公务员公务员考前培训第二章数学应用.docx
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公务员公务员考前培训第二章数学应用
第二章 数学应用
一、解答技巧
1、学习和掌握新题型
2、重点掌握新变化和基本理论知识
3、在掌握方程法的基础上加强思维训练
4、学会使用代入法和排除法
5、反复练习,提高做题速度
二、基本解题思路
1、方程的思路
2、代入与排除的思路
3、猜证结合的思路
三、常见题型和基本理论知识
1、数字计算
(1)直接补数法
概念:
如果两个数的和正好可以凑成整十、
整百、整千,称这两个数互为补数。
例题:
计算274+135+326+265
解:
原式=(274+326)+(135+265)
=600+400=1000
(2)间接补数法
例题:
计算1986+2381
解:
原式=2000-14+2381
=2000+2381-14
=6381-14
=6367
(凑整去补法)
(3)相近的若干数求和
例题:
计算
1997+2002+1999+2003+1991+2005
解:
把2000作为基准数,
原式=2000x6+(-3+2-1+3-9+5)
=12000-3
=11997
(4)乘法运算中的凑整法
基本的凑整算式:
5x2=10,25x4=100,
125x4=500,625x4=2500
例题:
计算
(8.4x2.5+9.7)/(1.05/1.5+8.4/0.28)
解:
原式=(2.1x4x2.5+9.7)/(0.7+30)
=30.7/30.7
=1
练习:
计算0.0495x2500+49.5x2.4+51x4.95
解:
原式
=0.0495x100x25+4.95x10x2.4+51x4.95
=4.95x25+4.95x24+4.95x51
=4.95x(25-24+51)
=4.95x100
=495
(5)尾数计算法
概念:
当四个答案完全不同时,可以采用为数计算法选择出正确答案。
例题:
99+1919+9999的个位数是()
A.1 B.2 C.3 D.7
解析:
答案各不相同,所以可采用尾数法。
9+9+9=27
答案:
7,选D
练习:
计算
(1.1)2+(1.2)2+(1.3)2+(1.4)2的值是:
A.5.04 B.5.49 C.6.06 D.6.30
解析:
(1.1)2的尾数为1,(1.2)2的尾数为4,
(1.3)2的尾数为9,(1.4)2的尾数为6,
所以最后和的尾数为1+3+9+6的和的尾数,即0
答案:
D
(6)自然数n次方的尾数变化情况
例题:
19991998的末位数字是()
解析:
9n的尾数是以2为周期进行变化的,
分别为9,1,9,1,……
答案:
1
2n的尾数变化是以4为周期变化的,
分别为2,4,8,6
3n的尾数变化是以4为周期变化的,
分别为3,9,7,1
7n的尾数变化是以4为周期变化的,
分别为7,9,3,1
8n的尾数变化是以4为周期变化的,
分别为8,4,2,6
4n的尾数变化是以2为周期变化的,分别为4,6
9n的尾数变化是以2为周期变化的,分别为9,1
5n、6n尾数不变
练习:
19881989+19891988的个位数是
解析:
19881989的尾数是由81989的尾数确定的,1989/4=497余1,所以81989的尾数和81的尾数是相同的,即为8;
19891988的尾数是由91988的尾数确定的,1988/2=994余0,所以91988的尾数和92的尾数是相同的,即为1。
答案:
8+1=9
(7)提取公因式法
例题:
计算1235x6788-1234x6789
解:
原式=1235x6788-1234x6788-1234
=6788x(1235-1234)-1234
=6788-1234
=5554
练习:
计算999999x777778+333333x666666
解一:
原式
=333333x3x777778+333333x666666
=333333x(3x777778+666666)
=333333x(2333334+666666)
=333333x3000000
=0
解二:
原式
=999999x777778+333333x3x222222
=999999x777778+999999x222222
=999999x(777778+222222)
=999999x1000000
=0
解一和解二在公因式的选择上有所不同,
导致计算的简便程度不相同
(8)因式分解
例题:
计算2002x20032003-2003x20022002
解析:
20032003=2003x10001;
20022002=2002x10001
原式=2002x2003x10001-
2003x2002x10001
(9)代换的方法
例题:
计算(1+0.23+0.34)x(0.23+0.34+0.65)-(1+0.23+0.34+0.65)x(0.23+0.34)
解:
设A=0.23+0.34,
B=0.23+0.34+0.65
原式=(1+A)xB-(1+B)xA=B-A=0.65
练习:
已知X=1/49,Y=1/7,
计算7X-3(2Y2/3+X/5)-(Y2+2X/5)+2Y2
解:
根据已知条件X=1/49,Y=1/7,
可进行X=Y2的代换
原式=7X-3(2X/3+X/5)-(X+2X/5)+2X
=7X-2X-3X/5-X-2X/5+2X
=5X
=5/49
(10)利用公式法计算
例题:
计算782+222+2x78x22
解:
核心公式:
完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2
原式=(78+22)2
=10000
其它核心公式:
平方差公式:
a2-b2=(a-b)(a+b)
立方和公式:
a3+b3=a2-ab+b2
立方差公式:
a3-b3=a2+ab+b2
完全立方公式:
(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3
2、比较大小
(1)作差法:
对任意两数a、b,如果a-b﹥0则a﹥b;
如果a-b﹤0则a﹤b;如果a-b=0则a=b。
(2)作比法:
当a、b为任意两正数时,如果a/b﹥1则a﹥b;
如果a/b﹤1则a﹤b;如果a/b=1则a=b。
当a、b为任意两负数时,如果a/b﹥1则a﹤b;
如果a/b﹤1则a﹥b;如果a/b=1则a=b。
(3)中间值法:
对任意两数a、b,
当很难直接用作差法和作比法比较大小时,
通常选取中间值c,
如果a﹥c而c﹥b,
则a﹥b。
例题:
分数 中最大的一个是
解析:
取中间值 和原式的各个分数
进行比较,可以发现
除了 比 大,其余分数都比 小
答案:
最大
3、比例问题
(1)和谁比
(2)增加或减少多少
(3)运用方程法或代入法
例题:
b比增加了20%,则b是a的多少?
a又是b的多少?
解析:
列方程a(1+20%)=b,
所以b是a的1.2倍
,
所以a是b的
练习:
鱼塘里养了一批鱼,第一次捕上来
200条,做好标记后放回鱼塘,数日
后再捕上100条,发现有标记的鱼有
5条,问鱼塘里大约有多少条鱼?
解析:
方程法,设鱼塘里有x条鱼,
100/5=x/200,x=4000
答案:
鱼塘里大约有4000条鱼。
4、工程问题
(1)关键概念:
工作量、工作效率、工作效率的单位
(2)关键关系式:
工作量=工作效率x工作时间
总工作量=各分工作量之和
例题:
一项工作,甲单独做10天完成,乙单
独做15天完成,问两人合作3天完成
工作的几分之几?
解析:
设工作量为1,甲的工作效率为1/10,
乙的工作效率为1/15,两人一天完成
工作量为1/10+1/15=1/6,3天完
成工作量为1/6x3
答案:
1/2
练习:
铺设一条自来水管道,甲队单独铺设
8天可以完成,乙队每天可铺设50米。
如果甲乙两队同时铺设,4天可以完成
全长的2/3,这条管道全长是多少米?
解析:
设乙需要X天完成这项工程,
由题意可得 ,解得X=24
又乙队每天可铺设50米,
所以50x24=1200米
答案:
这条管道全长是1200米
5、行程问题
(1)相遇问题
甲从A地到B地,乙从B地到A地,两人在途中相遇,实质上是甲和乙一起走了A、B之间这段路程,如果两人同时出发,那么
A、B之间的路程=甲走的路程+乙走的路程
=(甲的速度+乙的速度)x相遇时间
=速度和x相遇时间
相遇问题的核心是“速度和”问题。
例题:
两列对开的列车相遇,第一列车的车速为10米/秒,第二列车的车速为 12.5米/秒,第二列车上的旅客发现第一列车在旁边开过时共用了6秒,则第一列车的长度为多少米?
解析:
两列火车的速度和为10+12.5=22.5米/秒,两列火车这样的速度共同行驶了6秒,行驶的距离是第一列火车的长度,即22.5x6=135米
答案:
第一列车的长度为135米。
(2)追及问题
两人同时行走,甲走得快,乙走得慢,当乙在前,甲过一段时间能追上乙,这就产生了“追及问题”。
实质上,要计算甲在某一段时间内比乙多走的路程。
追及路程=甲走的路程-乙走的路程
=(甲的速度-乙的速度)x追及时间
=速度差x追及时间
追及问题的核心是“速度差”问题。
例题:
甲乙两船同时从两个码头出发,方向相同,乙船在前面,每小时行24千米,甲船在后,每小时行28千米,4小时后甲船追上乙船,求两个码头相距多少千米?
解析:
甲对乙的追及速度差=28-24=4千米/时,追及时间为4小时,则追及的距离为4x4=16千米,即两码头之间的距离
答案:
两个码头相距16千米。
(3)流水问题
船顺水航行时,一方面按自己本身的速度即船速在水面上行进,同时整个水面又按水的流动速度在前进,因此船顺水航行的实际速度(简称顺水速度)就等于船速与水速的和,即:
顺水速度=船速+水速
同理:
逆水速度=船速-水速
可推知:
船速=(顺水速度+逆水速度)/2;
水速=(顺水速度-逆水速度)/2
例题:
小王从甲地到乙地,以为有风,去时用了2小时,回来用了3小时。
已知甲乙两地的距离是60公里,求风速是多少?
解析:
设风速为X,小王的速度为Y,
根据题意得X+Y=30,Y-X=20。
则X=5,Y=25
答案:
风速是5公里/时。
6、方阵问题
核心公式:
(1)方阵总人数=最外层每边人数的平方
(方阵问题的核心)
(2)方阵最外层每边人数=方阵最外层总人数/4+1
(3)方阵外层比内层一行、一列的总人数多2
(4)一行、一列的总人数=每边人数x2-1
例题:
小红把平时节省下来的全部五分硬币先围成一个正三角形,正好用完,后来又改围成一个正方形,也正好用完。
如果正方形的每条边比三角形的每条边少用5枚硬币 ,则小红所有五分硬币的总价值是多少元?
解析:
设围成一个正方形时,每边有硬币X枚,
此时硬币总数为4(X-1),当变成三角形时,
硬币总数为3(X+5-1),由此可得4(X-1)=
3(X+5-1),解得X=16,硬币总数为60枚
答案:
小红所有五分硬币的总价值是3元。
7、和、差倍问题
已知不同大小两个数的和(或差)与
它们的倍数关系,求这两个数的值。
(和+差)/2=较大数;
(和-差)/2=较小数;
较大数-差=较小数。
例题:
甲、乙、丙、丁4个数的和为549,如果甲加上2,乙减去2,丙乘以2,丁除以2以后,4个数相等,求这4个数各是多少?
解析:
设相等的数为x,
则甲=x-2,乙=x+2,丙=2x,丁=x/2,
由题意可得x-2+x+2+2x+x/2=549,x=122
答案:
甲、乙、丙、丁这4个数分别是
120、124、244、61。
8、年龄问题
一般方法:
几年后年龄=大小年龄差/倍数差-小年龄
几年前年龄=小年龄-大小年龄差/倍数差
年龄问题的核心是大小年龄差是各不变的量,
而年龄的倍数却年年不同。
例题:
甲对乙说:
当我的岁数是你现在岁数时,你才4岁。
乙对甲说:
当我的岁数到你现在岁数时,你将有67岁。
甲乙现在各有:
A.45岁,26岁 B.46岁,25岁
C.47岁,24岁 D.48岁,23岁
解析:
设甲的年龄为X,乙的年龄为Y,
由题意可得Y-(X-Y)=4,X+(X-Y)=67
解得X=46,Y=25
此题应直接用代入法
答案:
B
9、利润问题
核心公式
(1)利润=销售价(卖出价)-成本
(3)销售价=成本x(1+利润率)
例题:
某个体商贩在一次买卖中,同时卖出两件上衣,每件都以135元出售,若按成本计算,其中一件盈利25%,另一件亏本25%,
则他在这次买卖中
A.不赔不赚 B.赚9元 C.赔18元D.赚18元
解析:
根据利润问题的核心公式, 第一件上衣成本 第二件上衣的成本 (亏损即利润率为负),由此可得总成本为288元,而总销售额为270元,所以赔了18元
答案:
C
10、面积问题
(1)基本公式
三角形的面积
长方形面积S=axb
正方形面积S=a2
梯形面积
圆的面积
(2)基本性质
等底等高的两个三角形面积相同
等底的两个三角形面积之比等于高之比
等高的两个三角形面积之比等于底之比
(3)核心问题
解决面积问题的核心是“割、补”思
维,通过引入新的辅助线将图形分割或
者补全,得到规则的图形,从而快速求
得面积,即“辅助线法”。
例题:
求下面空白部分的面积是正方形面积的几分之几?
解析:
将阴影部分面积“切割平移添补”,从而变成正方形的1/2
答案:
空白部分的面积是正方形面积的1/2
11、周长问题
(1)基本公式
长方形的周长C=2(a+b)
正方形的周长C=4a
圆的周长C=2r=d
(2)核心问题
掌握转化的思考方法,把某个图形转变成标准的长方形、正方形、圆形或其他规则图形,以便计算它们的周长。
例题:
如图所示,以大圆的一条直径上的七个点为圆心,画出七个紧密相连的小圆。
请问,大圆的周长与大圆内部七个小圆的周长之和相比较,结果是:
A.大圆的周长大于小圆的周长之和
B.小圆的周长之和大于大圆的周长
C.一样长
D.无法判断
解析:
设小圆的直径从上到下依次为
d1、d2、d3、d4、d5、d6、d7
则小圆的周长分别为c1=d1,c2=d2,…,c7=d7
c1+c2+…+c7=(d1+d2+…+d7)=D(大圆直径)
=C(大圆周长)
答案:
C
12、体积问题
基本公式
长方形的体积V=abc
正方形的体积V=a3
圆柱的体积V=sh=r2h,s为圆柱底面积
圆锥的体积
s为圆锥底面积
例题:
一个边长为8的正立方体,由若干个边长为1的正立方体组成,现在要将大立方体表面涂漆,请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色?
解析:
要求多少小立方体被染了色,只要求有多少没有被染色即可。
正方体的总个数为正方体的体积即512,而没有被染色的体积(小立方体个数)为216,所以为染色的小立方体个数为512-216=296
答案:
一共有296个小立方体被涂上了颜色。
13、数列问题
核心公式
(1)等差数列通项公式:
(2)等差数列求和公式:
(3)等差数列中项公式:
当n为奇数时,等差中项为1项即:
当n为偶数时,等差中项为2项即:
和 ,
而
(4)等比数列通项公式:
an=a1qn-1=amqn-m
例题:
如果某一年的7月份有5个星期四,
它们的日期之和为80,那这个月的3日
是星期几?
解析:
设这5天分别为a1、a2、a3、a4、a5,
显然这是一个公差为7的等差数列,等差
中项 ,所以a2=2,
即第一个星期四为2号
答案:
这个月的3日是星期五。
14、最小公倍数与最大公约数
(1)最小公倍数:
如果一个自然数a能被自然数b整除,则称a为b的倍数,b为a的约数。
几个自然数公有的倍数,叫做这几个自然数的公倍数。
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公倍数中最小的一个大于零的公倍数,称为这几个数的最小公倍数。
(2)最大公约数:
如果一个自然数a能被自然数b整除,则称a为b的倍数,b为a的约数。
几个自然数公有的约数,叫做这几个自然数的公约数。
公约数中最达的一个公约数,称为这几个数的最大公约数。
例题:
甲每5天进城一次,乙每9天进城一次,丙每12天进城一次,某天三人在城里相遇,那么下次相遇至少要多少天?
解析:
求5、9、12的最小公倍数,5x9x12=180
答案:
下次相遇至少要180天。
15、容斥原理(难点,作图求解)
核心公式
(1)两个集合的容斥关系公式:
(2)三个集合的容斥关系公式:
例题:
某大学某班学生总数为32人,在第一次考试中有26人及格,在第二次考试中有24人及格,若两次考试中,都没有及格的有4人,那么两次考试都及格的人数是多少?
解析:
设A=第一次考试中及格的人数(26),
B=第二次考试中及格的人数(24)
A+B=26+24=50,
则
答案:
两次考试都及格的人数是22人。
16、排列、组合问题
(1)乘法原理:
一般地,如果完成一件事需要n个步骤,做第一步有m1种不同方法,做第二步有m2种不同方法……做第n步有mn种不同方法,那么完成这件事一共有N=m1xm2x…xmn种不同的方法。
(2)加法原理:
一般地,如果完成一件事有k类方法,第一类方法中有m1种不同做法,第二类方法中有m2种不同做法……第k类方法中有mk种不同做法,那么完成这件事一共有N=m1+m2+…+mk种不同的方法。
(3)排列问题:
从n个不同元素中任取出m个(m≤n)元素,按照一定的顺序排成一列。
排列数公式pnm=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
(4)组合问题:
从n个不同元素中任取出m个(m≤n)元素,组成一个不计组内各元素顺序的组合。
组合数公式m=
例题:
林辉在自助餐店就餐,他准备挑选三种肉类中的一种肉类,四种蔬菜中的二种不同蔬菜,以及四种点心中的一种点心。
若不考虑食物的挑选次序,则他可以有多少不同选择方法?
解析:
挑选三种肉类中的一种有C31种方法,挑选四种蔬菜中的两种不同蔬菜有C42种方法,挑选四种点心中的一种有C41种方法。
根据乘法原理,不考虑食物的挑选顺次,
C31C42C41=3x6x4=72
答案:
他可以有72种不同选择方法。
补充练习
1、若干学生住若干房间,如果每间住4人,则有20人没地方住,如果每间住8人,则有一间只有4人住,问共有多少学生?
A.30人 B.34人 C.40人 D.44人
使用代入法
答案:
D
2、三角形的内角和为180°,问六边形的内角和是多少度?
A.720°B.600°C.480°D.360°
核心公式180°(n-2)
答案:
A
3、某班有35个学生,每个学生至少参加英语小组、语文小组、数学小组中的一个课外活动小组。
现已知参加英语小组的有17人,参加语文小组的有30人,参加数学小组的有13人。
如果有5个学生三个小组全参加了,问有多少个学生只参加了一个小组?
A.15人 B.16人 C.17人 D.18人
画图求解
答案:
A
4、一个快钟每小时间比标准时间快1分钟,一个慢钟每小时比标准时间慢3分钟。
如将两个钟同时调到标准时间,结果在24小时内,快钟显示10点整时,慢钟恰好显示9点,则此时的标准时间是:
A.9点15分 B.9点30分
C.9点35分 D.9点45分
解题关键:
慢:
快=3:
1
答案:
D
5、100X多米诺骨牌整齐地排成一列,依顺序编号为1、2、3……99、100。
第一次拿走所有奇数位置上的骨牌,第二次再从剩余骨牌中拿走所有奇数位置上的骨牌,依此类推。
请问最后剩下的一X骨牌的编号是多少?
( )
A.32 B.64 C.88
D.96
由题意可知,最后剩下的骨牌编号为2n,
100以内的是64
答案:
B
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