(1)求证:
BF=EF;
(2)求∠BFE的度数(用含a的代数式表示)。
2、如图,在△ABC中,以AC、BC分别向外作等边△ACF和等边△BCE,点P、M、N分别为AB、CF、CE的中点。
(1)求证:
PM=PN;
(2)求证:
∠MPN=60°。
例2.如图,在△ABC中,D是AB的中点,分别延长CA、CB到点E、F,使DE=DF,过E、F分别作CA、CB的垂线,相交于点P,M、N分别是AP、BP的中点,分别连接EM、DM和DN、FN。
求证:
(1)△DEM≌△FDN;
(2)∠PAE=∠PBF。
【课堂练习】
1、已知,等腰Rt△ACB和等腰Rt△CDE,∠ACB=∠EDC=90°,连接AE、BE,点M为BE的中点,连接DM。
(1)如图,当点D在BC上时,探索DM与AE的位置及数量关系并证明;
(2)当△CDE绕点C顺时针旋转一个锐角时,
(1)中的结论是否仍然成立,画图并证明你的结论。
知识点二多动点问题
【知识梳理】
1、利用几何性质转化多动点问题为单动点问题;
2、逐次分析动点满足最值成立条件。
【例题精讲】
1、以边长为2的正方形的中心O为端点,引用两条垂直的射线,分别与正方形的边交于A,B两点,则线段AB的最小值为________。
2、如图,菱形ABCD中,AB=4,∠A=120°,点M、N、P分别为线段AB、AD、BD上的任意一点,则PM+PN的最小值为_________。
【课堂练习】
1、如图在∆ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P是BC边上的一动点,PE垂直于AB于E点,PF垂直于AC于点F,M是EF的中点,则AM的最小值为________。
2、如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,BC=4,点D在BC上,以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中,DE最小的值是_________。
知识点三利用三边关系解决最值
【知识梳理】
1、三边关系解决最值问题原理和方法:
是否找到一定点到线段两端点的距离为定值,但是线段位置关系可以变化。
满足共线条件时,可以得到对应的最值。
2、通过构造手拉手模型,实现三边关系的转换。
【例题精讲】
例1.1、如图,正方形ABCD中,AB=8,O为AB的中点,P为正方形ABCD外一点,且AP⊥CP,则线段的OP最大值为__________。
2、已知:
PA=
,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧。
当
∠APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值及相应∠APB的大小。
【课堂练习】
1、如图,已知菱形ABCD中,BC=10,∠BCD=60°,顶点B、D分别在平面直角坐标系的y轴、x轴的正半轴上滑动,连接OA,则OA长的最小值是__________。
2、如图,正方形ABCD中,E,F是AD上两个动点,且AE=DF,连接CF交BD于点G,连接BE交AG于点H,若正方形的边长为2,求DH的最小值。
3、已知:
AD=2,BD=4,以AB为一边作等边三角形ABC,使C、D两点落在直线AB的两侧。
当∠ADB变化,且其它条件不变时,求CD的最大值,及相应的∠ADB的大小。
1、在平面直角坐标系中,A(-m,0)、B(n,0),若
。
如图C在x轴上,BC=2,Q从O向C运动,以AQ、BQ为边作等边△AEQ、等边△FBQ。
连接EF,点P为EF中点。
(1)求A、B两点坐标;
(2)求P点运动的路径长为多少?
(3)求EF的最小值。
2、如图1,已知△ABC是等腰直角三角形,∠BAC=90°,点D是BC的中点。
作正方形DEFG,使点A、C分别在DG和DE上,连接AE,BG。
(1)试猜想线段BG和AE的数量关系是________________;
(2)将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转a(0°<a<360°),
①判断
(1)中的结论是否仍然成立?
请利用图2证明你的结论;
②若BC=DE=4,当AE取最大值时,求AF的值。
1、如图,在△ABC中,∠BAC=30°,AB=AC=6,M为AC上一动点,(不与A、C重合),以MA、MB为一组邻边作平行四边形MADB,则该平行四边形对角线MD的最小值是__________。
2、如图所示,AD是△ABC中∠BAC的外角平分线,CD⊥AD于D,E是BC的中点,求证:
DE∥AB且DE=
(AB+AC)。
3、已知,在△ABC中,AB=AC,点D在BC上,点E在AB上,且BD=DE,点P、M、N分别为AD、BE、BC的中点。
(1)如图,若∠BAC=90°,求∠PMN的度数;
(2)若∠BAC=a,求∠PMN的度数(用含a的代数式表示)。
4、如图,∠MON=90°,矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM,ON上,当B在边ON上运动时,A随之在边OM上运动,矩形ABCD的形状保持不变,其中AB=2,BC=1,运动过程中,点D到点O的最大距离为______。
5、如图,∠MON=90°,△ABC是等边三角形,AB=2,AB在∠MON滑动,求OC的最大值。
6、如图,∠MON=90°,正方形ABCD的顶点A、B分别在OM、ON上运动,当正方形的边长为2时,OD的最大值为________。
7、如图,∠MON=90°,∠BAC=90°,AB=2,AC=1,AB在∠MON滑动,求OC的最大值。
8、已知,PA=2,PB=3
,以AB为一边作等边△ABC,使P、C两点落在直线AB的两侧。
(1)如图,若∠APB=30°,求AB及PC的长;
(2)当∠APB变化且其他条件不变时,求PC的最大值及相应∠APB的大小。
9、如图PB=4,点A为动点,PA=
,以AB一边作正方形ABCD。
则PD的最大值是多少?
10、如图,△PAB中,PA=4,PB=
,以AB为边向外作正方形ABCD,连接PD。
当∠APB变化,当其他条件不变时,求PD的最大值。
11、如图,正方形ABCD的边长为4,点E在BC上且CE=1,点M、N在对角线AC上运动,且MN=
,连接BM、EN。
求四边形BMNE周长的最小值。