最短路径含答案
专题训练蚂蚁爬行的最
短路径含答案
Documentserialnumber[UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108]
蚂蚁爬行的最短路径
1.一只蚂蚁从原点0出发来回爬行,爬行的各段路程依次为:
+5,-3,
+10,-8,-9,+12,一10・
-10-9-8-7-6-5-4-3-2-1012345678910^
回答下列问题:
(1)蚂蚁最后是否回到出发点0;
(2)在爬行过程中,如果每爬一个单位长度奖励2粒芝麻,则蚂蚁一共得到多少粒芝麻.
解:
(1)否,0+5-3+10-8-9+12-10二-3,故没有回到0;
(2)(|+5+-3+|+10|+|-8+|-9+1+12)+1-10)X2=114粒
2.如图,边长为1的正方体中,一只蚂蚁从顶点力出发沿着正方体的外
A表面爬到顶点方的最短距离是Z
解:
如图将正方体展开,根据“两点之间,线段最短”知,线段力方即为最短路线.
3・(2006?
茂名)如图,点小方分别是棱长为2的正方体左、右两侧面
的中心,一蚂蚁从点月沿其表面爬到点方的最短路程是
解:
由题意得,从点月沿其表面爬到点万的最短路程是两个棱长的长,
即2+2=4.
B
4.如图,一只蚂蚁从正方体的底面力点处沿着表面爬行到点上面的万点处,它爬行的最短路线是()
A.A=>P=>BB.A=>BC.A=>BD.A=>S=^B
Q
A
解:
根据两点之间线段最短可知选
5-如图,点力的正方体左侧面的中心,点方是正方体的一个顶点,正方
体的棱长为2,—蚂蚁从点/沿其表面爬到点万的最短路程是()
解:
如图,停^(1+2)2+12=Vio.故选c
6.正方体盒子的棱长为2,尸C的中点为胚一只蚂蚁从力点爬行到M点
的最短距离为()
解:
展开正方体的点〃所在的面,
T必的中点为必
所以Mt-BO1,
2
在直角三角形中4庐何+(屮尸二皿.
7-如图,点力和点方分别是棱长为20伽的正方体盒子上相邻面的两个
中心,一只蚂蚁在盒子表面由力处向万处爬行,所走最短路程是
解:
将盒子展开,如图所示:
A5E店1^1X204X20=20^
故选C.
A
8
D
E
F
G
8.正方体盒子的棱长为2,庞的中点为胚
一只蚂蚁从力点爬行到朋点
的最短距离为.
M7
解:
将正方体展开,连接財、D1,
根据两点之间线段最短,
•肛QQM+2二3,
•也二JmD,+DD;=孙+2?
=、厉•9.如图所示一棱长为3⑵的正方体,把所有的面均分成3X3个小正方形.其边长都为13,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下底面点力沿表面爬行至侧面的方点,最少要用_秒钟.
解:
因为爬行路径不唯一,故分情况分别计算,进行大、小比较,再从各个路线中确定最短的路线.
(1)展开前面右面由勾股定理得/企血+3尸+⑵2二岳cm;
(2)展开底面右面由勾股定理得&庆何+(2+疔二5皿;
所以最短路径长为5他,用时最少:
5于2二秒.
10.(2009*恩施州)如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点万
离点C的距离为5,—只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点/爬到点5需要爬行的最短距离是o
解:
将长方体展开,连接/、B、
根据两点之间线段最短,AB=V152+202=25.
4C
11・如图,一只蚂蚁从实心长方体的顶点力出发,沿长方体的表面爬到
对角顶点G处(三条棱长n
路线最短最短路线长
如图所示),问怎样走
q
1为.
C
解:
正面和上面沿45展开如图,连接AQyAMG是直角三角形,
:
.AC,=JaB?
+BC;=、加+(1+2)2=V42+32=5
12.如图所示:
有一个长、宽都是2米,高为3米的长方体纸盒,一只小蚂蚁从A点爬到方点,那么这只蚂蚁爬行的最短路径为
米。
解:
由题意得,
路径_:
册V(3+2)2+22=V29;路径二:
AB=他+2)2+312二5;
路径三:
A&-V(3+2)2+22=V29:
•・•宓>5,
・・・5米为最短路径.
13.如图,直四棱柱侧棱长为4皿,底面是长为5皿宽为3⑵的长方
形.一只蚂蚁从顶点月出发沿棱柱的表面爬到顶点方・求:
(1)
蚂蚁经过的最短路程;
(2)
解:
(1)月尸的长就为最短路线.
蚂蚁沿着棱爬行(不能重复爬行同一条棱)的最长路程.
所以蚂蚁经过的最短路程是^cm.
A
然后根据若蚂蚁沿侧面爬行,则经过的路程为V(5+3)2+42=V80
(cm};
X蚂蚁沿侧面和底面爬行,则经过的路程为V(4+3)2+52=V74(皿),或7(4+5)2+32=V905)
(2)5c血4czs+5c时4c卅3c盼4cn^oczzf30顷
14.如图,在一个长为50皿,宽为40cm,高为30皿的长方体盒子的顶
点/处有一只蚂蚁,它要爬到顶点厂处去觅食,最短的路程是多少
D1D2E15
解:
图1中,.4B=V402+802=40V§fts89.4cm.
图2中,AB=V902+302=30V10«94.7czzz.
图3中,AB=V502+702=20V15w77.5cz?
z.
・•・采用图3的爬法路程最短,为2QV15CZZ7
15.如图,长方体的长、宽、高分别为6皿,8cm,4c/n.一只蚂蚁沿着长
方体的表面从点A爬到点B.则蚂蚁爬行的最短路径的长是。
解:
第一种情况:
把我们所看到的前面和上面组成一个平面,
则所走的最如线段是妙甸二6许皿;
第二种情况:
把我们看到的左面与上面组成一个长方形,
则这个长方形的长和宽分别是10⑵和8皿,
所以走的最短线段是V102+82=励⑵;
第三种情况:
把我们所看到的前面和右面组成一个长方形,
则这个长方形的长和宽分别是14⑵和4皿,
所以走的最短线段是侮再二2侬⑵;
三种情况比较而言,第二种情况最短.
16.如图是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20cm、3cm、
2cm./和方是这个台阶上两个相对的端点,点/处有一只蚂蚁,想到点
8处去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬行到点8的最短路程为
解:
三级台阶平面展开图为长方形,长为20cm,宽为(2+3)X3皿,
则蚂蚁沿台阶面爬行到方点最短路程是此长方形的对角线长.
可设蚂蚁沿台阶面爬行到万点最短路程为xan,
由勾股定理得:
r=202+[(2+3)X3]:
=25:
解得a=25.
17.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5皿,
3⑵和lc加力和方是这个台阶的两个相对的端点,力点上有一只蚂蚁,
想到方点去吃可口的食物•请你想一想,这只蚂蚁从/点出发,沿着台阶
面爬到方点,最短线路是皿
解:
将台阶展开,如下图,
因为SO3X3+1X3二12,BE,
所以肋2二血二169,
所以初=13(cm),
所以蚂蚁爬行的最短线路为13cm.
答:
蚂蚁爬行的最短线路为13⑵.
1
\
\
\
\
\
A
CB
18.(2011・荆州)如图,长方体的底面边长分别为2⑵和4c皿高为
5⑵.若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达0点,则蚂奴爬
行的最短路径长为£
0
解:
•••刊二2X(4+2)二12,0二5
故答案为:
13-
19.如图,一块长方体砖宽4W5皿,长NDNOcm,仞上的点方距地面的
高Bgcm,地面上/处的一只蚂蚁到方处吃食,需要爬行的最短路径是
多少
则肋的长即为A处到方处的最短路程.
因为血匕4」化\》5+10二15,BX&
所以AB^AD^BD^15:
+8:
=289=1T.
所以Allicin.
20.(2009-佛山)如图,一个长方体形的木柜放在墙角处(与墙面和地
面均没有缝隙),有一只蚂蚁从柜角力处沿着木柜表面爬到柜角G处.
(1)请你画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径;
(2)当AB=4,方*4,CG二5时,求蚂蚁爬过的最短路径的长;
(3)求点3到最短路径的葩离.
解:
(1)如图,木柜的表面展开图是两个矩形宓血和ACC.A,,
故蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径有如图的
和(2分)
(2)蚂蚁沿着木柜表面经线段45到G,
爬过的路径的长是1尸网+(4+5)2二阿.(3分)
蚂蚁沿着木柜表面经线段甌到G,爬过的路径的长是
Z2=7(4+4)2+52=V89.(4分)
厶〉厶故最短路径的长是b二俪.(5分)
(3)作BHAG于E,
则=W•心「兔・5二韻倔为卩丿昧.(8分)
21.有一圆柱体如图,高4c加底面半径5皿,/处有一蚂蚁,若蚂蚁欲
爬行到C处,求蚂蚁爬行的最短距离.
笛9
解:
"的长就是蚂蚁爬行的最短距离.C,。
分别是庞,处的中点.
侶2乃・5二10”.AIA5开•
AOyjAEt+CD1^16cm.
故答案为:
16cm.
BCE
ezr
•
•
•r
•z
z
D
22.有一圆形油罐底面圆的周长为24规高为6亦一只老鼠从距底面5
的A处爬行到对角方处吃食物,它爬行的最短路线长为.
解:
畑后+12,=\3/n
23.如图,一只蚂蚁沿着图示的路线从圆柱高山l的端点力到达4,若圆
柱底面半径为仝,高为5,则蚂蚁爬行的最短距离为
解:
I大I为圆柱底面圆的周长为2兀X—=12,咼为5,
71
所以将侧面展开为一长为12,宽为5的矩形,根据勾股定理,对角线长为诉耳0二13.
故蚂蚁爬行的最短距离为13.
24.如图,一圆柱体的底面周长为24cm,高肋为9皿方C是上底面的直
径.一只蚂蚁从点/出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,则蚂蚁爬行的最
短路程是
解:
如图所小:
由于圆柱体的底面周长为24cm,则肋=24X丄二12cm
2
乂因为CgAB=Qcm,
・・
・■
・**
.厂
8C
AD
所以彳°畑+解二15⑵.
故蚂蚁从点A出发沿着圆柱体的表面爬行到点C的最短路程是15皿・故答案为:
15.
25.(2006-荆州)有一圆柱体高为10伽,底面圆的半径为4皿,
阴为相对的两条母线.在曲1上有一个蜘蛛0,创二3皿;在拠上有一只
苍蝇只PBUlcm,蜘蛛沿圆柱体侧面爬到尸点吃苍蝇,最短的路径是
cm.(结果用带〃和根号的式子表示)
解:
创二3,PB亍2,
即可把因放到一个直角边是4〃和5的直角三角形中,
根据勾股定理得:
QP=^#16tt2+25
26.同学的茶杯是圆柱形,如图是茶杯的立体图,左边下方有一只蚂蚁,从力处爬行到对面的中点方处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图.
问题:
某正方体盒子,如图左边下方力处有一只蚂蚁,从月处爬行到侧棱G尸上的中点財点处,如果蚂蚁爬行路线最短,请画出这条最短路线图.
解:
如图,将圆柱的侧面展开成一个长方形,如图示,则久方分别位于
如图所示的位置,连接力5即是这条最短路线图.
如图,将正方体中面ABCD和面翊;展开成一个长方形,如图示,则力、
・"分别位于如图所示的位置,连接仙即是这条最短路线图.
27.如图,圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为2皿假若点方有一蚂蚁只能沿圆锥的表面爬行,它要想吃到母线的中点尸处的食
物,那么它爬行的最短路程是
解:
•••圆锥的底面周长是4八
m4
180
•••沪180°即圆锥侧面展开图的圆心角是180°,
•••在圆锥侧面展开图中AP-2,AB=4,ZBAEO。
・••在圆锥侧面展开图中於>/20=2a/5,
・•・这只蚂蚁爬行的最短距离是2亦cm.
故答案是:
2逅cm.
28.如图,圆锥的底面半径洁3血母线匸5血力方为底面直径,C为底面圆周上一点,ZC妙150°,D为炉上一点,VD-V7dra.现有一只蚂
蚁,沿圆锥表面从点C爬到0•则蚂蚁爬行的最短路程是(
解:
150ttx3
180二
•••设弧庞所对的圆心角的度数为m
5tt
/•~="180"
解得沪90,
/.zr^90°,
29.已知圆锥的母线长为5圆锥的侧面展开图如图所示,且
ZAM=120°,一只蚂蚁欲从圆锥的底面上的点/出发,沿圆锥侧面爬行一周回到点A.则蚂蚁爬行的最短路程长为。
Al
A匕二B
解:
连接曲‘,作OCLAA'于C,
•・•圆锥的母线长为5⑵,
ZAM=120°,
:
.AAf=2AOo>5.
30.如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂蚁若从/点出
发,绕侧面一周又回到力点,它爬行的最短路线长是.
解:
由题意知,底面圆的直径为2,
故底面周长等于2兀.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为卫°,
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得,2兀如,
180
解得2^90°,
所以展开图中圆心角为90°,
根据勾股定理求得到点/的最短的路线长是:
V16T16=V32=4V2.
31.(2006-南充)如图,底面半径为1,母线长为4的圆锥,一只小蚂
蚁若从力点出发,绕侧面一周又回到力点,它爬行的最短路线长
是O
解:
由题意知底面圆的直径二2,
故底面周长等于2疗.
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为?
2°,
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2^=—,
180
解得尸90°,
所以展开图中的圆心角为90°,
根据勾股定理求得它爬行的最短路线长为40.
32.(2009-乐山)如图,一圆锥的底面半径为2,母线丹的长为6,D
为丹的中点.一只蚂蚁从点/出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂
蚁爬行的最短路程为
解:
由题意知,底面圆的直径AB=4,故底面周长等于4厂
设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为刀c,
根据底面周长等于展开后扇形的弧长得4z彳凳,
360
解得27=120°,
所以展开图中ZAPD=12Q°-?
2=60°,
根据勾股定理求得血3羽,
所以蚂蚁爬行的最短葩离为3厲•
33.如图,圆锥底面半径为母线长为3j底面圆周上有一蚂蚁位于/
点,它从力点出发沿圆锥面爬行一周后又回到原出发点,请你给它指出一条爬行最短的路径,并求出最短路径.
解:
把圆锥沿过点/的母线展成如图所示扇形,
则蚂蚁运动的最短路程为肋'(线段).
由此知:
•・・2〃尸竺S竺,沪120°,
即ZAOAf二120°,Z0AO300.
3
:
.00-0^-r
22
3_
:
.AOyJOA2-OC2=-y[3r
2
:
.AA'=2AC=3y5r,
即蚂蚁运动的最短路程是3V3r.
34.如图①,一只蚂蚁从圆锥底面的力点出发,沿侧面绕行一周后到达母线&的中点必蚂蚁沿怎样的路径行走最合算为了解决这一问题,爱动脑筋的银银、慧慧与乐乐展开了研究.
(1)善于表现的银银首先列出了一组数据:
圆锥底面半径EOcm,母线
勺长为40伽,就这组数据,请你求出蚂蚁所走的最短路程;
(2)—向稳重的慧慧只给出一个数据:
圆锥的锥角等于60°(如图
②),请问:
蚂蚁如何行走最合算
(3)通过
(1)、
(2)的计算与归纳,银银、慧慧自认为他们已找到问
题的解决方法,可老谋深算的乐乐认为他们考虑欠周,
1请你分析,乐乐为什么认为他们考虑欠周
2结合上面的研究,请你给出这一问题的一般性解法.
解:
(1)2〃・10二力耳・40子180°
77=90°,
AM-V402+202=20V5.
(2)•/锥角为60°,
・•・底面半径的长和母线的长相等,
但缺少母线的长.(3)①因为银银的数据不合理,因为慧慧缺少条件.
②
(1)展成平面图形.
(2)知道母线的长,知道扇形的圆心角度数,以及财是创的中点,根据三角函数或者构造直角三角形來求解
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