数学傻问题之四倍数特征割不割五下.docx
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数学傻问题之四倍数特征割不割五下
数学“傻问题”之四——“倍数特征”割不割?
有这么一个故事,说是某个“刑侦高手”,以庞大的罪犯数据库为基础,分析了所有的嫌疑人的面貌特征,找出了与犯罪联系最高的几种(比如“光头”),编出了程序,可以通过面部分析判断一个人犯罪的可能性大小。
结果是,当他煞有介事地用程序分析名人照片时,却找到了葛优与乐嘉。
显然葛优与乐嘉不是罪犯,那么这个故事重申了“人不可貌相”的道理,也提醒我们凡事不可武断。
在现实生活中,“外貌协会”的势力广泛,而在人教2013版五年级数学下册中也有这么一个类似的问题——倍数特征。
在教学了“因数与倍数”的概念后,教材引导学生学习了2、5、3的倍数特征(9~13页),在13页还有“4的倍数特征”。
这些一位数的倍数特征比较好记,是我们判断的好方法,也是“试卷中的常客”。
那么,其他一位数的倍数有没有相应的特征可以供我们快速判断呢?
其他两位数的倍数有没有?
如果数字更大一些呢?
带着这些问题我们开始了“艰苦卓绝”的研究。
一、教材知识及方法梳理
教材首先采用“百数表”的方法,通过划出2、5的倍数来寻找他们倍数的特征。
包括后面3的倍数特征和质数的寻找(“埃拉托斯特尼筛法”,请自行XX),列表找规律都是很方便的,因为这种方法非常直观,如果有简单的规律一定能马上看出来。
按照这样的方法我们可以快速判断2、5、3的倍数特征,并引申出了一些概念。
总结如下(以下方框部分均摘自“五年级下册知识点汇总(数学-人教2013版)”)。
在探究4的倍数特征时,通过百数表划数字我们可以发现,当十位上是奇数时,个位上必须是2和6才能是4的倍数,而当十位上是偶数时,个位则都是0、4或8。
而且超过100后,这样的规律仍然反复出现,因此总结出了4的倍数特征。
4的倍数:
①后两位能被4整除的数,是4的倍数。
如224,732,84908等。
快速判断方法:
100÷4=25,因此百位及更高位的数字都不用看,而20÷4=5,因此被20整除的部分也不用看。
可以先看后两位数字,然后除以20,剩下的余数再看能否被4整除。
如判断289042762是不是4的倍数,直接看后两位62,再除以20,余2,不是4的倍数。
②十位上数字的2倍加上个位上数字的和,能被4整除的数,是4的倍数。
这是4的倍数特征的另一种判断方法,原理同上。
二、规律拓展及研究起点
有了2、3、4、5的倍数特征作基础,其他数字的倍数特征是不是也能迎刃而解呢?
先来看6,6的倍数有6、12、18、24、30、36、…个位每30重复一次,因此如果只看个位的话,还需要判断是否是3的倍数,而6、2、8、4、0都是偶数,因此还要看是否是2的倍数——其实6=2×3,6的倍数也一定是2和3的倍数,因此得出6的倍数特征。
6的倍数:
同时是2和3的倍数的数,是6的倍数。
如324,6744,75048等
快速判断方法:
先看个位是否是偶数,再看是否是3的倍数。
6的倍数特征的发现给了我们莫大启发,要判断一个合数的倍数特征,只要了解他所有“质因数”的倍数特征,如果同时满足,那么就能判定是这个合数的倍数。
(不过这个方法不适用于质因数重复的合数,如12的倍数,还是要找4和3的倍数,而不止是2和3的倍数。
)以此类推,我们可以知道,15的倍数同时也是5和3的倍数,21的倍数同时也是3和7的倍数,63的倍数同时也是7和9的倍数……
在研究7的倍数特征时,遇到了一些麻烦,用百数表找不到7的倍数,7的倍数也不会是任一个计数单位,暂且搁置起来。
再来看8的倍数特征,8的倍数肯定不止同时是2和4的倍数,他必须含有3个质因数2,从百数表来看,5个8是40,25个8是200,还能推出125个8是1000,因此8的倍数每1000循环一次,只要看后三位即可。
在后三位中,每次消去200或40,不改变是否是8的倍数。
因此得到8的倍数特征。
8的倍数:
①百位上是奇数,后两位加4(或百位上是偶数,后两位)能被8整除的数,是8的倍数。
如648,952,3336等。
②百位上数字的4倍加上十位上数字的2倍再加上个位上数字的和,能被8整除的数,是8的倍数。
快速判断方法:
1000÷8=125,因此千位及更高位的数字都不用看,而200÷8=25,因此被200整除的部分也不用看,又有40÷8=5,因此可以先看后三位数字,然后除以200,剩下的余数再除以40,再看余数能否被8整除。
如判断234242784是不是8的倍数,直接看后三位784,再除以200,余184,再除以40,余24,是8的倍数。
后3位784中,7×4+8×2+4=48,是8的倍数,因此原数也是8的倍数。
也可以先除以2,然后再看得数是否是4的倍数。
关于9的倍数特征,课本上其实已经提到,在课本第13页“你知道吗?
”
原理是将这个数的每一位分解成两部分,一部分是9、99、999、…的倍数,另一部分是那一位上的数字,因为不管多少个9,都是9的倍数,加起来也是,因此只要看各个数位上的数字之和是不是9的倍数就可以了。
这样的方法还可以反复使用,太精妙了!
(这样,一下子解决了“判断非常大的数字是否是9的倍数”的问题,数字再大,也相当于算加法,还能反复使用,一步到位了)
9的倍数:
一个数各位上的数的和是9的倍数,这个数就是9的倍数。
如27(2+7=9),126(1+2+6=9),8073(8+0+7+3=18,1+8=9)都是9的倍数。
原理证明:
设一个两位数十位和个位上的数字是a和b,那么它的数值大小是a×10+b,而a×10+b=9a+a+b,9a一定是9的倍数,只要a+b是9的倍数,那么这个数就是9的倍数了,因此两位数十位和个位数字之和是9的倍数,这个数就是9的倍数。
以此类推,请自己证明三位数、四位数等情况。
快速判断方法:
因为9本身是9的倍数,而任何数加上0还是本身,因此只要计算其他数字的和就可以了,此外3和6、2和7、5和4、1和8搭配都是9,也可以不用算。
要判断算出的和是否是9的倍数,可以继续用这种方法。
如判断3518264702889是不是9的倍数,9、0不看,4和5、2和7、3和6、1和8两两不看,剩下2、8、8加起来是18,18中1+8=9,是9的倍数,所以刚才那个数就是9的倍数。
总结一下6、8、9的倍数特征,我们发现,要找出某个数的倍数特征,要么用百数表,要么将他分为若干个质因数,分别找特征,要么将原数化成他的若干倍和一个容易判断的部分。
这三种方法适用性不同,第三种方法似乎可以推广。
方法
优势
劣势
备注
(百)数表
直观
只适用于特殊数字
只适用于质因数只含2、5的数
分解质因数
化繁为简
怕质因数重复
倍数分解
适用性广
不易找通用公式
通过以上归纳,我们将研究重点转移到“求一个质数的倍数特征”上来,但是仍然有7这只“拦路虎”,这时候需要XX帮忙了。
XX的结果很简单:
将一个整数的个位数划去,再用余下的数,减去个位数的2倍,如果得到的差是7的倍数,则原数能被7整除。
将一个整数的个位数划去,再用余下的数,加上个位数的4倍,如果得到的和是13的倍数,则原数能被13整除。
非常简洁,非常完美,也没有多余的解释,判断过程虽然不是很快,但方法很容易记,计算过程也较为简单。
那么到底是怎么回事呢?
三、规律延展及研究过程
(一)规律确定
仔细观察,这种判断方法将原数分为两个部分,一个是个位部分,一个是“余下的”个位之前的部分,将这两部分相加减后再进行判断。
我们可以用字母表示这两个部分来帮助理解,将个位上的数字表示为y,将个位之前的数字表示为x,那么原数可以用10x+y来表示(因为x从十位算起,他的实际值是其10倍,如237=23×10+7)。
根据9的倍数特征的经验,如果能将10x+y转化成x-2y和7的倍数这样的两个部分,就能解释啦!
因为x最后要变成10倍,尝试10(x-2y),等于10x-20y,与10x+y差21y。
以下方框部分是研究过程解释。
10x+y将原数字分割成两部分表示
=10x+21y-20y将其中的y分为“7的倍数”以及“10的倍数”两个部分
=10(x-2y)+21y转化成两部分的算式,只看“7的倍数”以外的表达式来判断
同理进行13的倍数特征的尝试。
10x+y将原数字分割成两部分表示
=10x+40y-39y将其中的y分为“13的倍数”以及“10的倍数”两个部分
=10(x+4y)-39y转化成两部分的算式,只看“13的倍数”以外的表达式来判断
一般每判断一次,原数就少一位,这种方法被形象地叫做“割尾法”。
看来,只要能将1转化为两个部分的差值,而且其中一部分是所求数的倍数,另一部分是10的倍数即可,其中所求数的倍数的个位必须是1或9。
由于1是奇数,10的倍数是偶数,这种方法只适用于找奇数的倍数特征,所幸质数除了2以外全都是奇数,我们可以将“割尾法”进行延展来求其他质数的倍数特征。
(二)规律延展
首先要准备好延展所需材料:
100以内质数表(先研究两位数的),计算器一台(两位数有的很大,便于更快计算),草稿纸若干。
再确定研究目标:
x前数字(称为“x的系数”)应保持为1,因为x可能很多位,一乘就非常不方便口算,而y前数字的符号尽量是“-”,便于迅速缩小结果,y前系数也不宜太大,要便于口算(实际判断时可没有计算器啊)。
开始吧。
11的倍数特征
10x+y
=10x+11y-10y
=10(x-y)+11y
17的倍数特征
10x+y
=10x+51y-50y
=10(x-5y)+51y
19的倍数特征
10x+y
=10x+171y-170y
=10(x-17y)+171y
23的倍数特征
10x+y
=10x+161y-160y
=10(x-16y)+161y
在做到19和23时,明显感到规律不适宜口算(一位数乘17或16不大容易),于是开始探索是否有更好更快的方法。
在继续扩大数字19的倍数之后,发现了多种表达式。
19的倍数特征
10x+y
=10x+171y-170y
=10(x-17y)+171y
19的倍数特征
10x+y
=10x+361y-360y
=10(x-36y)+361y
19的倍数特征
10x+y
=10x+551y-550y
=10(x-55y)+551y
19的倍数特征
10x+y
=10x+20y-19y
=10(x+2y)-19y
前三种是继续扩大的方向,第四种是缩小的方向,显然第四种的判断方法更好些,虽然是加法,但数字够小,口算简单。
由此我们又发现一个规律,只要在形成的两部分中,将括号里y的系数加减所求数的若干倍,倍数特征仍然适用!
根据这个思路,边做边优化,形成下面的结果。
19的倍数特征
10x+y
=10x+20y-19y
=10(x+2y)-19y
23的倍数特征
10x+y
=10x+70y-69y
=10(x+7y)-69y
29的倍数特征
10x+y
=10x+30y-29y
=10(x+3y)-29y
31的倍数特征
10x+y
=10x+31y-30y
=10(x-3y)+31y
37的倍数特征
10x+y
=10x+111y-110y
=10(x-11y)+111y
41的倍数特征
10x+y
=10x+41y-40y
=10(x-4y)+41y
43的倍数特征
10x+y
=10x+70y-69y
=10(x+7y)-69y
47的倍数特征
10x+y
=10x+330y-329y
=10(x+33y)-329y
53的倍数特征
10x+y
=10x+901y-900y
=10(x-90y)+901y
59的倍数特征
10x+y
=10x+60y-59y
=10(x+6y)-59y
61的倍数特征
10x+y
=10x+61y-60y
=10(x-6y)+61y
67的倍数特征
10x+y
=10x+201y-200y
=10(x-20y)+201y
71的倍数特征
10x+y
=10x+71y-70y
=10(x-7y)+71y
73的倍数特征
10x+y
=10x+220y-219y
=10(x+22y)-219y
73的倍数特征
10x+y
=10x+511y-510y
=10(x-51y)+511y
79的倍数特征
10x+y
=10x+80y-79y
=10(x+8y)-79y
83的倍数特征
10x+y
=10x+250y-249y
=10(x+25y)-249y
89的倍数特征
10x+y
=10x+90y-89y
=10(x+9y)-89y
89的倍数特征
10x+y
=10x+801y-800y
=10(x-80y)+801y
97的倍数特征
10x+y
=10x+291y-290y
=10(x-29y)+291y
除了以上质数,还有几个合数(特别是质因数重复的)的倍数特征可以一并探究。
21的倍数特征
10x+y
=10x+21y-20y
=10(x-2y)+21y
27的倍数特征
10x+y
=10x+81y-80y
=10(x-8y)+81y
33的倍数特征
10x+y
=10x+100y-99y
=10(x+10y)-99y
39的倍数特征
10x+y
=10x+40y-39y
=10(x+4y)-39y
49的倍数特征
10x+y
=10x+50y-49y
=10(x+5y)-49y
51的倍数特征
10x+y
=10x+51y-50y
=10(x-5y)+51y
57的倍数特征
10x+y
=10x+171y-170y
=10(x-17y)+171y
57的倍数特征
10x+y
=10x+400y-399y
=10(x+40y)-399y
63的倍数特征
10x+y
=10x+190y-189y
=10(x+19y)-189y
69的倍数特征
10x+y
=10x+70y-69y
=10(x+7y)-69y
77的倍数特征
10x+y
=10x+231y-230y
=10(x-23y)+231y
81的倍数特征
10x+y
=10x+81y-80y
=10(x-8y)+81y
87的倍数特征
10x+y
=10x+261y-260y
=10(x-26y)+261y
91的倍数特征
10x+y
=10x+91y-90y
=10(x-9y)+91y
93的倍数特征
10x+y
=10x+280y-279y
=10(x+28y)-279y
99的倍数特征
10x+y
=10x+100y-99y
=10(x+10y)-99y
其中不包含个位为5的,因为这些数的倍数个位不可能是1或9。
以上奇数的倍数特征判断,有的不止一种方法,有的方法还不够简便,随着数字增大,找不到可以口算乘一位数的好的判断方法。
思考其原因,随着数字增大,括号内y前系数的调整幅度也增大,因此较难找到适合口算的系数。
怎么办呢?
尝试不要一位位“割尾”,而是两位一起割。
而两位一起割的话,尾数y就是两位数,原数的值变为100x+y。
目标是将y变为一个100的倍数,一个所求质数的倍数(尾数为01或99)。
7的倍数特征
100x+y
=100x+301y-300y
=100(x-3y)+301y
11的倍数特征
100x+y
=100x+1001y-1000y
=100(x-10y)+1001y
13的倍数特征
100x+y
=100x+1001y-1000y
=100(x-10y)+1001y
17的倍数特征
100x+y
=100x+901y-900y
=100(x-9y)+901y
19的倍数特征
100x+y
=100x+400y-399y
=100(x+4y)-399y
23的倍数特征
100x+y
=100x+300y-299y
=100(x+3y)-299y
29的倍数特征
100x+y
=100x+2001y-2000y
=100(x-20y)+2001y
31的倍数特征
100x+y
=100x+900y-899y
=100(x+9y)-899y
37的倍数特征
100x+y
=100x+1000y-999y
=100(x+10y)-999y
41的倍数特征
100x+y
=100x+2501y-2500y
=100(x-25y)+2501y
43的倍数特征
100x+y
=100x+301y-300y
=100(x-3y)+301y
47的倍数特征
100x+y
=100x+800y-799y
=100(x+8y)-799y
53的倍数特征
100x+y
=100x+901y-900y
=100(x-9y)+901y
59的倍数特征
100x+y
=100x+2301y-2300y
=100(x-23y)+2301y
61的倍数特征
100x+y
=100x+2501y-2500y
=100(x-25y)+2501y
67的倍数特征
100x+y
=100x+201y-200y
=100(x-2y)+201y
71的倍数特征
100x+y
=100x+2201y-2200y
=100(x-22y)+2201y
73的倍数特征
100x+y
=100x+2701y-2700y
=100(x-27y)+2701y
73的倍数特征
100x+y
=100x+10001y-10000y
=100(x-100y)+10001y
79的倍数特征
100x+y
=100x+1501y-1500y
=100(x-15y)+1501y
83的倍数特征
100x+y
=100x+3901y-3900y
=100(x-39y)+3901y
89的倍数特征
100x+y
=100x+801y-800y
=100(x-8y)+801y
97的倍数特征
100x+y
=100x+3201y-3200y
=100(x-32y)+3201y
在个位、十位“两位一起割”的情况下,有些较大数据(如97)还是无法得到满意的口算判断倍数的方法,于是我们试着向三位数进发,看能否找到合适的系数。
由于是“三位一起割”,原数变为1000x+y,寻找某数倍数要接近1000,尾数只能是999或1001,计算器算也需要花费一定时间。
7的倍数特征
1000x+y
=1000x+1001y-1000y
=1000(x-y)+1001y
11的倍数特征
1000x+y
=1000x+1001y-1000y
=1000(x-y)+1001y
13的倍数特征
1000x+y
=1000x+1001y-1000y
=1000(x-y)+1001y
刚开始3个数字,都可以用同一个公式,坚定了我们寻找规律的信心,继续。
17的倍数特征
1000x+y
=1000x+6001y-6000y
=1000(x-6y)+6001y
19的倍数特征
1000x+y
=1000x+11001y-11000y
=1000(x-11y)+11001y
23的倍数特征
1000x+y
=1000x+2001y-2000y
=1000(x-2y)+2001y
29的倍数特征
1000x+y
=1000x+2001y-2000y
=1000(x-2y)+2001y
31的倍数特征
1000x+y
=1000x+4000y-3999y
=1000(x+4y)-3999y
37的倍数特征
1000x+y
=1000x+1000y-999y
=1000(x+y)-999y
41的倍数特征
1000x+y
=1000x+100000y-99999y
=1000(x+100y)-99999y
43的倍数特征
1000x+y
=1000x+4000y-3999y
=1000(x+4y)-3999y
47的倍数特征
1000x+y
=1000x+18001y-18000y
=1000(x-18y)+18001y
47的倍数特征
1000x+y
=1000x+300001y-300000y
=1000(x-300y)+300001y
53的倍数特征
1000x+y
=1000x+15001y-14999y
=1000(x+15y)-14999y
53的倍数特征
1000x+y
=1000x+250001y-250000y
=1000(x-250y)+250001y
59的倍数特征
1000x+y
=1000x+20001y-20000y
=1000(x-20y)+20001y
61的倍数特征
1000x+y
=1000x+33001y-33000y
=1000(x-33y)+33001y
67的倍数特征
1000x+y
=1000x+40001y-39999y
=1000(x+40y)-39999y
71的倍数特征
1000x+y
=1000x+12000y-11999y
=1000(x+12y)-11999y
73的倍数特征
1000x+y
=1000x+10001y-10000y
=1000(x-10y)+10001y
79的倍数特征
1000x+y
=1000x+120001y-120000y
=1000(x-120y)+120001y
83的倍数特征
1000x+y
=1000x+21000y-20999y
=1000(x+21y)-20999y
89的倍数特征
1000x+y
=1000x+17000y-16999y
=1000(x+17y)-16999y
89的倍数特征
1000x+y
=1000x+250001y-250000y
=1000(x-250y)+250001y
97的倍数特征
1000x+y
=1000x+42001y-42000y
=1000(x-42y)+42001y
通过这样
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- 数学 问题 倍数 特征 割不割五下
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