数列求和的七种基本方法.docx

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数列求和的七种基本方法

数列求和的七种基本方法

甘志国部分内容（已发表于数理天地（高中），2014（11）:

14-15）

数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题（这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题）简单介绍数列求和的七种基本方法.

1运用公式法

很多数列的前n项和Sn的求法，就是套等差、等比数列Sn的公式，因此以下常用公式

应当熟记:

L

1

1

2

3

n

n（n

2

1）

1

3

5

L

（2n

1）n

2

1

2

22

L

2n

12n

1

1

1

1

L

1

1

1

2

22

23

2n

2

还要记住一些正整数的幕和公式：

22221

123nn（n1）（2n1）

6

小3小3312“八2

123nn（n1）

4

解设ak

k（n1k）k（n1）k2，本题即求数列｛a/的前n项和.

Sn（123n）（n1）（122232n2）

11

n（n1）（n1）n（n1）（2n1）

26

1

：

n（n1）（n2）

6

答案：

Snn2.

答案：

Snn3n.

（1）求an；

⑵设bh

log3an，求数列｛bj的前n项和Sn.

答案：

（1）

2

n1nn

an3；

（2）Sn2.

咼考题4

（2014年高考重庆卷文科第16题）已知an是首项为1,公差为2的等差数

列，Sn表示an的前n项和.

（1）求an及Sn；

2

（2）设bn是首项为2的等比数列，公比q满足q@41）qS40，求bn的通

项公式及其前n项和Tn.

答案：

（1）an2n1,Snn2；

（2）bn22n1,Tn2（4n1）.

3

2倒序相加法

事实上，等差数列的前n项和Sn的公式推导方法就是倒序相加法•

例3求正整数m与n（mn）之间的分母为3的所有既约分数的和S.

解显然，这些既约分数为：

124421

m,m,m,,n,n,n

333333

4

3裂项相消法

a110，a2为整数，且5S4.

（1）求｛an｝的通项公式；

⑵设bn

，求数列｛bn｝的前n项和Tn.

anan1

答案：

⑴

an133n；⑵Sn

10（103n）

高考题6

（2014年高考广东卷文科第

19题）设各项均为正数的数列an

的前n项和为

Sn，且Sn满足S；n2n36

3n2

0,nN•

（1）求ai的值;

⑵求数列an的通项公式;

（3）证明：

对一切正整数n,有

答案：

（1）a12；

ag1）

a2@1）

1

an（an1）

⑵an2n；（3）当

n1时，

可得欲证成立.当n2时，

1

an（an1）

1

2n（2n1）

（2n1）（2n1）

2n12n1

1

1，再用裂项相消法可得欲

高考题

7（2014年高考山东卷理科第

19题）已知等差数列｛an｝的公差为2，前n项和

为&,且S1，S2，S4成等比数列.

（1）求数列｛an｝的通项公式;

⑵令bn=

（1）n1^J,求数列｛bn｝的前n项和人.

anan1

答案：

（1）an

2n

，Tn

2n2

2n1

2n

2n1

n为奇数

n为偶数

4分组求和法

例9求Sn

解设an

，得

an

所以本题即求数列2丄的前n项和:

2

的前n项和Tn.

a12

解在Sn

an1中，令

n1可求得a1

1.

2

还可得

4Sn

2

（an1）,4Sn1

（an1

1）2

相减，得

4an1

22

an1an

2an1

2an

（an

1an）（an1a

n2）

0

an1an

an2n1

当n为奇数时，

TnTn1bn虫」『（用以上结论）

22

总之，Tn（1广P卫.

2

（1）求数列an和bn的通项公式;

⑵求数列bn的前n项和.

3

答案：

⑴an=3n,d=3n2n1；

（2）n（n1）2n1.

2

高考题9（2014年高考山东卷文科第19题）在等差数列｛an｝中，已知公差d2,a2

是a1与a4的等比中项•

（1）求数列｛an｝的通项公式；

⑵设bn

an（n1），记Tn

2

bib2b3

b4…

（1）nbn,

求Tn.

（n1）2

n为奇数

答案：

⑴

an2n,Tn

2

n（n1）

2

n为偶数

咼考题10

（2014年高考浙江卷理科第

19题（部分））求数列

2n-

1

-的前n项

n（n1）

和Sn.

答案：

2n1—2.

n1

5错位相减法

高考题11（2014年高考江西卷理科第17题）已知首项都是1的两个数列

an,bn（bn0,nM）满足anbn1an1bn2bn1bn0.

a“

（1）令Cn—，求数列Cn的通项公式；

bn

（2）若bn3n1，求数列an的前n项和Sn.

解

（1）cn2n1.

⑵得anbnCn（2n

1）

3n

1

.先写出

Sn的

勺表达

式:

Sn1

1

3

31532

7

33

（2n

1）3n

1

①

把此式两边都乘以公比

3,

得

3Sn131

3

32

533

（2n

3）

3n1

（2n

1）

3n

②

①-②，得

2Sn1

2

31

232233

2

3n1

（2n

1）

3n

③

2Sn（230

2

31

2322

33

2

3n1）

（2n

1）

3n1

④

由等比数列的前n项和公式，得

2Sn3n1（2n1）3n1

2Sn3n1（2n1）3n1（2n2）3n2⑤

Sn（n1）3n1

因为此解答确实步骤多，且有三步容易出错：

（1）等式③右边前n项的符号都是“+”，

但最后一项是“一”；

（2）当等式③右边的前n项不组成等比数列时，须把第一项作微调，变

成等比数列（即等式④），这增加了难度；（3）等式⑤中最后一步的变形（即合并）有难度•但这种方法（即错位相减法）又是基本方法且程序法，所以备受命题专家的青睐，在高考试卷中频

频出现就不足为怪了•考生在复习备考中，应彻底弄清、完全掌握，争取拿到满分

这里笔者再给出一个小技巧一一检验：

算得了Sn的表达式后，一定要抽出万忙的时间检验一下确，一般来说就可以确定算对了，否则就算错了，需要检查或重算•

1

S111,S2S13310，所以求出的答案正确

2

a2,a4是方程x5x60的根.

（1）求an的通项公式;

⑵求数列色的前n项和•

2n

1

答案：

（1）an—n1.

2

（2）用错位相减法可求得答案为

2n1

a11,nan1

（n

1）an

n（n1）,nN*.

（1）证明：

数列

On.

是等差数列；

n

⑵设bn

3n

\an，

求数列｛bn｝的前n项和Sn

答案：

⑴

略•

在函数f（x）2x的图象上（nN*）.

（1）证明：

数列｛bn｝为等比数列;

列何嶄｝的前n项和Sn.

答案：

（1）略.

⑵可求得ann,bn2n，所以anb；n4n，再用错位相减法可求得

n1

&（3n1）44

高考题15（2014年高考四川卷理科第19题）设等差数列｛an｝的公差为d，点（an,bn）

2，点@8,4^）在函数f（x）的图象上，求数列｛an｝的前n项和Sn；

1，函数f（x）的图象在点（a2，d）处的切线在x轴上的截距为21，求数

In2

an的前n项和Tn.

bn

解设等差数列｛am｝的公差为d，等比数列｛bm｝的公比为q（q1），得

先用错位相减法求数列｛ambm｝的前n项和Sn:

由此结论就可以用待定系数法快速求解本题:

七、求导法、积分法

1）；

例13

（1）求证:

解

（1）当x0时，显然成立•当x0时，由等比数列的前n项和公式知，欲证结论

也成立.

（2）视

（1）的结论为两个函数相等，两边求导后即得欲证成立

（3）（2n1）3n=6（n3n1）3n.

（4）

由⑵的结论中令x3，得数列

3n1的前n项和为（2n°3一1;又数列3n

（2）对于整数n3，求证:

（iii）

n1nk2n11

Cn

k01kn1

答案：

（1）在已知等式两边对

⑵（i）在结论

（1）中令x

x求导后移项可得欲证.

1可证.

（ii）

由已知等式两边对x求导后再求导，又令x1，得

k（k1）ck

（1）k2

n

即

（1）k（k2k）Cn0，再由结论（i）得结论（ii）成立.

k1

（iii）在已知等式两边在［0,1］上对x积分后可得欲证