第六章 第3讲 机械能守恒定律及其应用.docx
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第六章第3讲机械能守恒定律及其应用
第3讲 机械能守恒定律及其应用
目标要求
1.会判断研究对象在某一过程机械能是否守恒.2.能应用机械能守恒定律解决具体问题.
考点一 机械能守恒的判断
基础回扣
1.重力做功与重力势能的关系
(1)重力做功的特点
①重力做功与路径无关,只与始末位置的高度差有关.
②重力做功不引起物体机械能的变化.
(2)重力势能
①表达式:
Ep=mgh.
②重力势能的特点
重力势能是物体和地球所共有的,重力势能的大小与参考平面的选取有关,但重力势能的变化与参考平面的选取无关.
(3)重力做功与重力势能变化的关系
重力对物体做正功,重力势能减小;重力对物体做负功,重力势能增大.即WG=Ep1-Ep2=-ΔEp.
2.弹性势能
(1)定义:
发生弹性形变的物体之间,由于有弹力的相互作用而具有的势能.
(2)弹力做功与弹性势能变化的关系:
弹力做正功,弹性势能减小;弹力做负功,弹性势能增加.即W=-ΔEp.
3.机械能守恒定律
(1)内容:
在只有重力或弹力做功的物体系统内,动能与势能可以互相转化,而总的机械能保持不变.
(2)表达式:
mgh1+
mv
=mgh2+
mv
.
技巧点拨
机械能是否守恒的三种判断方法
(1)利用做功判断:
若物体或系统只有重力(或弹簧的弹力)做功,虽受其他力,但其他力不做功(或做功代数和为0),则机械能守恒.
(2)利用能量转化判断:
若物体或系统与外界没有能量交换,物体或系统也没有机械能与其他形式能的转化,则机械能守恒.
(3)利用机械能的定义判断:
若物体动能、势能之和不变,则机械能守恒.
1.(单个物体机械能守恒的判断)(2020·黑龙江哈师大青冈实验中学高二开学考试)忽略空气阻力,下列物体运动过程中满足机械能守恒的是( )
A.电梯匀速下降
B.物体由光滑斜面顶端滑到斜面底端
C.物体沿着斜面匀速下滑
D.拉着物体沿光滑斜面匀速上升
答案 B
解析 电梯匀速下降,说明电梯处于受力平衡状态,并不是只有重力做功,机械能不守恒,所以A错误;物体在光滑斜面上,受重力和支持力的作用,但是支持力的方向和物体运动的方向垂直,支持力不做功,只有重力做功,机械能守恒,所以B正确;物体沿着粗糙斜面匀速下滑,物体处于受力平衡状态,摩擦力和重力都要做功,机械能不守恒,所以C错误;拉着物体沿光滑斜面匀速上升,物体处于受力平衡状态,拉力和重力都要做功,机械能不守恒,所以D错误.
2.(系统机械能守恒的判断)(2019·山西太原一中模拟)如图1所示,斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止在水平面上.现将一小球从图示位置静止释放,不计一切摩擦,则在小球从释放到落至地面的过程中,下列说法中正确的是( )
图1
A.斜劈对小球的弹力不做功
B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒
C.斜劈的机械能守恒
D.小球重力势能的减少量等于斜劈动能的增加量
答案 B
解析 不计一切摩擦,小球下滑时,小球和斜劈组成的系统只有小球的重力做功,系统机械能守恒,B正确,C、D错误;斜劈对小球的弹力与小球位移的夹角大于90°,故弹力做负功,A错误.
3.(含弹簧系统的机械能守恒的判断)(2020·河北唐山市高三二模)如图2所示,小球从高处下落到竖直放置的轻弹簧上,弹簧一直保持竖直,空气阻力不计,那么小球从接触弹簧开始到将弹簧压缩到最短的过程中,下列说法中正确的是( )
图2
A.小球的动能一直减小
B.小球的机械能守恒
C.克服弹力做功大于重力做功
D.最大弹性势能等于小球减少的动能
答案 C
解析 小球开始下落时,只受重力作用做加速运动,当与弹簧接触时,受到弹簧弹力作用,开始时弹簧压缩量小,因此重力大于弹力,速度增大,随着弹簧压缩量的增加,弹力增大,当重力等于弹力时,速度最大,然后弹簧继续被压缩,弹力大于重力,小球开始减速运动,所以整个过程中小球先加速后减速运动,根据Ek=
mv2,动能先增大然后减小,故A错误;在向下运动的过程中,小球受到的弹力对它做了负功,小球的机械能不守恒,故B错误;在向下运动过程中,重力势能减小,最终小球的速度为零,动能减小,弹簧的压缩量增大,弹性势能增大,根据能量守恒,最大弹性势能等于小球减少的动能和减小的重力势能之和,即克服弹力做功大于重力做功,故D错误,C正确.
考点二 单物体机械能守恒问题
1.机械能守恒的三种表达式
守恒角度
转化角度
转移角度
表达式
E1=E2
ΔEk=-ΔEp
ΔEA增=ΔEB减
物理意义
系统初状态机械能的总和与末状态机械能的总和相等
系统减少(或增加)的重力势能等于系统增加(或减少)的动能
系统内A部分物体机械能的增加量等于B部分物体机械能的减少量
注意事项
选好重力势能的参考平面,且初、末状态必须用同一参考平面计算势能
分清重力势能的增加量或减少量,可不选参考平面而直接计算初、末状态的势能差
常用于解决两个或多个物体组成的系统的机械能守恒问题
2.解题的一般步骤
(1)选取研究对象;
(2)进行受力分析,明确各力的做功情况,判断机械能是否守恒;
(3)选取参考平面,确定初、末状态的机械能或确定动能和势能的改变量;
(4)根据机械能守恒定律列出方程;
(5)解方程求出结果,并对结果进行必要的讨论和说明.
例1
如图3所示,倾角为37°的斜面与一竖直光滑圆轨道相切于A点,轨道半径R=1m,将滑块由B点无初速度释放,滑块恰能运动到圆周的C点,OC水平,OD竖直,xAB=2m,滑块可视为质点,取g=10m/s2,sin37°=0.6,cos37°=0.8,求:
图3
(1)滑块在斜面上运动的时间;
(2)若滑块能从D点抛出,滑块仍从斜面上无初速度释放,释放点至少应距A点多远.
答案
(1)1s
(2)5.75m
解析
(1)设滑块到达A点的速度为vA,以A点所在水平面为参考平面,从A到C过程,根据机械能守恒定律有
mv
=mgRcos37°
从B到A过程,滑块做匀加速直线运动,由匀变速直线运动规律可知vA2=2axAB
vA=at
联立各式解得a=4m/s2,t=1s
(2)设滑块能从D点抛出的最小速度为vD,在D点,由重力提供向心力,有mg=m
从A到D由机械能守恒定律有
mvA′2=mgR(1+cos37°)+
mv
又vA′2=2ax′
联立各式解得x′=5.75m.
4.(单个物体机械能守恒问题)(2020·广东南海中学月考)如图4所示,在地面上以速度v0抛出质量为m的物体,抛出后物体落到比地面低h的海平面上,若以地面为参考平面且不计空气阻力,则下列说法中正确的是( )
图4
A.物体落到海平面时的重力势能为mgh
B.物体从抛出到落到海平面的过程重力对物体做的功大于mgh
C.物体在海平面上的动能为
mv
D.物体在海平面上的机械能为
mv
答案 D
解析 物体运动过程中,机械能守恒,所以任意一点的机械能相等,都等于抛出时的机械能,物体在地面上的重力势能为零,动能为
mv
,故整个过程中的机械能为
mv02,所以物体在海平面上的机械能为
mv02,在海平面上的重力势能为-mgh,根据机械能守恒定律可得-mgh+
mv2=
mv02,所以物体在海平面上的动能为
mv02+mgh,从抛出到落到海平面,重力做功为mgh,所以D正确.
考点三 系统机械能守恒问题
1.解决多物体系统机械能守恒的注意点
(1)对多个物体组成的系统,要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒.
(2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系.
(3)列机械能守恒方程时,一般选用ΔEk=-ΔEp、ΔEA=-ΔEB或ΔE增=ΔE减的形式.
2.几种实际情景的分析
(1)速率相等情景
注意分析各个物体在竖直方向的高度变化.
(2)角速度相等情景
①杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向,杆能对物体做功,单个物体机械能不守恒.
②由v=ωr知,v与r成正比.
(3)某一方向分速度相等情景(关联速度情景)
两物体速度的关联实质:
沿绳(或沿杆)方向的分速度大小相等.
绳连接两物体速度大小相等
例2
(2019·内蒙古巴彦淖尔杭锦后旗奋斗中学高三二模)质量均为m的物体A和B分别系在一根不计质量的细绳两端,绳子跨过固定在倾角为30°的斜面顶端的定滑轮上,斜面固定在水平地面上,开始时把物体B拉到斜面底端,这时物体A离地面的高度为0.8m,如图5所示.若摩擦力均不计,从静止开始放手让它们运动.(斜面足够长,g取10m/s2)求:
图5
(1)物体A着地时的速度大小;
(2)物体A着地后物体B继续沿斜面上滑的最大距离.
答案
(1)2m/s
(2)0.4m
解析
(1)以地面为参考平面,
A、B系统机械能守恒,
根据机械能守恒定律有mgh=mghsin30°+
mv
+
mv
因为vA=vB,
所以vA=vB=2m/s.
(2)A着地后,B机械能守恒,
则B上升到最大高度过程中,
有
mv
=mgΔssin30°
解得Δs=0.4m.
两关联物体速度大小不等
例3
(2020·江苏常州市期末)如图6所示,竖直杆上套有一个质量为m的小球A,用不可伸长的轻质细绳通过轻质定滑轮O,连接小球A、B.小球A从细绳与竖直方向的夹角为37°的位置由静止释放,恰能运动到细绳与竖直方向垂直的C点,一切阻力不计,已知sin37°=0.6.则( )
图6
A.小球A在上升过程中加速度一直减小
B.小球B在最低点时加速度和速度都为零
C.小球B的质量为1.25m
D.小球B的质量为2m
答案 D
解析 小球A在从开始到C点的过程中,先加速后减速,一定存在一个受力平衡的位置,此位置的合力为零,加速度为零,则小球A在上升过程中加速度先减小后增大,选项A错误;
小球A运动到C点后,会重新下降,则小球B在最低点时速度为零,加速度不为零,选项B错误;
设OC=3L,则整个过程中对A、B整体由机械能守恒定律得:
mBg(5L-3L)=mg·4L
解得mB=2m
选项C错误,D正确.
含弹簧系统的机械能守恒问题
例4
(2021·江苏扬州市期中)如图7所示,半径为3L的半圆环固定在竖直平面内,端点A、B等高,圆心O点正下方O′点固定一竖直杆,OO′间距离为10L.质量均为m的小球P、Q分别套在半圆环和竖直杆上,P、Q间用长为5L的轻杆通过两轻质铰链连接,小球Q同时与轻弹簧相连,弹簧原长为4L.现用外力作用在小球Q上,使小球P恰好静止在B点.撤去外力后小球P下滑,不计一切摩擦,重力加速度为g.求:
图7
(1)小球P静止在B点时,轻杆对小球P的弹力大小F1;
(2)小球P从B点滑到最低点C过程中,弹簧弹性势能的变化量ΔEp1以及系统重力势能的减少量ΔEp2;
(3)小球P滑到最低点C时速度大小v以及轻杆和半圆环对小球P作用力的合力大小F2.
答案
(1)
(2)0 7mgL (3)
mg
解析
(1)小球P静止在B点时,OQ距离为
=4L
cosθ=
=0.8
cosθ=
解得F1=
(2)小球P在B点时,弹簧长x1=10L-4L=6L
弹簧被拉长Δx1=2L
小球P滑到最低点C时
弹簧长x2=10L-3L-5L=2L,弹簧被压缩Δx2=2L
弹性势能与初始位置相同
所以在此过程中弹性势能变化量ΔEp1=0
P球下降的高度h1=3L
Q球下降的高度h2=4L
所以在此过程中系统重力势能减少量ΔEp2=7mgL
(3)小球P滑到最低点C时
P球速度水平向左,Q球到达最低点,速度为0
对两球及弹簧组成的系统,由机械能守恒定律得:
7mgL=
mv2
解得:
v=
P球做圆周运动,小球P滑到最低点C时
F2-mg=m
解得:
F2=
mg.
1.对同一弹簧,弹性势能的大小由弹簧的形变量决定,弹簧伸长量和压缩量相等时,弹簧弹性势能相等.
2.物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关.
5.(关联物体的机械能守恒问题)(2020·山东烟台二中期末)如图8,滑块a、b的质量均为m,a套在固定竖直杆上,与光滑水平地面相距h,b放在地面上.a、b通过铰链用刚性轻杆连接,由静止开始运动.不计摩擦,a、b可视为质点,重力加速度大小为g,则( )
图8
A.a落地前,轻杆对b一直做正功
B.a落地时速度大小为
C.a下落过程中,其加速度大小始终不大于g
D.a落地前,当a的机械能最小时,b对地面的压力大小为mg
答案 D
解析 当a到达底端时,b的速度为零,b的速度在整个过程中先增大后减小,动能先增大后减小,所以轻杆对b先做正功,后做负功,A错误;a运动到最低点时,b的速度为零,根据系统机械能守恒得:
mgh=
mv
,解得vA=
,B错误;b的速度在整个过程中先增大后减小,杆对b的作用力先是动力后是阻力,所以杆对a的作用力就先是阻力后是动力,所以在b减速的过程中,杆对a是斜向下的拉力,此时a的加速度大于重力加速度,C错误;a、b及杆系统的机械能守恒,当a的机械能最小时,b的速度最大,此时b受到杆的推力为零,b只受到重力和支持力的作用,结合牛顿第三定律可知,b对地面的压力大小为mg,D正确.
6.(含弹簧系统的机械能守恒问题)(2020·江苏如皋中学高三月考)如图9所示,A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连,A放在固定的光滑斜面上,B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连,C放在水平地面上.现用手控制住A,并使细线刚刚拉直但无拉力作用,同时保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行.已知A的质量为4m,B、C的质量均为m,重力加速度为g,细线与滑轮之间的摩擦不计.开始时整个系统处于静止状态;释放A后,A沿斜面下滑至速度最大时,C恰好离开地面,在此过程中,求:
图9
(1)斜面的倾角α;
(2)弹簧恢复原长时,细线中的拉力大小F0;
(3)A沿斜面下滑的速度最大值vm.
答案
(1)30°
(2)
mg (3)2g
解析
(1)A速度最大时,加速度为零,
对A有4mgsinα=F,
此时B的加速度也为零,C恰好离开地面,
对B、C整体有F=2mg,
解得sinα=
,即α=30°.
(2)设当弹簧恢复原长时,A沿斜面向下运动的加速度大小为a,
对A有4mgsinα-F0=4ma,
对B有F0-mg=ma,
解得F0=
mg.
(3)一开始弹簧处于压缩状态,有mg=k·Δx1,
压缩量Δx1=
,
C恰好离开地面时,弹簧处于伸长状态,
有mg=k·Δx2,
伸长量Δx2=Δx1=
,
因而初、末状态弹簧的弹性势能相等,从释放A球至C球恰好离开地面的过程,对整个系统根据机械能守恒定律有
4mgsinα·(Δx1+Δx2)-mg(Δx1+Δx2)=
(4m+m)v
,
解得vm=
=2g
.
课时精练
1.(2021·福建福州四中高三月考)关于机械能,下列说法正确的是( )
A.机械能守恒时,物体一定只受重力和弹力作用
B.物体处于平衡状态时,机械能必守恒
C.一个系统所受外力为零时,系统机械能守恒
D.物体所受的外力不等于零,其机械能也可能守恒
答案 D
解析 物体机械能守恒的条件是只有重力或者是弹力做功,物体除了受重力和弹力的作用,还有可能受其他力的作用,但是其他力做功为零,故A错误;物体处于平衡状态时,所受的合力为零,机械能不一定守恒,例如物体匀速上升,动能不变,重力势能增大,故B、C错误;物体所受合外力不等于零时,机械能可能守恒,例如自由下落的物体,故D正确.
2.(2020·黑龙江大庆中学开学考试)如图1所示,轨道AB与半径R=0.1m的竖直圆轨道相连,C点为轨道最低点,在最高点D处装有压力传感器可以显示小球对轨道的压力.质量m=0.1kg的小球从A点由静止释放,小球可以沿轨道运动,到达轨道最高点时压力传感器的示数为零.不计一切摩擦,g=10m/s2,则释放点A与C之间的竖直高度差为( )
图1
A.0.05mB.0.25m
C.0.50mD.1.0m
答案 B
解析 小球经过D点时压力传感器的示数为0,即小球通过最高点时恰好不受轨道的压力,由重力提供向心力,由牛顿第二定律有mg=m
,小球在最高点处的速度为v=
,小球由静止运动到最高点的过程中,只有重力做功,由机械能守恒定律得mgh=
mv2+mg·2R,联立解得h=2.5R=2.5×0.1m=0.25m,故选B.
3.(2020·江苏南通、泰州市期末改编)如图2所示,一个轻质弹簧固定在水平地面上,O为弹簧原长时上端的位置,一个质量为m的物体从O点正上方的A点由静止释放落到弹簧上,物体压缩弹簧到最低点B后向上运动,则下列说法中正确的是( )
图2
A.物体落到O点后,立即做减速运动
B.物体从O点运动到B点,动能一直减小
C.物体在B点时加速度为零
D.若不计空气阻力,在整个过程中,物体与弹簧组成的系统机械能守恒
答案 D
解析 物体开始接触弹簧时,弹簧的弹力小于重力,其合力向下,向下做加速度逐渐减小的加速运动,运动到某个位置时,合力为零,加速度为零,速度最大,后来弹簧的弹力大于重力,合力方向向上,向下做加速度逐渐增大的减速运动,故A、B错误;物体在B点所受合力向上,不为零,故C错误;在整个过程中,只有重力和弹簧弹力做功,物体与弹簧组成的系统机械能守恒,故D正确.
4.(2020·河北衡水市模拟)有一款名叫“跳一跳”的微信小游戏,游戏要求操作者通过控制棋子(质量为m)脱离平台时的速度,使其能从一个平台跳到旁边的平台上.如图3所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹,不计空气阻力.则下列说法中正确的是(重力加速度为g)( )
图3
A.棋子从起跳至运动到最高点的过程中,机械能增加mgh
B.棋子离开平台时的动能为mgh
C.棋子从离开平台至运动到最高点的过程中,重力势能增加mgh
D.棋子落到平台上的速度大小为
答案 C
5.如图4所示,可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接,跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱,A的质量为B的两倍.当B位于地面上时,A恰与圆柱轴心等高.将A由静止释放,B上升的最大高度是( )
图4
A.2RB.
C.
D.
答案 C
解析 设B球的质量为m,则A球的质量为2m,A球刚落地时,两球速度大小都为v,根据机械能守恒定律得2mgR=
(2m+m)v2+mgR,得v2=
gR,B球继续上升的高度h=
=
,B球上升的最大高度为h+R=
R,故选C.
6.(2020·四川三台中学实验学校期末)如图5(a)所示,在竖直平面内固定一光滑的半圆形轨道ABC,半径为0.4m,小球以一定的初速度从最低点A冲上轨道,图(b)是小球在半圆形轨道上从A运动到C的过程中,其速率的二次方与其对应高度的关系图像.已知小球在最高点C受到轨道的作用力大小为2.5N,空气阻力不计,B点为AC轨道中点,重力加速度g取10m/s2,下列说法正确的是( )
图5
A.图(b)中x=36
B.小球质量为0.2kg
C.小球在A点时受到的轨道作用力大小为12.5N
D.小球在B点时受到的轨道作用力大小为4.5N
答案 B
解析 根据机械能守恒定律有
mv
=mgh+
mv2,整理得v2-v
=-2gh;由题图(b)可知,当h=0.8m时,v2=9m2/s2,代入上式可得x=v
=25m2/s2,A错误;在最高点时,根据牛顿第二定律有FN+mg=
,可得m=0.2kg,B正确;在A点时,根据牛顿第二定律有FNA-mg=
,可得FNA=14.5N,C错误;小球在B点时FNB=
,又
mv
+mgR=
mv
,整理得FNB=8.5N,D错误.
7.如图6所示,质量M的小球套在固定倾斜的光滑杆上,原长为l0的轻质弹簧一端固定于O点,另一端与小球相连,弹簧与杆在同一竖直平面内.图中AO水平,BO间连线长度恰好与弹簧原长相等,且与杆垂直,O′在O的正下方,C是AO′段的中点,θ=30°.现让小球从A处由静止释放,重力加速度为g,下列说法正确的有( )
图6
A.下滑过程中小球的机械能守恒
B.小球滑到B点时的加速度大小为
g
C.小球下滑到B点时速度最大
D.小球下滑到C点时的速度大小为
答案 D
解析 下滑过程中小球的机械能会与弹簧的弹性势能相互转化,因此小球的机械能不守恒,故A错误;因为在B点,弹簧恢复原长,因此重力沿杆的分力提供加速度,根据牛顿第二定律可得mgcos30°=ma,解得a=
g,故B错误;到达B点时加速度与速度方向相同,因此小球还会加速,故C错误;因为C是AO′段的中点,θ=30°,所以当小球到C点时,弹簧的长度与在A点时相同,故在A、C两位置弹簧弹性势能相等,小球重力做的功全部转化为小球的动能,所以得mgl0=
mv
,解得vC=
,故D正确.
8.(2020·江苏南京、盐城市一模)如图7所示,一根套有光滑轻质小环、不可伸长的轻线,线的一端系在固定点O1,另一端跨过固定的小滑轮O2.在轻质小环上挂质量为M=
m的物体甲,在线的自由端系有质量为m的物体乙,物体乙的下面有一根竖直细线固定,使物体甲、乙保持静止状态,且夹角α=120°,然后剪断细线由静止释放物体甲、乙,物体甲竖直下降,当夹角α变为某一角度α0时甲物体有最大速度.重力加速度为g,忽略滑轮、小环的质量,不计摩擦.求:
图7
(1)剪断前细线所受的拉力大小;
(2)物体甲有最大速度时,物体乙的加速度大小;
(3)物体甲由静止下降到最低位置,甲、乙两物体发生的位移大小之比.
答案
(1)(
-1)mg
(2)(
-1)g (3)
解析
(1)当α=120°时,设与小环接触的轻线拉力为F1,对小环受力分析有2F1cos
=Mg
解得F1=
mg
设乙下面的细线拉力为F2,对乙受力分析有F1=mg+F2
解得F2=(
-1)mg
(2)当夹角为α0时,设轻线拉力为F′,对小环受力分析有2F′cos
=Mg
设此时乙物体的加速度为a乙,对乙受力分析有F′-mg=ma乙
解得a乙=(
-1)g
(3)物体甲在最低位置处时v甲=0,v乙=0
由系统机械能守恒得
mgh甲=mgh乙
解得
=
.
9.(2021·江苏无锡市期中)质量不计的直角形支架两端分别连接质量为2m的小球A和质量为3m的小球B.支架的两直角边长度分别为2L和L,支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动,如图8所示.开始时OA边处于水平位置,取此时OA所在水平面为零势能面,重力加速度为g,现将小球A由静止释放,求:
图8
(1)小球A到达最低点时,整个系统的总机械能E;
(2)小球A到达最低点时的速度大小vA;
(3)当OA直角边与水平方向的夹角θ为多大时,小球A的速度达到最大?
并求出小球A的最大速度v.
答案
(1)-3mgL
(2)2
(3)53° 4
解析
(1)由题意得,小球A到达最低点的过程中,整个系统的总机械能守恒,
则E=E初=-3mgL
(2)小球A到达最低点时,根据系统机械能守恒可知:
2mg·2L=3mg·L+
×2mv
+
×3mv
由题意得,两球的角速度相同,则其线速度大小之比为vA∶
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- 第六章 第3讲 机械能守恒定律及其应用 第六 机械能 守恒定律 及其 应用