重庆大学数学分析研考题精.docx
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重庆大学数学分析研考题精
重庆大学2015年硕士研究生入学考试试题
科目代码:
621科目名称:
数学分析总分:
150分
特别提醒:
所有答案一律写在答题纸上,直接写在试题上的不给分。
一、计算(6分/每小题,共24分
(1((
(1
2
2lim111nnxx
x-→∞
+++(1x<
(2
(2
1x
xedxx+⎰
(3
2
sin1cosxx
dxx
π
+⎰
(4((21
1lim1n
nknxknxkn→∞=+++∑
二、(10分设(fx在(0,+∞上满足函数方程((2fxfx=,且(0
limxfxC→=(常数,证明:
(fxC≡,(0,x∈+∞.
三、(13分若(fx在(,-∞+∞上可微,且(lim
xfx→∞
=-∞,证明:
存在(,ξ∈-∞+∞使得(0fξ'=.
四、(15分设(,α∈-∞+∞,讨论级数⎪⎭⎫⎝⎛
+∑∞
=nnnnln1sin12
πα
的绝对收敛性与条件收敛性.
五、(13分计算(32sin2xyzdxdydzΩ
++⎰⎰⎰,Ω由旋转双曲面2221xyz+-=、
平面zH=、zH=-所围成.六、(15分计算(2
222
axdydzzadxdy
Ixyz∑
++=++⎰⎰
其中∑为下半球222
zaxy=---的上侧,0a>.七、(15分令2
1
sin(
(1xtftdxx
+∞
=+⎰,证明:
(1反常积分关于t在(,-∞+∞上一致收敛;
(2函数(ft在(,-∞+∞上连续,且lim(0tft→+∞
=.八、(15分函数(fx为(,-∞+∞上的单调增加有界函数,(1证明:
对于任意(0,x∈-∞+∞,(0
limxxfx→+存在;(2讨论(limxfx→-∞
的存在性,并说明理由.九、(15分讨论(肯定,给出证明;否定,举出反例:
(1对无穷限反常积分,平方可积与绝对可积之间的关系;(2对无界函数反常积分,平方可积与绝对可积之间的关系.十、(15分设11a=,21a=,2123nnnaaa++=+,1n≥,
(1证明{}
na的通项公式为113(12
nnna--+-=;
(2求
1
nnnax∞
=∑的收敛域与和函数.
一、计算(6分/每小题,共24分
(1((
(1
2
2lim111nnxx
x-→∞
+++(1x<
解:
((
(1
2
2
lim111nnxx
x-→∞
+++
((((1
2
2211111limlim
11nn
nnxxxxxx
x
-→∞
→∞
-+++-==--1
=
1x
-(2
(2
1x
xedxx+⎰
解:
(2=1x
xedxx+⎰((
2
11=1xxedxx+-+⎰(211xx
eedxdxxx-++⎰⎰(('
2111xxeedxdxxx=-++⎰⎰((
22111xxxeeedxdxxxx=+-+++⎰⎰1xecx=++
(3
2
sin1cosxx
dxx
π
+⎰
解:
2
2220
02
sinsinsin1cos1cos1cosxxxxxxdxdxdxxxxπ
π
ππ=++++⎰
⎰⎰对后一积分作代换xtπ=-,则
(((((02
222022sinsinsin11cos1cos1costtttxxdxdtdtxttπ
π
ππππππ---=⋅-=++-+⎰⎰⎰(2
2220
0sinsinarctancos21cos1cos4
xxxdxdxxxxππ
π
π
ππ==-=++⎰
⎰(4((21
1lim1n
nknxknxkn→∞=+++∑
解由不等式
22
2
abab+≤可得
((1
122
nxknxknxknxknxk++++≤
+++≤
+
于是
((211
1111111112nn
nnkkkkkkkxnxknxkxxnnnnnnn====⎡+⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≤+++≤+++⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
∑∑∑∑
由定积分的定义
(1
1101111
limlim2nnnnkkkkxxxtdtxnnnn→∞→∞==+⎛⎫⎛⎫+=+=+=+⎪⎪⎝⎭⎝
⎭∑∑⎰
因此由极限性质,有
((21
11
lim12n
nknxknxkxn
→∞=+++=+∑
二、(10分设(fx在(0,+∞上满足函数方程((2fxfx=,且(0limxfxC
→=(常数,证明:
(fxC≡,(0,x∈+∞.
证,0(0+∞∈∀x,利用((2fxfx=得(2xfxf⎛⎫
=
⎪⎝⎭,(002nxfxf⎛⎫=⎪⎝⎭
由于(00
limlim2nnxxffxC→∞
→⎛⎫
==⎪⎝⎭得到(fxC≡,(0,x∈+∞.
三、(13分若(fx在(,-∞+∞上可微,且(limxfx→∞
=-∞,证明:
存在(,ξ∈-∞+∞使得(0fξ'=.
证明:
由(limxfx→∞
=-∞,对于(01Gf=+,0,XxX∃>∀>,有
((01fxf<--
又(fx在(,-∞+∞上连续,所以(fx在[],XX-上连续.由闭区间上连续函数的最值定理,
(fx在[],XX-上存在最大值M.即
[](,,xXXfxM∀∈-≤
[]0,XX∈-,当然(0fM≤.又
xX∀>,有(((010fxffM<--<≤即((,,xfxM∀∈-∞+∞≤.得证.
四、(15分设(,α∈-∞+∞,讨论级数⎪⎭⎫⎝⎛
+∑∞
=nnnnln1sin12
πα
的绝对收敛性与条件收敛性.
解:
由(n
nnn
ln1sin
1ln1sin-=⎪⎭⎫⎝⎛
+
π当1>α时,111sinlnnnnnααπ⎛⎫+≤⎪⎝⎭,而∑∞=1
1nnα
收敛,所以⎪⎭⎫⎝⎛
+∑∞=nnnnln1sin12πα绝对收敛
当10≤≤α时,11sinlnnnnαπ⎛
⎫+⎪⎝⎭~nnln1α,而∑∞
=2ln1nn
nα
发散且
(nnnnnnln1sin1
1ln1sin1α
απ-=⎪⎭
⎫⎝⎛+,nnln1sin1α单减趋于0,所以
⎪⎭⎫⎝⎛
+∑∞
=nnn
nln1sin12πα
条件收敛当0<α时,+∞→⎪⎭⎫⎝⎛+nnnln1sin1πα,所以⎪⎭⎫⎝⎛
+∑∞
=nnnnln1sin12
πα发散
五、(13分计算(32sin2xyzdxdydzΩ
++⎰⎰⎰,Ω由旋转双曲面2221xyz+-=、
平面zH=、zH=-所围成.
解:
Ω关于yoz面对称,所以
3
sin0xdxdydzΩ
=⎰⎰⎰;Ω关于xoz面对称,所以0ydxdydzΩ
=⎰⎰⎰;又Ω关于xoy面对称,所以
(2
xyzdxdydzΩ++⎰⎰⎰1
2
2
2zdxdydzzdxdydzΩ
Ω==⎰⎰⎰⎰⎰⎰
其中({}1,,0xyzzΩ=
∈Ω≥
向坐标轴z轴进行投影:
0zH≤≤,2
2
2
:
x1zDyz+≤+,所以
(2xyzdxdydzΩ
++⎰⎰⎰(1
2222
2221z
H
H
DzdxdydzzdzdxdyzzdzπΩ===+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰53253HHπ⎛⎫
=+⎪⎝⎭
六、(15分计算(2
222
axdydzzadxdy
Ixyz∑
++=++⎰⎰
其中∑为下半球222
zaxy=---的上侧,0a>.
解.直接分块积分
1I=
2
2
2
axdydzxyz
∑
++⎰⎰
(
2
22
2
2
zadxdy
Ixyz
∑
+=
++⎰⎰
1I=
222222
1
2yz
Daxdydzaxdydzayzdydzaxyz∑
∑
=
=---++⎰⎰
⎰⎰⎰⎰其中yzD为yoz平面上的半圆2
2
2
0yzaz+≤≤利用极坐标,得
I1=-2òdqòp2pa02a2-r2rdr=-pa33I2=211é2222ùz+adxdy=a-a-x-ydxdy()òòëûaòòaDSxy其中Dxy为xoy平面上的圆域x2+y2£a2用极坐标,得a12ppdqò2a2-2aa2-r2-r2rdr=a3ò0a06I2=因此I=I1+I2=-()p2a3+¥七、(15分)令f(t=ò1sin(xtdx,证明:
1+x2
(1)反常积分关于t在(-¥,+¥)上一致收敛;
(2)函数f(t在(-¥,+¥上连续,且tlimf(t=0.®+¥证明:
(1)因为f(t=ò+¥+¥sin(xt11,而òdx收敛,故由M-判别法可知£2211+x21+x1+xsin(xtdx在-¥ 1+x2+¥sin(xtsin(xt (2)因为在上连续,且f(t=(1,+¥;-¥,+¥ò11+x2dx在(-¥,+¥上一致收1+x21敛,故f(t在(-¥,+¥上连续。 对任意e>0,因为f(t=ò使得对"tÎ(-¥,+¥,有+¥1sin(xtdx在-¥ t®+¥+¥1cosxtdx£1+x2òX1cosxtdx+1+x2ò+¥Xcosxtdx 八、(15分)函数f(x)为(-¥,+¥)上的单调增加有界函数, (1)证明: 对于任意x0Î(-¥,+¥),x®limf(x)存在;x+00 (2)讨论xlimf(x)的存在性,并说明理由.®-¥解: 函数f(x)为(-¥,+¥)上的单调增加有界函数(1"x0Î(-¥,+¥),函数f(x)在x0处存在左右导数.且x®x0+limf(x)=inff(x)xÎ(x0,+¥),limf(x)=supf(x)xÎ(-¥,x0)x®x0-{}{}f(x)为(-¥,+¥)上的单调增加有界函数,当然f(x)在(x0,+¥)单调增加有界,所以f(x)在(x0,+¥)存在下确界,记为a=inf{f(x)xÎ(x0,+¥)}.由下确界定义"e>0,$x1Î(x0,+¥),有a£f(x1)0,$x'Î(-¥,+¥),有a£f(x')0,-X (1)对无穷限反常积分,平方可积与绝对可积之间的关系; (2)对无界函数反常积分,平方可积与绝对可积之间的关系.解 (1)òa+¥f2(xdx收敛不能保证òaf(xdx绝对收敛,例如: f(x=第7页共9页+¥1x3,则4 +¥2+¥ò1f(xdx收敛,但ò1f(xdx不是绝对收敛的;+¥òaf(xdx绝对收敛不能保证òaf2(xdx收敛,例如: +¥ì2ïnf(x=íï0î (2)由f(x£xÎ其他U[n,nn=1¥+1n4,则ò1]+¥f(xdx绝对收敛,但ò1+¥f2(xdx发散。 1bb[1+f2(x],可知òaf2(xdx收敛保证òaf(xdx绝对收敛;2b但òf(xdx绝对收敛不能保证òf2(xdx收敛,例如: f(x=aab1x,则ò0f(xdx绝对收敛,但ò0f112(xdx发散.十、(15分)设a1=1,a2=1,an+2=2an+1+3an,n³1, (1)证明{an}的通项公式为an=¥3n-1+(-1n-1;2 (2)求åanxn的收敛域与和函数.n=1解因an+2=2an+1+3an,故an+2+an+1=3(an+1+an,于是an+1+an=2×3n-1由n为偶数时,an+an-1=2×3n-2,-an-1-an-2=-2×3n-3,3n-1+(-1n-1.2,a2+a1=2将它们相加可解出an=由n为奇数时,an+an-1=2×3n-2,-an-1-an-2=-2×3n-3,3n-1+(-1n-1.2,-a2-a1=-2将它们相加也可解出an=1limnan=3,收敛半径R=.n®¥31当x=时,3nn-13n-1+(-1n-1æ1ö1¥éæ1öù×ç÷=åê1+ç-÷ú,发散åanx=å26n=1êè3øn=1n=1ëè3øúû¥n¥1当x=-时,3nn-1ù3n-1+(-1n-1æ1ö1¥én-1æ1ö×ç-÷=-åê(-1)+ç÷ú,åanx=å26n=1ëè3øè3øûn=1n=1êú¥n¥第8页共9页 发散11所以收敛域为(-,.333n-1+(-1n-1n¥3n-1n¥(-1n-1nx=åx+åxåanx=å222n=1n=1n=1n=1¥n¥1x1xx(1-x=×+×=21-3x21+x(1-3x(1+x第9页共9页
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