参考高考数学考点解读+命题热点突破专题02平面向量与复数理.docx
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参考高考数学考点解读+命题热点突破专题02平面向量与复数理
(参考)2019年高考数学考点解读+命题热点突破专题02平面向量与复数理
【考向解读】
1.考查平面向量的基本定理及基本运算,预测多以熟知的平面图形为背景进行考查,多为选择题、填空题、难度中低档.
2.考查平面向量的数量积,预测以选择题、填空题为主,难度低;向量作为工具,还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合,以解答题形式出现.
【命题热点突破一】平面向量的线性运算
(1)在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化;
(2)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量;在用三角形减法法则时要保证“同起点”,结果向量的方向是指向被减向量.
例1、【2016高考新课标2理数】已知向量,且,则()
(A)-8(B)-6(C)6(D)8
【答案】D
【解析】向量,由得,解得,故选D.
【变式探究】
(1)设0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=______.
(2)如图,在△ABC中,AF=AB,D为BC的中点,AD与CF交于点E.若=a,=b,且=xa+yb,则x+y=________.
【答案】
(1)
(2)-
【解析】
(1)因为a∥b,
所以sin2θ=cos2θ,2sinθcosθ=cos2θ.
因为0<θ<,所以cosθ>0,
得2sinθ=cosθ,tanθ=.
(2)如图,设FB的中点为M,连接MD.
因为D为BC的中点,M为FB的中点,所以MD∥CF.
因为AF=AB,所以F为AM的中点,E为AD的中点.
方法二 易得EF=MD,MD=CF,
所以EF=CF,所以CE=CF.
因为=+=-+=-b+a,
所以=(-b+a)=a-b.
所以x=,y=-,则x+y=-.
【感悟提升】
(1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底;同时注意共线向量定理的灵活运用.
(2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.
【变式探究】
(1)已知向量i与j不共线,且=i+mj,=ni+j,m≠1,若A,B,D三点共线,则实数m,n满足的条件是( )
A.m+n=1B.m+n=-1
C.mn=1D.mn=-1
(2)在△ABC中,点M,N满足=2,=.若=x+y,则x=________;y=________.
【答案】
(1)C
(2) -
【解析】
(1)因为A,B,D三点共线,所以
=λ⇔i+mj=λ(ni+j),m≠1,又向量i与j不共线,所以所以mn=1.
(2)如图,=+
=+
=+(-)
=-,
∴x=,y=-.
【命题热点突破二】平面向量的数量积
(1)数量积的定义:
a·b=|a||b|cosθ.
(2)三个结论
①若a=(x,y),则|a|==.
②若A(x1,y1),B(x2,y2),则
||=.
③若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,
则cosθ==.
例2、【2016高考江苏卷】如图,在中,是的中点,是上的两个三等分点,,,则的值是▲.
【答案】
【变式探究】
(1)如图,在平行四边形ABCD中,已知AB=8,AD=5,=3,·=2,则·的值是________.
(2)在△AOB中,G为△AOB的重心,且∠AOB=60°,若·=6,则||的最小值是________.
【答案】
(1)22
(2)2
【解析】
(1)由=3,得==,=+=+,=-=+-=-.因为·=2,所以(+
)·(-)=2,即2-
·-2=2.又因为2=25,2=64,所以·=22.
(2)如图,在△AOB中,==×(+)
=(+),
又·=||||·cos60°=6,
∴||||=12,
∴||2=(+)2=(||2+||2+2·)=(||2+||2+12)≥×(2||||+12)=×36=4(当且仅当||=||时取等号).
∴||≥2,故||的最小值是2.
【感悟提升】
(1)数量积的计算通常有三种方法:
数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义;
(2)可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.
【命题热点突破三】平面向量与三角函数
平面向量作为解决问题的工具,具有代数形式和几何形式的“双重型”,高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题,通过向量运算作为题目条件.
例3、已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),其中0<α (1)若α=,求函数f(x)=b·c的最小值及相应x的值; (2)若a与b的夹角为,且a⊥c,求tan2α的值. 【解析】 (1)∵b=(cosx,sinx), c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),α=, ∴f(x)=b·c =cosxsinx+2cosxsinα+sinxcosx+2sinxcosα =2sinxcosx+(sinx+cosx). 令t=sinx+cosx, 则2sinxcosx=t2-1,且-1 则y=t2+t-1=2-,-1 ∴t=-时,ymin=-, 此时sinx+cosx=-, 即sin=-, ∵ ∴x+=π,∴x=. ∴函数f(x)的最小值为-,相应x的值为. 【感悟提升】在平面向量与三角函数的综合问题中,一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题,如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系,利用向量模表述三角函数之间的关系等;另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题. 【变式探究】在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a>c,已知·=2,cosB=,b=3.求: (1)a和c的值; (2)cos(B-C)的值. 【解析】 (1)由·=2得c·acosB=2. 又cosB=,所以ac=6. 由余弦定理,得a2+c2=b2+2accosB. 又b=3,所以a2+c2=9+2×6×=13. 解得或 因为a>c,所以a=3,c=2. 【命题热点突破四】复数的概念与运算 复数运算的重点是除法运算,其关键是进行分母实数化,分子分母同时乘分母的共轭复数.对一些常见的运算,如(1±i)2=±2i,=i,=-i等要熟记. 例4、【2016高考天津理数】已知,i是虚数单位,若,则的值为_______. 【答案】2 【解析】由,可得,所以,,故答案为2. 【变式探究】 (1)若复数z=,则|z|=( ) A.B. C.1D.2 (2)已知复数z=(i为虚数单位),则复数z在复平面内对应的点在( ) A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限 【答案】 (1)C (2)B 【解析】 (1)z===-i,,所以|z|==1. (2)z==-1-i,则复数z=-1+i,对应的点在第二象限. 【高考真题解读】 1.【2016高考新课标2理数】已知向量,且,则() (A)-8(B)-6(C)6(D)8 【答案】D 【解析】向量,由得,解得,故选D. 2.【2016高考江苏卷】如图,在中,是的中点,是上的两个三等分点,,,则的值是▲. 【答案】 【解析】因为, , 因此, 3.【2016年高考四川理数】在平面内,定点A,B,C,D满足==,===-2,动点P,M满足=1,=,则的最大值是() (A)(B)(C)(D) 【答案】B 【解析】甴已知易得.以为原点,直线为轴建立平面直角坐标系,如图所示,则设由已知,得,又 ,它表示圆上的点与点的距离的平方的,,故选B. 1.【2016新课标理】设其中,实数,则() (A)1(B)(C)(D)2 【答案】B 【解析】因为所以故选B. 2.【2016高考新课标3理数】若,则() (A)1(B)-1(C)(D) 【答案】C 【解析】,故选C. 3.【2016高考新课标2理数】已知在复平面内对应的点在第四象限,则实数的取值范围是() (A)(B)(C)(D) 【答案】A 【解析】要使复数对应的点在第四象限应满足: ,解得,故选A. 4.【2016年高考理数】设,若复数在复平面内对应的点位于实轴上,则_______________. 【答案】-1 【解析】,故填: -1 5.【2016高考山东理数】若复数z满足其中i为虚数单位,则z=() (A)1+2i(B)12i(C)(D) 【答案】B 【解析】设,则,故,则,选B. 6.【2016高考天津理数】已知,i是虚数单位,若,则的值为_______. 【答案】2 【解析】由,可得,所以,,故答案为2. 7.【2016高考江苏卷】复数其中i为虚数单位,则z的实部是________▲________. 【答案】5 【解析】,故z的实部是5 1.(2015·新课标全国Ⅱ,2)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=( ) A.-1B.0C.1D.2 解析 因为a为实数,且(2+ai)(a-2i)=4a+(a2-4)i=-4i,得4a=0且a2-4=-4,解得a=0,故选B. 答案 B 2.(2015·广东,2)若复数z=i(3-2i)(i是虚数单位),则z=( ) A.3-2iB.3+2iC.2+3iD.2-3i 解析 因为z=i(3-2i)=2+3i,所以z=2-3i,故选D. 答案 D 3.(2015·四川,2)设i是虚数单位,则复数i3-=( ) A.-iB.-3iC.iD.3i 解析 i3-=-i-=-i+2i=i.选C. 答案 C 4.(2015·山东,2)若复数z满足=i,其中i为虚数单位,则z=( ) A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i 解析 ∵=i,∴z=i(1-i)=i-i2=1+i,∴z=1-i. 答案 A 5.(2015·新课标全国Ⅰ,1)设复数z满足=i,则|z|=( ) A.1B.C.D.2 解析 由=i,得1+z=i-zi,z==i,∴|z|=|i|=1. 答案 A 6.【2015高考福建,理9】已知,若点是所在平面内一点,且,则的最大值等于() A.13B.15C.19D.21 【答案】A 【解析】以为坐标原点,建立平面直角坐标系,如图所示,则,,,即,所以,,因此 ,因为,所以的最大值等于,当,即时取等号. 7.【2015高考湖北,理11】已知向量,,则. 【答案】9 【解析】因为,, 所以. 8.【2015高考山东,理4】已知菱形的边长为,,则() (A)(B)(C)(D) 【答案】D 【解析】因为 故选D. 9.【2015高考陕西,理7】对任意向量,下列关系式中不恒成立的是() A.B. C.D. 【答案】B 10.【2015高考四川,理7】设四边形ABCD为平行四边形,,.若点M,N满足,,则() (A)20(B)15(C)9(D)6 【答案】C 【解析】 ,所以 ,选C. 11.【2015高考安徽,理8】是边长为的等边三角形,已知向量,满足,,则下列结论正确的是() (A)(B)(C)(D) 【答案】D 【解析】如图, 由题意,,则,故错误;,所以,又,所以,故错误;设中点为,则,且,而,所以,故选D.
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- 参考 高考 数学 考点 解读 命题 热点 突破 专题 02 平面 向量 复数