三角形与四边形数学动点问题归类复习.docx
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三角形与四边形数学动点问题归类复习
三角形与四边形数学动点问题归类复习
三角形与四边形数学动点问题归类复习
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:
动中求静.
数学思想:
分类思想数形结合思想转化思想将初一至二学习过的有关知识,结合动点问题进行归类复习,希望对同学们能有所帮助。
一、等腰三角形类:
因动点产生的等腰三角形问题例1:
如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.
求ED、EC的长;
若BP=2,求CQ的长;
记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.
图1 备用图
思路点拨
1.第题BP=2分两种情况.
2.解第题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系.3.第题探求等腰三角形PDF时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三角形CDQ.
图2 图3 图4
图5 图6
考点伸展:
如图6,当△CDQ是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP也是等腰三角形,PB=PD.在△BDP中可以直接求解BP?
25.6二、直角三角形:
因动点产生的直角三角形问题例2:
如图1,直线y?
?
C,点A的坐标是.
试说明△ABC是等腰三角形;
动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.①求S与t的函数关系式;
②设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?
若存在,求出对应的t
值;若不存在请说明理;
③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.
4y轴的交点分别为B、x?
4和x轴、
3
图1
思路点拨:
1.第题说明△ABC是等腰三角形,暗示了两个动点M、N同时出发,同时到达终点.
2.不论M在AO上还是在OB上,用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的,用含有t的式子表示OM要分类讨论.
3.将S=4代入对应的函数解析式,解关于t的方程.
4.分类讨论△MON为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.
图2 图3
图4 图5
考点伸展:
在本题情景下,如果△MON的边与AC平行,求t的值.如图6,当ON//AC时,t=3;如图7,当MN//AC时,t=.
图6 图7
三、平行四边形问题:
因动点产生的平行四边形问题例3:
在直角梯形OABC中,CB//OA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA=35.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.
求点B的坐标;
已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;
点M是中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?
若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理.
图1 图2
思路点拨:
1.第题和第题蕴含了OB与DF垂直的结论,为第题讨论菱形提供了计算基础.
2.讨论菱形要进行两次分类,先按照DO为边和对角线分类,再进行
二级分类,DO与DM、DO与DN为邻边.
图3 图4
考点伸展
如果第题没有限定点N在x轴上方的平面内,那么菱形还有如图6的情形.
图5 图6
四、相似三角形:
因动点产生的相似三角形问题
例4:
如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为/s,当点F到达点C时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E、F、G运动的时间为t.当t= s时,四边形EBFB′为正方形;
若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;是否存在实数t,使得点B′与点O重合?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理.
思路点拨:
利用正方形的性质,得到BE=BF,列一元一次方程求解即可;△EBF与△FCG相似,分两种情况,需要分类讨论,逐一分析计算;本问为存在型问题.假设存在,则可以分别求出在不同条件下的t值,它们互相矛盾,所以不存在.
考点伸展:
本题为运动型综合题,考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点.题目并不复杂,但需要仔细分析题意,认真作答.第问中,需要分类讨论,避免漏解;第问是存在型问题,可以先假设存在,然后通过推导出互相矛盾的结论,从而判定不存在.拓展练习:
1、如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t秒。
当t= 时,四边形是平行四边形;当t= 时,四边形是等腰梯形.
备用图
2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为 。
,?
B?
60°,BC?
2.点O是AC的中点,过3、如图,在Rt△ABC中,?
ACB?
90°点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作
CE∥AB交直线l于点E,设直线l的旋转角为?
.
①当?
②当?
?
度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为 ;?
度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为 ;
当?
?
90°时,判断四边形EDBC是否为菱形,并说明理.
4、在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,直线MN经过点C,且AD⊥MN于D,BE⊥MN
M于E.MC
CM
DC
DENE
ABBA
DEBNA图3N图2图1
(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:
①△ADC≌△CEB;②DE=AD+BE;
(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:
DE=AD-BE;
(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?
请写出这个等量关系,并加以证明.
5、数学课上,张老师出示了问题:
如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点.?
AEF?
90,且EF交正方形外角?
DCG的平行线CF于点F,求证:
AE=EF.经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:
取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证△AME≌△ECF,所以AE?
EF.
在此基础上,同学们作了进一步的研究:
小颖提出:
如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理;
小华提出:
如图3,点E是BC的延长线上的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立.你认为小华的观点正确吗?
如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理.
6、如图,射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动,设P的运动时间为t.求△PAB为等腰三角形的t值;△PAB为直角三角形的t值;
若AB=5且∠ABM=45°,其他条件不变,直接写出△PAB为直角三角形的t值。
7、如图1,在等腰梯形ABCD中,AD∥BC,E是AB的中点,过点E作EF∥BC交CD于点F.AB?
4,BC?
6,∠B?
60?
.求:
求点E到BC的距离;
点P为线段EF上的一个动点,过P作PM?
EF交BC于点M,过M作MN∥ABMN交折线ADC于点N,连结PN,设EP?
x.①当点N在线段AD上时,△P的形状是否发生改变?
若不变,求出△PMN的周长;若改变,请说明理;②当点N在线段DC上时,是否存在点P,使△PMN为等腰三角形?
若存在,请求出所有满足要求的x的值;若不存在,请说明理
AEB
图1AEB
图4
DFC
B
图5
DFC
B
AEPN
DFCB
图2
DFCAEPDN
F
C
M
M图3
A
E8、如图,已知△ABC中,AB?
AC?
10厘米,BC?
8厘米,点D为AB的中点.
(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上C点向A点运动
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,△BPD与△CQP是否全等,请说明理;
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使△BPD与△CQP全等?
若点Q以②中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿△ABC三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇?
9、如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,∠BAD=120°,△AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BC.CD上滑动,且E、F不与B.C.D重合.证明不论E、F在BC.CD上如何滑动,总有BE=CF;
当点E、F在BC.CD上滑动时,分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化?
如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大值.
三角形与四边形数学动点问题归类复习
所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.
关键:
动中求静.
数学思想:
分类思想数形结合思想转化思想将初一至二学习过的有关知识,结合动点问题进行归类复习,希望对同学们能有所帮助。
一、等腰三角形类:
因动点产生的等腰三角形问题例1:
如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=6,AC=8,点D为边BC的中点,DE⊥BC交边AC于点E,点P为射线AB上的一动点,点Q为边AC上的一动点,且∠PDQ=90°.
求ED、EC的长;
若BP=2,求CQ的长;
记线段PQ与线段DE的交点为F,若△PDF为等腰三角形,求BP的长.
图1 备用图
思路点拨
1.第题BP=2分两种情况.
2.解第题时,画准确的示意图有利于理解题意,观察线段之间的和差关系.3.第题探求等腰三角形PDF时,根据相似三角形的传递性,转化为探求等腰三角形CDQ.
图2 图3 图4
图5 图6
考点伸展:
如图6,当△CDQ是等腰三角形时,根据等角的余角相等,可以得到△BDP也是等腰三角形,PB=PD.在△BDP中可以直接求解BP?
25.6二、直角三角形:
因动点产生的直角三角形问题例2:
如图1,直线y?
?
C,点A的坐标是.
试说明△ABC是等腰三角形;
动点M从A出发沿x轴向点B运动,同时动点N从点B出发沿线段BC向点C运动,运动的速度均为每秒1个单位长度.当其中一个动点到达终点时,他们都停止运动.设M运动t秒时,△MON的面积为S.①求S与t的函数关系式;
②设点M在线段OB上运动时,是否存在S=4的情形?
若存在,求出对应的t
值;若不存在请说明理;
③在运动过程中,当△MON为直角三角形时,求t的值.
4y轴的交点分别为B、x?
4和x轴、
3
图1
思路点拨:
1.第题说明△ABC是等腰三角形,暗示了两个动点M、N同时出发,同时到达终点.
2.不论M在AO上还是在OB上,用含有t的式子表示OM边上的高都是相同的,用含有t的式子表示OM要分类讨论.
3.将S=4代入对应的函数解析式,解关于t的方程.
4.分类讨论△MON为直角三角形,不存在∠ONM=90°的可能.
图2 图3
图4 图5
考点伸展:
在本题情景下,如果△MON的边与AC平行,求t的值.如图6,当ON//AC时,t=3;如图7,当MN//AC时,t=.
图6 图7
三、平行四边形问题:
因动点产生的平行四边形问题例3:
在直角梯形OABC中,CB//OA,∠COA=90°,CB=3,OA=6,BA=35.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.
求点B的坐标;
已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2EB,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;
点M是中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一点N,使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?
若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理.
图1 图2
思路点拨:
1.第题和第题蕴含了OB与DF垂直的结论,为第题讨论菱形提供了计算基础.
2.讨论菱形要进行两次分类,先按照DO为边和对角线分类,再进行
二级分类,DO与DM、DO与DN为邻边.
图3 图4
考点伸展
如果第题没有限定点N在x轴上方的平面内,那么菱形还有如图6的情形.
图5 图6
四、相似三角形:
因动点产生的相似三角形问题
例4:
如图,点O为矩形ABCD的对称中心,AB=10cm,BC=12cm,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发,沿矩形的边按逆时针方向匀速运动,点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为/s,当点F到达点C时,三个点随之停止运动.在运动过程中,△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E、F、G运动的时间为t.当t= s时,四边形EBFB′为正方形;
若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似,求t的值;是否存在实数t,使得点B′与点O重合?
若存在,求出t的值;若不存在,请说明理.
思路点拨:
利用正方形的性质,得到BE=BF,列一元一次方程求解即可;△EBF与△FCG相似,分两种情况,需要分类讨论,逐一分析计算;本问为存在型问题.假设存在,则可以分别求出在不同条件下的t值,它们互相矛盾,所以不存在.
考点伸展:
本题为运动型综合题,考查了矩形性质、轴对称、相似三角形的判定性质、勾股定理、解方程等知识点.题目并不复杂,但需要仔细分析题意,认真作答.第问中,需要分类讨论,避免漏解;第问是存在型问题,可以先假设存在,然后通过推导出互相矛盾的结论,从而判定不存在.拓展练习:
1、如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CB向点B以2cm/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t秒。
当t= 时,四边形是平行四边形;当t= 时,四边形是等腰梯形.
备用图
2、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为 。
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- 三角形 四边形 数学 问题 归类 复习