新培训小学数学思想方法解读与备课专辑.docx
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新培训小学数学思想方法解读与备课专辑
新课程小学数学思想方法解读与备课专辑
正文来源:
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当好一个小学数学教师,必须具备两个条件:
一是具有深厚的数学功底,能够洞悉教材中蕴含的思想和方法;二是具备丰富的教学经验,即对学生的认识规律和水平了如指掌,并对动态教学过程的把握游刃有余。
但是前者经常被忽略。
后者备受关注,却常常停留于对案例的模仿。
今年月上旬,《人民教育》第-期合刊将特别推出《新课程小学数学思想方法解读与备课专辑》。
此《专辑》以小学数学四大领域内容为逻辑框架,主要包括两大部分内容:
一是由课程标准组的专家对小学数学中的主要思想方法进行深刻而通俗的解读,并针对广大教师在新课程实施过程中出现的一些重要问题予以澄清和提示;二是邀请对数学教学有着深刻理解、教学积累深厚的著名特级教师、优秀教师,如,曹培英、徐斌、华应龙、黄爱华、张齐华等执笔,以人教版、北师大版教材为基础,同时兼顾其他版本的小学数学教材,从小学数学各领域的重点难点教学内容出发,既分学段又以整体的眼光,对小学数学进行了整体解读,重点阐释了核心的教学理念、数学思想和方法,并通过丰富、精彩的案例对教师的备课、教学以可操作性的启示。
此《专辑》不同于一般的教师备课用书,撰写者均以日常课堂教学中的实践问题为切入点,又不囿于对日常教学的一般认识,揭示了数学教学的本质和规律。
给人以广阔的教学视野及专业的深度,是一本不可多得的提高教师教学水平的教学、备课用书。
专辑总体架构如下:
●数与代数
.理解意义,培养数感——“数与代数”备课解读与难点透视
◆认数教学以理解数的意义为重点。
让学生理解数的意义,建立正确的数的概念一般有两个角度:
一是从数的组成去建构;二是联系实际来体会。
◆数感需要培养。
数感与具有数学知识的多少、理解数学知识的程度有关,便更多地表现为应用数与运算的态度和意识。
◆如果把抽象的数学知识与具体的图形结合起来,挖掘和利用概念中的直观成分,能有效降低教学难度。
.把握基本矛盾走向有效教学——“数的运算”备课解读与难点透视
◆在口算教学中,除了让学生理解算理、掌握算法,还要注重口算训练的科学合理性。
◆基本算法并不是唯一的算法,基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。
多数学生喜欢的方法,教师易教,学生易学的方法,对后续知识的掌握有价值的方法,是最理想的基本算法。
◆在算理直观与算法抽象之间应该架设一座桥梁,让学生装在充分体验中逐步完成由动作思维向形象思维,再向抽象思维的发展过程。
.把握“转折”:
从“算术”走向“代数”——“式与方程”“正比例、反比例”备课解读与难点透视
◆在教学认识方程时,教师要有“建模”意识。
解方程不能演绎为操作、训练解方程技巧的过程,而应当成为数学模型转换、深刻理解“相等关系”的过程。
◆比的教学重在理解比的意义,而不只是解决实际问题。
.一个凸显数学本质的教学领域——“探索规律”备课解读与难点透视
◆探索规律作为小学数学知识结构亲朋的部分,也需要系统的眼光,构建一个适合学生学习的序列。
◆从在一个单位时间设计一个教学活动的教学角度看,教材的编写和课堂教学设计都是选择的艺术。
教学目标的多元化也促使教学时要更注重效率。
●空间与图形
.认识图形发展空间观念提升数学思考——“图形的认识、测量”备课解读与难点透视
◆该告诉的不妨告诉;只是以怎样的方式“告诉”,却是一门艺术。
◆唯有将观察活动与想象、推理、表达、思考有机结合为一体,观察能力才能得以培养。
◆要善于引导学生在适当的时候跳出具体的、直观的解题方法,以相对抽象、更为为一般的层面上认识算法,理解问题结构。
.“图形与位置”备课解读与难点透视
◆准确把握教学目标,不要偏离“初步认识”的整体定位。
◆要依据儿童认知空间方位的特点确立教学的难点和组织教学。
◆要善于借助适当的情境与活动,以提示数学知识的实际背景与现实原型。
.“图形与变换”备课解读与难点透视
◆什么是变换?
什么是平移、旋转和轴对称?
教师先要理解这些基本概念。
◆要注意选择典型的、更能体现数学意义的教学活动,否则就容易遮蔽数学概念的本质。
◆要注意引导学生对观察对象圆心适当的简化、抽象,忽略一些无关紧要的细节。
●统计与概率
.“所有的判断都是统计学”——“统计与概率”教学与备课难点解析
◆以不确定性为研究对象的统计与概率有其固有的思想方法,它有加别于讲究因固关系的逻辑思维。
◆学生凭经验就能判断“可能”和“一定”,还需要做实验吗?
鼓励学生用真实的数据、活动以及直观的模拟实验去检查、修正他们对概率的认识。
实验不仅要做,而且要多次做。
◆“动手实践,主动探索”绝不能简单地等同于“动手活动”,二者的主要区别在于前者有着明确的目的性和高度的思维含量。
把握基本矛盾 走向有效教学
——“数的运算”备课解读与难点透视
课改前,关于“数的运算”教学议论很多;
——中国学生的计算能力全球最高,为什么要进行改革?
——计算教学过于形式化、技能化,严重脱离学生生活实际;
——计算教学的训练单调枯燥,严重挫伤了学生的学习热情;
——过分强调精确计算,忽视了估算能力的培养;
……
课改后,关于“数的运算”教学仍然议论很多:
——学生的计算能力(口算能力和笔算能力)严重下降;
——在计算目标(速度和正确率)方面两极分化现象严重;
——计算器的引入干扰了学生计算能力的形成;
——“算法多样化”影响了课堂教学效率;
……
如何应对“数的运算”教学改革中的问题?
本文试从数的运算重要意义与价值、教学内容和目标的变化出发,针对目前数的运算教学中普遍存在的基本矛盾进行分析并提出解决策略。
一、“数的运算”内在思想和方法
“数的运算”在整个小学阶段的学习内容中占有相当大的比重。
正确认识计算在数学教育中的作用,准确了解计算的内在思想和方法,能使我们的计算教学更加科学有效。
数的运算是人们在日常生活中应用最多的数学知识,因此它历来是小学数学教学的基本内容,培养小学生的计算能力也一直是小学数学教学的主要目的之一。
计算教学直接关系着学生对数学基础知识与基本技能的掌握,关系着学生观察、记忆、意志、思维等能力的发展,关系着学生学习习惯、情感、意志等非智力因素的培养。
一定的计算能力是每个公民具备的基本素养之一。
、在日常生活中有广泛的应用。
数的运算是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一。
从抽象的观点来看,客观世界的表现形式可以概括为:
数量、空间和时间及其相互之间的关系。
从数学的角度来看,主要表现在数、量、形三个方面,而计量是离不开数的运算的,空间形式及其关系要量化也离不开数与计算。
任何学科的规律归结为公式后基本上都要运用四则混合运算来计算。
、对培养学生的思维能力有重要作用。
学习数的运算的过程是培养和发展学生逻辑思维能力的过程。
数的运算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系,存在着严密的逻辑性。
每个概念、性质、法则、公式的引入、建立,都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。
学生学习、理解和掌握这些概念、性质、法则、公式都要经过从具体到抽象、感性到理性的过程。
学生把这些概念、性质、法则、公式应用到实际中去,还要经过由一般到特殊的演绎过程。
因此,学生学习、理解和掌握数的运算的有关内容能促进学生思维能力的发展。
、有利于渗透数学思想方法。
数的运算是在人类的生产、生活中产生和发展起来的,由低级到高级、从简单到复杂。
而数的运算中又有很多相互依存、对立统一的概念和计算方法。
如整数与分数、约数与倍数,加与减、乘与除、通分与约分等等。
教学中阐明这些相互依存的概念与概念、计算方法与计算方法之间的相互关系,有利于渗透数学思想方法的教育。
二、内容变化解读。
随着科学技术的发展,尤其是计算机和计算器的逐步普及,“数的运算”中的哪些知识是大多数人最常用的和最基础的知识也在发生着变化。
了解和研究这种变化,重新审视相应的教学内容和教学要求是小学数学课程教材改革研究的任务之一。
.加强的内容。
⑴注重计算与日常生活的联系。
过去一提到计算,常常和“抽象”“单调”“枯燥”等词语联系在一起,计算教学陷入了一些误区。
与传统的计算相比,《标准》注重了通过实际情境使学生体验、感受和理解运算的意义。
在“总体目标”中提出:
“经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程,掌握数与代数的基础知识和基本技能,并能解决简单的问题。
”“经历运用数学符号和图形描述现实世界的过程,建立初步的数感和符号感,发展抽象思维。
”
诚然,计算本身具有抽象性,但其反映的内容又是非常现实的,与人们的生活、生产有着十分密切的联系。
新课程注重计算的现实意义,适当让学生在实际情境中通过活动体验、感受和理解运算的意义、来源、现实背景和本质。
、增加计算器的运用。
计算器的运用一直是小学数学教学讨论的焦点。
《标准》中强调:
“数学课程的设计与实施应重视运用现代信息技术,特别要充分考虑计算器、计算机对数学学习内容和方式的影响,大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源,把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具,致力于改变学生的学习方式,使学生乐意并有更多的精力投入到现实的、探索性的数学活动中去。
”
借助计算器有利于学生进行较复杂的运算,解决简单的实际问题,而且还培养学生探索简单的数学规律。
一方面,学生可以用它进行大数目的加、减、乘、除四则运算,从而减少计算时间,提高计算的速度;另一方面,借助计算器可以引导学生探索一些复杂的、更为现实的应用问题。
可以说,随着计算器进入课堂,能逐步把学生从繁琐的技巧性计算中解放出来,以学习更多有用的数学内容。
当然,计算器的引入是一种新的改革和试验,需要我们深入研究,防止简单化处理,特别是在低年级学生形成基本计算能力的时候要慎用,在高年级学生学习中也要注意不能养成完全依赖计算器的习惯。
、强化估算的作用。
估算是人们在日常生活、工作和生产中,对一些无法或没有必要进行精确测量和计算的数量,所进行的近似的或粗略估计的一种方法。
如今,复杂的计算都可以由计算机或计算器来完成,日常生活和工作中估算的作用越来越突出。
如,人们在使用工具进行计算中,由于操作上的失误会使计算结果有很大的误差,这就要求人们具有一定的估算能力,能对计算结果的合理性(是否在正确结果的范围内)进行判断,并对其合理性做出解释。
另外,估算还可以用于平时的计算,在计算前对结果进行估算,可以使学生合理、灵活地用多种方法去思考问题,在计算后对结果进行估算,可以使学生获得一种最有价值的检验结果的方法。
所以估算能力是现代化社会生活的需要,是衡量人们计算能力的一个重要标准。
重视、加强估算已成为一个世界性的潮流。
《标准》在“内容标准”的具体目标中十分强调估算的作用,在第一学段中强调“能结合具体情境进行估算,并解释估算的过程”,在第二学段中强调“在解决具体问题的过程中,能选择合适的估算方法,养成估算的习惯”。
.削弱的内容
、删减珠算的内容。
珠算作为我国传统的计算工具,在历史上发挥了重要的作用,同时,珠算教学形象性的功能,对于学生大脑智力开发也有很大的促进作用。
但是,当今社会的各行各业,随着计算机的不断普及,人们基本上已经不采用珠算计算的方法。
因此,《标准》中基本不介绍珠算,更没有珠算的运算要求,取而代之的是计算器的进入课堂。
、删减繁琐的运算步骤。
在整数运算方面,《标准》明确提出:
“进行简单的整数四则混合运算(以两步为主,不超过三步)。
”而在这里“简单”运算的含义具体包括:
“加、减法以两三位为主”,“乘法是三位数乘两位数”,“除法是三位数除以两位数”。
在小数、分数运算方面,《标准》提出:
“会分别进行简单的小数、分数(不含带分数)加、减、乘、除运算及混合运算(以两步为主,不超过三步)。
”
、删减运算的数目要求。
在口算方面,《标准》提出:
“会口算百以内一位数乘、除两位数。
”在笔算方面,提出:
“能笔算三位数乘两位数的乘法,三位数除以两位数的除法。
”
我们知道,同样的一类计算题目,数目较大的运算比数目较小的运算,其错误率有成倍的增长。
因此,降低数在运算过程中的数目要求,也就降低了学生的错误率,真正减轻了学生的负担。
三、教学要点
第一学段总体要求:
“应重视口算,加强估算,提倡算法多样化;应减少单纯的技能性训练,避免繁杂计算和程式化地叙述‘算理’。
”
第二学段总体要求:
“应重视口算,加强估算,鼓励算法多样化;应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系,并运用所学知识解决问题的过程;应避免繁杂的运算,避免将运算与应用割裂开来,避免对应用题进行机械的程式化训练。
”
在实际的教学中,要特别注意如下问题的解决。
、如何建立四则运算概念?
首先,应注重在具体情境中体会运算意义。
四则运算是小学数学最基础的知识,在小学阶段,一般对加法的定义是:
“把两个数合并成一个数的运算。
”减法的定义是:
“已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算。
”乘法的定义是:
“求相同加数的和的简便运算。
”除法的定义是:
“已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算。
”这些运算定义虽然在表述上已经比较直观,但对于低年级的小学生来说,仍是十分抽象的。
心理学研究表明,当一个数的运算与代表情境中的物体相联系时,才能在学生的头脑中获得真正的意义。
情景可以赋予数以意义,从而使抽象的数成为具体的物体。
因此《标准》提出了“结合具体情境”的要求。
案例:
“加法”的教学(人教版一上)
教材创设了学生熟悉的活动情境“折纸游戏”:
折了只红色的纸鸟,只蓝色的纸鸟。
教学时,可以组织学生观察叙说:
红色纸鸟的只数可以用“”表示,蓝色纸鸟可以用“”表示,一共折的纸鸟只数可以用“”表示;要求一共有多少只纸鸟,可以把“”和“”合并起来,在数学上把这种运算叫做“加法”,写成“+”;然后让学生联系情境说一说“”“”“”和“+”各表示什么含义;最后再通过小朋友把两只手里的气球合并以及让学生动手摆学具等活动,逐步形成对加法意义的认识。
这样的教学过程,学生对加法含义的理解,建立在丰富的感性积累基础之上,在头脑中形成显明的动态表象,从而获得关于加法运算意义的准确理解。
其次,应淡化概念形式,注重数学本质。
案例:
“乘法”的教学(苏教版课程标准实验教材一下第页)
教材通过情境图,首先让学生在具体活动中感知“几个几”:
兔有个,鸡有个;再让学生用已经学过的连加进行计算:
++,+++。
接着通过操作学具和观察花片等活动,使学生进一步体验“几个几”:
个可以写成++,个可以写成++++。
然后通过计算桌子上电脑的台数:
+++,讲述——“个相加,可以写成×或×”。
同时结合教学乘号、乘数、积等名称和乘法算式的读法。
这样的编排和教学,改变了传统教学中强调“相同加数”“相同加数的个数”“每份数”“份数”“被乘数”“乘数”等过分形式化的概念以及所谓被乘数和乘数不能位置的人为障碍设置,强化了乘法的本质——同数相加。
学生认识乘法的过程,成为了快乐的学习体验过程,成了理解数学本质的过程。
、如何重视口算教学?
口算也称心算,是一种不借助计算工具,仅依靠记忆与思维,直接算出结果的计算方式。
口算基于个人对数的基本性质和算术运算的理解,口算不仅仅是笔算的基础,而是运算中独立的一部分,同时口算在日常生活中有着很高的应用价值。
因此,口算不仅有实践意义,而且是数感发展过程中的一个重要部分,口算可以发展高层次的数学思维,以及解决问题的能力。
在教学中具体落实“重视口算”的目标,应注重如下两点:
()在数形结合中理解口算原理。
数的运算,其实质是对现实生活中物体的个数进行运算,可以说小学阶段的每个算式都可以在生活中找到实例。
在让学生理解口算的算理时,除了要与实际情境相结合,还要逐步过渡为数学的语言符号。
案例:
“整百数加、减整百数”的教学(北师大版课程标准实验教材二下第页)
首先创设“买电器”的情境:
洗衣机元,电冰箱元,电视机元,电风扇元。
提出问题:
“爸爸买一台洗衣机和一台电视机共花多少钱?
”列式:
+。
接着通过具体的人民币(都是面值百元)的呈现,引发学生思考:
加等于,+。
然后又通过计数器演示:
个百加个百是个百,也就是。
最后让学生叙说自己的思考和计算过程。
这样的编排和教学,由具体实物(人民币)的操作过渡到半形象半抽象的计数器(算珠)演示,再通过学生在头脑中的表象运演,使学生逐步理解口算的算理(个百加个百是个百,就是)。
这样的教学符合学生的思维发展规律:
直观动作思维→具体形象思维→抽象思维逻辑。
()科学合理训练,强化基本口算。
在小学阶段的口算内容中,两个一位数相加与其思维相对应的减法和表内乘法与其相对应的除法是四则运算中的基本口算,俗称“四张九九表”,这“四表”是一切计算的基础,务必使学生达到“脱口而出”的熟练程度。
为此,在口算教学中,除了让学生理解算理、掌握算法,还要注重口算训练的科学合理。
笔者调查了当前小学生基本口算能力的现状和错误分布情况,发现目前在低年级阶段有些老师过分提高口算的速度要求(有的要求学生每分钟算道甚至道),而中高年级则忽视基本口算训练,过分依赖笔算。
要强化基本口算,首先应重视基本口算方法的教学。
小学生口算的方法一般存在三个层次:
逐一重新计数→借数数加算或减算→按数群运算。
在教学基本口算时,要重视让学生逐步掌握按数群运算的方法。
所谓数群,是指学生在记数时能将最后说出的数作为所数过的一群对象的总体来把握。
所谓数群计算,就是记数时不以某个物体为单位,而是以数群为单位,如两个两个地数、五个五个的数,等等。
同时我们还应该注意,在教学初期,为了达到算法指导下的正确计算,可不作计算速度的要求。
其次,应注重退位减法与表内除法的思路教学。
小学正处于“具体运算阶段”,思维的可逆性刚刚出现,只能进行初步的逻辑推理。
而以内退位减法和表内除法口算在很大程度上依赖于学生的逆向思维。
因此,教学口算方法时,要特别强化退位减法和表内除法的基本思路(算减想加、算除想乘)的教学,以帮助学生掌握基本方法,同时有意识地培养学生的逆向思维能力。
再次,应注意口算训练科学化。
要提供训练材料,选择训练时机,注意训练方法,考虑训练周期,做到适时、适量、适度。
具体说来,一要注意加强课堂练习,采用讲练结合的方式及时巩固所学口算内容;二要注意练习的针对性,抓住难点反复练习,不能平均用力,甚至出现易题多练、难题少练的现象;三要注意练习形式的多样化,提高学生口算的积极性,避免简单的机械重复。
、如何加强估算意识?
估算具有重要的应用价值,是学生应该具有的重要的计算技能。
随着计算技术的进一步发展,大量的计算并不要求进行精确的计算,一个人在日常活动中进行估算的次数,远比精确计算的次数多得多。
在小学阶段计算教学中,与估算相关的内容很多,如估计商的近似值、试商、估计小数乘法的结果、用估算进行验算等等。
要体现《标准》中“加强估算”的要求,可以着力于以下两方面:
()培养数感是打好估算的基础。
数感是对数和数的关系的一种良好的直觉。
估算可以发展学生对数的认识,并对数感的培养具有重要的意义,同时,良好的数感又是学生进行估算的必要基础。
除了在数的认识时要加强数感的培养,在数的运算过程中更应结合具体计算培养学生的数感。
()掌握估算方法,养成估算习惯。
有研究表明,小学生最常使用的估算方法主要有三种:
简约、转换和补偿。
所谓“简约”,是学生在估算时先把数简化成比较简单的形式。
例如估算“+”,把看作,把看作,这样估算时即想比较简单的形式“+”即可。
所谓“转换”,是学生在估算时把一种问题转换成另一种问题来思考。
例如估算加法问题“++”,把加法问题转换为乘法问题:
“乘是,所以答案差不多是左右。
”而所谓“补偿”,则是学生在进行简约或转换时,进行一些调整,以补偿前面运算中的不足,使估算比较准确。
例如“++”这一问题,学生在转换时可能会进一步想:
“答案大约是,而且会稍小于,因为我在将每一个数都简化成时,用加的部分比用减的更多一些。
”
此外,还要培养学生的估算习惯。
我们在教学中也常常发现,有些学生在计算时会出现一些莫名其妙的错误。
对此,我们应让学生养成及时估算检查的习惯,每做完一道题目,可以先估计一下数值,然后与实际计算所得的答案比较,及时觉察出错误并加以更正。
案例:
(北师大三上)
一个同学说“我有一串五色珠子,共颗,每种颜色颗数都相等。
”另一位同学经过估算指出“这是不可能的。
”
这里,后一位同学就是用估算进行了判断。
他可能用乘法的思路:
乘一个数的得数个位要么是要么是,不可能是。
也可能是用除法的思路:
除以,是有余数的。
可见,养成了估算的良好习惯,能合理解释结果的合理性,验证计算的精确度。
、如何体现算法多样化?
《标准》在第一学段“教学建议”中指出:
“由于学生生活背景和思考角度不同,所使用的方法必然是多样的,教师应尊重学生的想法,鼓励学生独立思考,提倡计算方法的多样化。
”要体现“算法多样化”的思想,应注重以下三方面:
()理解算法多样化的内涵。
所谓算法就是指解决各种数学问题的程序与方法,具体包括运算的方法与解题策略。
这两者都由一定的程序与规则组成,因此,运算方法与解题策略有共性,但两者也有区别。
前者更偏重于技能,可以通过练习获得,并进而成为技巧,而后者虽然也可进行训练,但由于问题的信息复杂要有更多的思维。
两者无本质区别,只有层次之差。
()找准算法多样化的前提。
现代学习心理学研究表明,实施算法多样化也是有前提的,各种不同算法要建立在思维等价的基础上,否则多样化就会导致泛化。
以学生思维凭借的依据看,可以分为基于动作的思维、基于形象的思维、基于符号与逻辑的思维。
显然这三种思维并不在同一层次上,不在同一层次上的算法就应该提倡优化,而且必须优化,只是优化的过程应是学生不断体验与感悟的过程,而不是教师强制规定和主观臆断的过程,应让学生逐步找到适合自己的最优算法。
()把握算法优化的标准。
过去我们仅仅用成人认为惟一合理的方法作为基本算法教给学生。
现在我们认为的基本算法是什么呢?
其实,基本算法并不是惟一算法,基本算法应该是指同一思维层次上的方法群。
以此为基础,这里提出判定基本算法的三个维度:
一是从心理学维度看,多数学生喜欢的方法;二是从教育学维度看,教师易教,学生易学的方法;三是从学科维度看,对后续知识的掌握有价值的方法。
理想的基本算法是三位一体的,在小学阶段,随着年级的升高对学科维度要求会逐渐增强。
四、当前计算教学存在的基本矛盾和处理策略
依据笔者的调查和分析,课程改革之后计算教学中出现了一些亟需解决的基本矛盾。
现分别加以分析,以寻求良好的处理策略。
、情境创设与复习铺垫
现在的计算教学几乎不见了传统教学中的“复习铺垫”,取而代之的是——“情境创设”。
目前大多计算教学的一般教学流程常常是:
教师创设情景 学生提出问题 独立思考算法 反馈交流算法 自主选择算法。
为此,许多计算课不是从“买东西”开始,就是到“逛商场”结束。
一些老师在上课是首先关注的不是学习内容本身而是如何挖空心思创设新奇诱人的所谓“情境”。
现在的计算教学,很难再看到过去常见的复习铺垫了。
难道,情境创设和复习铺垫真是水火不相容吗?
情景创设和复习铺垫之间到底是怎样的关系呢?
建构主义学习理论认为,学习总是与一定的社会文化背景即“情境”相联系的,在实际情境下进行学习,有利于意义建构。
的确,良好的问题情境能有效地激活学生的有关经验、体验。
《标准》也非常强调,计算教学时“应通过解决实际问题进一步培养数感,增进学生对运算意义的理解”;“应使学生经历从实际问题中抽象出数量关系,并运用所学知识解决问题的过程”;“避免将运算与应用割裂开来”。
然而,任何事物都不是绝对的。
因为数学的来源,一是来自数学外部现实社会的发展需要;二是来自数学内部的矛盾,即数学本身发展的需要。
数学两方面的来源都可能成为我们展开教学的背景。
例如“负数”的教学,传统的教材中很少在小学教学,现在课程标
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