北京工业大学薛毅老师工程数据建模实验2线性规划和整数规划.docx

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北京工业大学薛毅老师工程数据建模实验2线性规划和整数规划

北京工业大学-薛毅老师-工程数据建模-实验2-线性规划和整数规划

2.线性规划和整数规划实验

2.1基本实验

1.生产计划安排

某工厂生产A，B，C三种产品，其所需劳动力、材料等有关数据见表2.1所示。

表2.1不同产品的消耗定额

产品可用量

资源

ABC（单位）

63545劳动力

34530材料

产品利润

314（元/件）

（1）确定获利最大的生产方案;

（2）产品A、B、C的利润分别在什么范围内变动时，上述最优方案不变;（3）如果劳动力数量不增，材料不足时可从市场购买，每单位0.4元，问该厂要不要购进原材料扩大生产，以购多少为宜,

（4）如果生产一种新产品D，单件劳动力消耗8个单位，材料消耗2个单位，每件可获利3元，问该种产品是否值得生产,

解答:

（1）

LINGO中程序:

max=3*x1+x2+4*x3;

6*x1+3*x2+5*x3<=45;

3*x1+4*x2+5*x3<=30;

end

程序运行结果如下:

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

27.00000

Totalsolveriterations:

2

VariableValueReducedCost

X15.0000000.000000

X20.0000002.000000

X33.0000000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

127.000001.000000

20.0000000.2000000

30.0000000.6000000

获利最大的生产方案为:

生产A产品5件，B产品0件，C产品3件，获利为27。

（2）产品A利润在2.4-4.8元之间变动,最优生产计划不变。

（3）运行程序

LINGO中程序:

max=3*x1+x2+4*x3;

6*x1+3*x2+5*x3<45;

end

程序运行结果如下:

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

36.00000

Totalsolveriterations:

0

VariableValueReducedCost

X10.0000001.800000

X20.0000001.400000

X39.0000000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

136.000001.000000

20.0000000.8000000

从程序运行结果可得到:

当A、B为0，而C9件时利润最大,最大利润为36元,应该购入原材料扩大生产,购入15个单位。

（4）设D产品为，则有:

max

s.t（

，，，

LINGO中程序:

max=3*x1+x2+4*x3+3*x4;

6*x1+3*x2+5*x3+8*x4<=45;

3*x1+4*x2+5*x3+2*x4<=30;

@gin（x1）;

@gin（x2）;

@gin（x3）;

@gin（x4）;

end

程序运行结果如下:

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

27.00000

Extendedsolversteps:

0

Totalsolveriterations:

0

VariableValueReducedCost

X15.000000-3.000000

X20.000000-1.000000

X33.000000-4.000000

X40.000000-3.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

127.000001.000000

20.0000000.000000

30.0000000.000000

从上表程序运行结果来看，产品D不值得生产。

2.工程进度问题

某城市在未来的五年内将启动四个城市住房改造工程，每项工程有不同的开始时间，工程周期也不一样。

表2.2提供这些项目的基本数据。

表2.2项目的基本数据

总费用年收入第二第三第四第五第一年（千万（万年年年年元）元）工程1开始结束5.050工程2开始结束8.070工程3开始结束15.0150工程4开始结束1.220预算

（千万3.06.07.07.07.0元）

过程1和过程4必须在规定的周期内全部完成。

必要时，其余的二项工程可以在预算的限制内完成部分。

然而，每个工程在它的规定时间内必须至少完成25%。

每年底，工程完成的部分立刻入住，并且实现一定比例的收入。

例如，如果工程1在第一年完成40%，在第三年完成剩下的60%，在五年计划范围内的相应收入是0.4×50（第二年）+0.4×50（第三年）+（0.4+0.6）×50（第五年）=（4×0.4+2×0.6）×50（单位:

万元）。

试为工程确定最优的时间进度表，使得五年内的总收入达到最大。

解答:

设某一年某工程的完成量为X，i表示工程的代号，i=1，2，3，如第一年工ij

程1完成X，工程3完成X，到第二年工程已完成X，工程3完成X。

11311232

另有一个投入与完成的关系，既第一年投入总费用的40%，该工程在年底就

完成40%。

工程1-4的利润满足以下约束

工程1的利润:

工程2的利润:

;工程3的利润:

;

工程4的利润:

LINGO中程序:

max=50*（4*X11+3*X12+2*X13）+70*（3*X22+2*X23+1*X24）+150*（4*X31+3*X32+2*X33+1*X34）+20*（2*X43+1*X44）;

5000*X11+15000*X31<=3000;

5000*X12+8000*X22+15000*X32<=6000;

5000*X13+8000*X23+15000*X33+1200*X43<=7000;

8000*X24+15000*X34+1200*X44<=7000;

8000*X25+15000*X35<=7000;

X11+X12+X13=1;

X22+X23+X24+X25<=1;

X22+X23+X24+X25>=0.25;

X31+X32+X33+X34+X35<=1;

X31+X32+X33+X34+X35>=0.25;

X43+X44=1;

end

程序运行结果如下:

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

523.7500

Totalsolveriterations:

9

VariableValueReducedCost

X110.0000000.000000

X120.0000000.000000

X131.0000000.000000

X220.00000020.00000

X230.00000010.00000

X240.22500000.000000

X310.20000000.000000

X320.40000000.000000

X330.5333333E-010.000000

X340.34666670.000000

X431.0000000.000000

X440.0000008.000000

X250.2500000E-010.000000

X350.00000018.75000

RowSlackorSurplusDualPrice

1523.75001.000000

20.0000000.3875000E-01

30.0000000.2875000E-01

40.0000000.1875000E-01

50.0000000.8750000E-02

66800.0000.000000

70.0000006.250000

80.75000000.000000

90.0000000.000000

100.00000018.75000

110.75000000.000000

120.00000017.50000

程序运行结果分析:

第一年投资3000万元在工程3上;

第二年在工程3上投入6000万元;

第三年在工程1上投资5000万元，工程4上投入1200万元，工程3上投入800万元;

第四年投入1800万元在工程1上，投入5200万元在工程3上;

第五年工程2投入200万元，剩余6800万元。

获得最高收入523.75万元。

3.投资问题

假设投资者有如下四个投资机会。

（A）在三年内，投资人应在每年的年初投资，每年每元投资可获利息0.2元，每年取息后可重新将本息投入生息。

（B）在三年内，投资人应在第一年年初投资，每两年每元投资可获利息0.5元.两年后取息，可重新将本息投入生息.这种投资最多不得超过20万元。

（C）在三年内，投资人应在第二年年初投资，两年后每元可获利息0.6元，这种投资最多不得超过15万元。

（D）在三年内，投资人应在第三年年初投资，一年内每元可获利息0.4元，这种投资不得超过10万元。

假定在这三年为一期的投资中，每期的开始有30万元的资金可供投资，投资人应怎样决定投资计划，才能在第三年底获得最高的收益。

解答:

分析题意

设XA，XB，XC，XD（i=1,2,3）表示第i年初对投资机会A，B，C，D的投iiii

资金额，则

max

s.t.

LINGO中程序:

max=1.2*X3a+1.6*X2c+1.4*X3d;

X1a+X1b=30;

X2a+X2c-1.2*X1a=0;

X3b+X3a+X3d-1.2*X2a-1.5*X1b=0;

@bnd（0,X1b,20）;

@bnd（0,X2c,15）;

@bnd（0,X3d,10）;

End

程序运行结果如下:

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

57.50000

Totalsolveriterations:

2

VariableValueReducedCost

X3A16.250000.000000

X2C15.00000-0.1000000

X3D10.00000-0.2000000

X1A12.500000.000000

X1B17.500000.000000

X2A0.0000000.6000000E-01

X3B0.0000001.200000

RowSlackorSurplusDualPrice

157.500001.000000

20.0000001.800000

30.0000001.500000

40.0000001.200000

结果分析:

第一年投投资12.5万元在A上，投资17.5万元在B上;第二年投资15万元在机会C上;第三年投资16.25万元在机会A上，投资10万元在机会D上，获得最高收益57.5万元。

4.生产计划与库存问题

某产品的制造过程由前后两道工序?

和?

组成。

表2.3提供了在未来6,8月份的相关数据。

表2.3未来三个月的相关数据

月份六月七月八月

成品的需求（件）500450600

工序?

的能力（小时）800700550工序?

的能力（小时）1000850700

生产一件的产品在工序?

上花0.6小时，在工序?

另外花0.8小时。

在任何一个月过剩的产品（可以是半成品（工序?

），也可以是产品（工序?

））允许在后面的月中使用。

相应的贮存成本是每年每月1.00元和2.00元。

生产成本随工序和随月份变化。

对于工序?

，单位生产成本在六、七、八月份分别为50元、60元和55元。

对于工序?

，相应的单位生产费用分别为75元、90元和80元。

确定这两道工序在未来的三个月内最优的生产进度安排。

解答:

令X1为工序?

在六月的生产时间，令X2为工序?

在七月的生产时间，令X3为工序?

在八月的生产时间;令Y1为工序?

在六月的生产时间，令Y2为工序?

在七月的生产时间，令Y3为工序?

在八月的生产时间;令Z1为半成品（工序?

）在七月的储存数量，令Z2为半成品（工序?

）在八月的储存数量，令Z3为半成品（工序?

）在七月的储存数量，令Z4为半成品（工序?

）在八月的储存数量。

LINGO中程序:

min=x1*50+x2*60+x3*55+y1*75+y2*90+y3*80+z1*1+z2*1+z3*2+z4*2;x1<800;x2<700;x3<550;y1<1000;y2<850;y3<700;

x1/0.6+x2/0.6>=950;

x1/0.6+x2/0.6+x3/0.6=1550;

y1/0.8>=500;

z3+y2/0.8>=450;

z4+y3/0.8=600;

z1=x1/0.6-y1/0.8;

z3=y1/0.8-500;

z2=z1+x2/0.6-y2/0.8;

z4=z3+y2/0.8-450;

@gin（x1）;

@gin（x2）;

@gin（x3）;

@gin（y1）;

@gin（y2）;

@gin（y3）;

@gin（z1）;

@gin（z2）;

@gin（z3）;

@gin（z4）;

程序运行结果如下:

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

143620.0

Extendedsolversteps:

0

Totalsolveriterations:

12

VariableValueReducedCost

X1798.000050.00000

X20.00000060.00000

X3132.000055.00000

Y11000.00075.00000

Y20.00000090.00000

Y3240.000080.00000

Z180.000001.000000

Z280.000001.000000

Z3750.00002.000000

Z4300.00002.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

1143620.0-1.000000

22.0000000.000000

3700.00000.000000

4418.00000.000000

50.0000000.000000

6850.00000.000000

7460.00000.000000

8380.00000.000000

90.0000000.000000

10750.00000.000000

11300.00000.000000

120.0000000.000000

130.0000000.000000

140.0000000.000000

150.0000000.000000

160.0000000.000000

根据上述程序分析，两道工序在未来的三个月内最优的生产进度安排为:

工序?

在六、七、八月的生产时间为:

798、0、132，工序?

在六、七、八月的生产时间为:

1000、0、240，半成品（工序?

）在七月份的储存数量为80，

半成品（工序?

）在七月份的储存数量为80，半成品（工序?

）在七月份的储存数量为750，半成品（工序?

）在七月份的储存数量为300。

三个月最小生产成本为143620元。

5.职员日程安排问题

（1）在一个星期里每天安排一定数量的职员，每天需要的职员数如表2.4所示，每个职员每周连续工作五天，休息两天。

每天付给每个职员的工资是200元。

公司将如何安排每天开始的工作人数，使得总费用最小。

（2）假设公司每天工作8小时，周一需要18名职员，共计144小时，以此类推。

公司计划雇用全职人员和兼职人员完成公司的工作，其中全职人员每天工作8小时，兼职人员每天工作4小时，无论是全职人员还是兼职人员，均是每周连续工作5天，休息两天。

全职人员每小时工资25元，兼职人员每小时工资15元，并且一周内兼职人员的总工作时间不能超过全职人员总工作时间的25%，试问该公司将如何安排职员的工作时间，使公司的总花费最小,

表2.4一周中每天需要的职员数

星期一二三四五六日职员数18151216191412解答:

（1）

LINGO中程序:

min=x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7;

x1+x4+x5+x6+x7>=18;

x1+x2+x5+x6+x7>=15;

x1+x2+x3+x6+x7>=12;

x1+x2+x3+x4+x7>=16;

x1+x2+x3+x4+x5>=19;

x2+x3+x4+x5+x6>=14;

x3+x4+x5+x6+x7>=12;

@gin（x1）;@gin（y1）;@gin（x2）;@gin（y2）;@gin（x3）;@gin（y3）;@gin（x4）;@gin（y4）;@gin（x5）;@gin（y5）;@gin（x6）;@gin（y6）;@gin（x7）;@gin（y7）;程序运行结果如下:

Objectivevalue:

22.00000

Extendedsolversteps:

0

Totalsolveriterations:

8

VariableValueReducedCost

X17.0000001.000000

X22.0000001.000000

X30.0000001.000000

X46.0000001.000000

X54.0000001.000000

X62.0000001.000000

X71.0000001.000000

Y10.0000000.000000

Y20.0000000.000000

Y30.0000000.000000

Y40.0000000.000000

Y50.0000000.000000

Y60.0000000.000000

Y70.0000000.000000

RowSlackorSurplusDualPrice

122.00000-1.000000

22.0000000.000000

31.0000000.000000

40.0000000.000000

50.0000000.000000

60.0000000.000000

70.0000000.000000

81.0000000.000000

公司按如下表来安排每天开始工作的职员:

星期一二三四五六日职员数7206421

（2）

LINGO中程序:

min=1000*x1+300*y1+1000*x2+300*y2+1000*x3

+300*y3+1000*x4+300*y4+1000*x5+300*y5+1000*x6

+300*y6+1000*x7+300*y7;

x4+x5+x6+x7+x1+y4+y5+y6+y7+y1>18;

x5+x6+x7+x1+x2+y5+y6+y7+y1+y2>15;

x6+x7+x1+x2+x3+y6+y7+y1+y2+y3>12;

x7+x1+x2+x3+x4+y7+y1+y2+y3+y4>16;

x1+x2+x3+x4+x5+y1+y2+y3+y4+y5>19;

x2+x3+x4+x5+x6+y2+y3+y4+y5+y6>14;

x3+x4+x5+x6+x7+y3+y4+y5+y6+y7>12;

8*x4+8*x5+8*x6+8*x7+8*x1+4*y4+4*y5+4*y6+4*y7+4*y1>144;8*x5+8*x6+8*x7+8*x1+8*x2+4*y5+4*y6+4*y7+4*y1+4*y2>120;8*x6+8*x7+8*x1+8*x2+8*x3+4*y6+4*y7+4*y1+4*y2+4*y3>96;8*x7+8*x1+8*x2+8*x3+8*x4+4*y7+4*y1+4*y2+4*y3+4*y4>128;8*x1+8*x2+8*x3+8*x4+8*x5+4*y1+4*y2+4*y3+4*y4+4*y5>152;8*x2+8*x3+8*x4+8*x5+8*x6+4*y2+4*y3+4*y4+4*y5+4*y6>112;8*x3+8*x4+8*x5+8*x6+8*x7+4*y3+4*y4+4*y5+4*y6+4*y7>96;20*y1+20*y2+20*y3+20*y4+20*y5+20*y6+20*y7<212;

@Gin（x1）;@Gin（x2）;@Gin（x3）;@Gin（x4）;@Gin（x5）;@Gin（x6）;@Gin（x7）;@Gin（y1）;@Gin（y2）;@Gin（y3）;@Gin（y4）;@Gin（y5）;@Gin（y6）;@Gin（y7）;end

程序运行结果如下:

Globaloptimalsolutionfound.

Objectivevalue:

19700.00

Extendedsolversteps:

0

Totalsolveriterations:

39

VariableValueReducedCost

X14.0000001000.000

Y14.000000300.0000

X23.0000001000.000

Y21.000000300.0000

X30.0000001000.000

Y30.000000300.0000

X46.0000001000.000

Y41.000000300.0000

X53.0000001000.000

Y50.000000300.0000

X61.0000001000.000

Y60.000000300.0000

X70.0000001000.000

Y73.000000300.0000

RowSlackorSurplusDualPrice

119700.00-1.000000

24.