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B理数学习
课标文数13.B1[2011·安徽卷]函数y=的定义域是________.
课标文数13.B1[2011·安徽卷]【答案】(-3,2)
【解析】由函数解析式可知6-x-x2>0,即x2+x-6<0,故-3 课标理数15.B1,M1[2011·福建卷]设V是全体平面向量构成的集合,若映射f: V→R满足: 对任意向量a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,以及任意λ∈R,均有f(λa+(1-λ)b)=λf(a)+(1-λ)f(b). 则称映射f具有性质P. 现给出如下映射: ①f1: V→R,f1(m)=x-y,m=(x,y)∈V; ②f2: V→R,f2(m)=x2+y,m=(x,y)∈V; ③f3: V→R,f3(m)=x+y+1,m=(x,y)∈V. 其中,具有性质P的映射的序号为________.(写出所有具有性质P的映射的序号) 课标理数15.B1,M1[2011·福建卷]【答案】①③ 【解析】设a=(x1,y1)∈V,b=(x2,y2)∈V,则 λa+(1-λ)b=λ(x1,y1)+(1-λ)(x2,y2)=(λx1+(1-λ)x2,λy1+(1-λ)y2), ①f1(λa+(1-λ)b)=λx1+(1-λ)x2-[λy1+(1-λ)y2] =λ(x1-y1)+(1-λ)(x2-y2)=λf1(a)+(1-λ)f1(b), ∴映射f1具有性质P; ②f2(λa+(1-λ)b)=[λx1+(1-λ)x2]2+[λy1+(1-λ)y2], λf2(a)+(1-λ)f2(b)=λ(x+y1)+(1-λ)(x+y2), ∴f2(λa+(1-λ)b)≠λf2(a)+(1-λ)f2(b), ∴映射f2不具有性质P; ③f3(λa+(1-λ)b)=λx1+(1-λ)x2+(λy1+(1-λ)y2)+1 =λ(x1+y1+1)+(1-λ)(x2+y2+1)=λf3(a)+(1-λ)f3(b), ∴映射f3具有性质P. 故具有性质P的映射的序号为①③. 课标文数8.B1[2011·福建卷]已知函数f(x)=若f(a)+f (1)=0,则实数a的值等于( ) A.-3B.-1C.1D.3 课标文数8.B1[2011·福建卷]A 【解析】由已知,得f (1)=2; 又当x>0时,f(x)=2x>1,而f(a)+f (1)=0, ∴f(a)=-2,且a<0, ∴a+1=-2,解得a=-3,故选A. 课标文数4.B1[2011·广东卷]函数f(x)=+lg(1+x)的定义域是( ) A.(-∞,-1) B.(1,+∞) C.(-1,1)∪(1,+∞) D.(-∞,+∞) 课标文数4.B1[2011·广东卷]C 【解析】要使函数有意义,必须满足所以所求定义域为{x|x>-1且x≠1},故选C. 课标文数16.B1[2011·湖南卷]给定k∈N*,设函数f: N*→N*满足: 对于任意大于k的正整数n,f(n)=n-k. (1)设k=1,则其中一个函数f在n=1处的函数值为________________; (2)设k=4,且当n≤4时,2≤f(n)≤3,则不同的函数f的个数为________. 课标文数16.B1[2011·湖南卷] (1)a(a为正整数) (2)16 【解析】 (1)由法则f是正整数到正整数的映射,因为k=1,所以从2开始都是一一对应的,而1可以和任何一个正整数对应,故f在n=1处的函数值为任意的a(a为正整数); (2)因为2≤f(n)≤3,所以根据映射的概念可得到: 1,2,3,4只能是和2或者3对应,1可以和2对应,也可以和3对应,有2种对应方法,同理,2,3,4都有两种对应方法,由乘法原理,得不同函数f的个数等于16. 课标文数11.B1[2011·陕西卷]设f(x)=则f(f(-2))=________. 课标文数11.B1[2011·陕西卷]-2 【解析】因为f(x)=-2<0,f(-2)=10-2,10-2>0,f(10-2)=lg10-2=-2. 大纲文数16.B1[2011·四川卷]函数f(x)的定义域为A,若x1,x2∈A且f(x1)=f(x2)时总有x1=x2,则称f(x)为单函数,例如,函数f(x)=2x+1(x∈R)是单函数.下列命题: ①函数f(x)=x2(x∈R)是单函数; ②指数函数f(x)=2x(x∈R)是单函数; ③若f(x)为单函数,x1,x2∈A且x1≠x2,则f(x1)≠f(x2); ④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数. 其中的真命题是________.(写出所有真命题的编号) 大纲文数16.B1[2011·四川卷]②③④ 【解析】本题主要考查对函数概念以及新定义概念的理解.对于①,如-2,2∈A,f(-2)=f (2),则①错误;对于②,当2x1=2x2时,总有x1=x2,故为单函数;对于③根据单函数的定义,函数即为一一映射确定的函数关系,所以当函数自变量不相等时,则函数值不相等,即③正确;对于④,函数f(x)在定义域上具有单调性,则函数为一一映射确定的函数关系,所以④正确. 课标理数1.B1[2011·浙江卷]设函数f(x)=若f(α)=4,则实数α=( ) A.-4或-2B.-4或2 C.-2或4D.-2或2 课标理数1.B1[2011·浙江卷]B 【解析】当α≤0时,f(α)=-α=4,α=-4; 当α>0,f(α)=α2=4,α=2. 课标文数11.B1[2011·浙江卷]设函数f(x)=,若f(α)=2,则实数α=________. 课标文数11.B1[2011·浙江卷]-1 【解析】∵f(α)==2,∴α=-1. 大纲理数2.B2[2011·全国卷]函数y=2(x≥0)的反函数为( ) A.y=(x∈R)B.y=(x≥0) C.y=4x2(x∈R)D.y=4x2(x≥0) 大纲理数2.B2[2011·全国卷]B 【解析】由y=2得x=,∵x≥0,∴y≥0,则函数的反函数为y=(x≥0).故选B. 大纲文数2.B2[2011·全国卷]函数y=2(x≥0)的反函数为( ) A.y=(x∈R)B.y=(x≥0) C.y=4x2(x∈R)D.y=4x2(x≥0) 大纲文数2.B2[2011·全国卷]B 【解析】由y=2得x=,∵x≥0,∴y≥0,则函数的反函数为y=(x≥0).故选B. 大纲理数7.B2[2011·四川卷]已知f(x)是R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=+1,则f(x)的反函数的图象大致是( ) 图1-2 大纲理数7.B2[2011·四川卷]A 【解析】当x>0时,由y=+1可得其反函数为y=log(x-1)(1 课标理数8.B3[2011·北京卷]设A(0,0),B(4,0),C(t+4,4),D(t,4)(t∈R).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则函数N(t)的值域为( ) A.{9,10,11}B.{9,10,12} C.{9,11,12}D.{10,11,12} 课标理数8.B3[2011·北京卷]C 【解析】显然四边形ABCD内部(不包括边界)的整点都在直线y=k(k=1,2,3)落在四边形ABCD内部的线段上,由于这样的线段长等于4,所以每条线段上的整点有3个或4个,所以9=3×3≤N(t)≤3×4=12. 图1-4 如图1-4 (1),图 (2),当四边形ABCD的边AD上有5个整点时,N(t)=9; 如图(3),当四边形ABCD的边AD上有2个整点时,N(t)=11; 如图(4),当四边形ABCD的边AD上有1个整点时,N(t)=12. 故应选C. 课标理数2.B3,B4[2011·课标全国卷]下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) A.y=x3B.y=|x|+1 C.y=-x2+1D.y=2-|x| 课标理数2.B3,B4[2011·课标全国卷]B 【解析】A选项中,函数y=x3是奇函数;B选项中,y=+1是偶函数,且在上是增函数;C选项中,y=-x2+1是偶函数,但在上是减函数;D选项中,y=2-|x|=是偶函数,但在上是减函数.故选B. 课标文数3.B3,B4[2011·课标全国卷]下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) A.y=x3B.y=|x|+1 C.y=-x2+1D.y=2-|x| 课标文数3.B3,B4[2011·课标全国卷]B 【解析】A选项中,函数y=x3是奇函数;B选项中,y=+1是偶函数,且在上是增函数;C选项中,y=-x2+1是偶函数,但在上是减函数;D选项中,y=2-|x|=是偶函数,但在上是减函数.故选B. 课标数学2.B3[2011·江苏卷]函数f(x)=log5(2x+1)的单调增区间是________. 课标数学2.B3[2011·江苏卷] 【解析】因为y=log5x为增函数,故结合原函数的定义域可知原函数的单调增区间为. 课标文数12.B3,B7[2011·天津卷]已知log2a+log2b≥1,则3a+9b的最小值为________. 课标文数12.B3,B7[2011·天津卷]18 【解析】∵log2a+log2b=log2ab≥1, ∴ab≥2, ∴3a+9b=3a+32b≥2=2≥2=18. 大纲理数5.B3[2011·重庆卷]下列区间中,函数f(x)=在其上为增函数的是( ) A.(-∞,1]B. C.D.[1,2) 大纲理数5.B3[2011·重庆卷]D 【解析】化f(x)为分段函数,得f(x)=作出函数的图象,如图1-1所示,根据图象可知f(x)在[1,2)上为增函数.故选D. 图1-1 课标文数11.B4,B5[2011·安徽卷]设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f (1)=________. 课标文数11.B4,B5[2011·安徽卷]【答案】-3 【解析】法一: ∵f(x)是定义在R上的奇函数,且x≤0时,f(x)=2x2-x, ∴f (1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3. 法二: 设x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在R上的奇函数,且x≤0时,f(x)=2x2-x,∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-2x2-x,∴f (1)=-2×12-1=-3. 课标理数3.B4,B5[2011·安徽卷]设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f (1)=( ) A.-3B.-1C.1D.3 课标理数3.B4,B5[2011·安徽卷]A 【解析】法一: ∵f(x)是定义在R上的奇函数,且x≤0时,f(x)=2x2-x, ∴f (1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3,故选A. 法二: 设x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在R上的奇函数,且x≤0时,f(x)=2x2-x,∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-2x2-x,∴f (1)=-2×12-1=-3,故选A. 大纲理数9.B4[2011·全国卷]设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f=( ) A.-B.- C.D. 大纲理数9.B4[2011·全国卷]A 【解析】因为函数的周期为2,所以f=f=f=,又函数是奇函数,∴f=-f=-,故选A. 大纲文数10.B4[2011·全国卷]设f(x)是周期为2的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=2x(1-x),则f=( ) A.-B.- C.D. 大纲文数10.B4[2011·全国卷]A 【解析】因为函数的周期为2,所以f=f=f=,又函数是奇函数,所以f=-f=-,故选A. 课标理数9.B4[2011·福建卷]对于函数f(x)=asinx+bx+c(其中,a,b∈R,c∈Z),选取a,b,c的一组值计算f (1)和f(-1),所得出的正确结果一定不可能是( ) A.4和6B.3和1 C.2和4D.1和2 课标理数9.B4[2011·福建卷]D 【解析】由已知,有f (1)=asin1+b+c,f(-1)=-asin1-b+c, ∴f (1)+f(-1)=2c, ∵c∈Z,∴f (1)+f(-1)为偶数, 而D选项给出的两个数,一个是奇数,一个是偶数,两个数的和为奇数,故选D. 课标理数4.B4[2011·广东卷]设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是( ) A.f(x)+|g(x)|是偶函数 B.f(x)-|g(x)|是奇函数 C.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.|f(x)|-g(x)是奇函数 课标理数4.B4[2011·广东卷]A 【解析】因为g(x)在R上为奇函数,所以|g(x)|为偶函数,则f(x)+|g(x)|一定为偶函数. 课标文数12.B4[2011·广东卷]设函数f(x)=x3cosx+1.若f(a)=11,则f(-a)=________. 课标文数12.B4[2011·广东卷]-9 【解析】由f(a)=a3cosa+1=11得a3cosa=10, 所以f(-a)=(-a)3cos(-a)+1=-a3cosa+1=-10+1=-9. 课标理数6.B4[2011·湖北卷]已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g (2)=a,则f (2)=( ) A.2B.C.D.a2 课标理数6.B4[2011·湖北卷]B 【解析】因为函数f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,所以由f(x)+g(x)=ax-a-x+2①,得-f(x)+g(x)=a-x-ax+2②,①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-a-x.又g (2)=a,所以a=2,所以f(x)=2x-2-x,所以f (2)=. 课标文数3.B4[2011·湖北卷]若定义在R上的偶函数f(x)和奇函数g(x)满足f(x)+g(x)=ex,则g(x)=( ) A.ex-e-xB.(ex+e-x) C.(e-x-ex)D.(ex-e-x) 课标文数3.B4[2011·湖北卷]D 【解析】因为函数f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以f+g=f(x)-g=e-x.又因为f(x)+g=ex,所以g=. 课标文数12.B4[2011·湖南卷]已知f(x)为奇函数,g(x)=f(x)+9,g(-2)=3,则f (2)=________. 课标文数12.B4[2011·湖南卷]6 【解析】由g(x)=f(x)+9,得当x=-2时,有g(-2)=f(-2)+9⇒f(-2)=-6. 因为f(x)为奇函数,所以有f (2)=f(-2)=6. 课标理数2.B3,B4[2011·课标全国卷]下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) A.y=x3B.y=|x|+1 C.y=-x2+1D.y=2-|x| 课标理数2.B3,B4[2011·课标全国卷]B 【解析】A选项中,函数y=x3是奇函数;B选项中,y=+1是偶函数,且在上是增函数;C选项中,y=-x2+1是偶函数,但在上是减函数;D选项中,y=2-|x|=是偶函数,但在上是减函数.故选B. 课标文数6.B4[2011·辽宁卷]若函数f(x)=为奇函数,则a=( ) A.B.C.D.1 课标文数6.B4[2011·辽宁卷]A 【解析】法一: 由已知得f(x)=定义域关于原点对称,由于该函数定义域为,知a=,故选A. 法二: ∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x), 又f(x)=, 则=在函数的定义域内恒成立,可得a=. 课标文数3.B3,B4[2011·课标全国卷]下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是( ) A.y=x3B.y=|x|+1 C.y=-x2+1D.y=2-|x| 课标文数3.B3,B4[2011·课标全国卷]B 【解析】A选项中,函数y=x3是奇函数;B选项中,y=+1是偶函数,且在上是增函数;C选项中,y=-x2+1是偶函数,但在上是减函数;D选项中,y=2-|x|=是偶函数,但在上是减函数.故选B. 课标文数12.B4,B7,B8[2011·课标全国卷]已知函数y=f(x)的周期为2,当x∈[-1,1]时f(x)=x2,那么函数y=f(x)的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有( ) A.10个B.9个C.8个D.1个 课标文数12.B4,B7,B8[2011·课标全国卷]A 【解析】由题意做出函数图像如图,由图像知共有10个交点. 图1-5 课标理数10.B4[2011·山东卷]已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数,且当0≤x<2时,f(x)=x3-x,则函数y=f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为( ) A.6B.7C.8D.9 课标理数10.B4[2011·山东卷]B 【解析】当0≤x<2时,f(x)=x3-x=x(x2-1)=0,所以当0≤x<2时,f(x)与x轴交点的横坐标为x1=0,x2=1.当2≤x<4时,0≤x-2<2,则f(x-2)=(x-2)3-(x-2),又周期为2,所以f(x-2)=f(x),所以f(x)=(x-2)(x-1)(x-3),所以当2≤x<4时,f(x)与x轴交点的横坐标为x3=2,x4=3;同理当4≤x≤6时,f(x)与x轴交点的横坐标分别为x5=4,x6=5,x7=6,所以共有7个交点. 课标理数3.B4[2011·陕西卷]设函数f(x)(x∈R)满足f(-x)=f(x),f(x+2)=f(x),则y=f(x)的图像可能是( ) 图1-1 课标理数3.B4[2011·陕西卷]B 【解析】由f(-x)=f(x)可知函数为偶函数,其图像关于y轴对称,可以结合选项排除A、C,再利用f(x+2)=f(x),可知函数为周期函数,且T=2,必满足f(4)=f (2),排除D,故只能选B. 课标理数11.B4[2011·浙江卷]若函数f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数a=________. 课标理数11.B4[2011·浙江卷]0 【解析】∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), 即x2-|x+a|=(-x)2-|-x+a|⇒=,∴a=0. 课标文数11.B4,B5[2011·安徽卷]设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f (1)=________. 课标文数11.B4,B5[2011·安徽卷]【答案】-3 【解析】法一: ∵f(x)是定义在R上的奇函数,且x≤0时,f(x)=2x2-x, ∴f (1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3. 法二: 设x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在R上的奇函数,且x≤0时,f(x)=2x2-x,∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-2x2-x,∴f (1)=-2×12-1=-3. 课标理数3.B4,B5[2011·安徽卷]设f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x2-x,则f (1)=( ) A.-3B.-1C.1D.3 课标理数3.B4,B5[2011·安徽卷]A 【解析】法一: ∵f(x)是定义在R上的奇函数,且x≤0时,f(x)=2x2-x, ∴f (1)=-f(-1)=-2×(-1)2+(-1)=-3,故选A. 法二: 设x>0,则-x<0,∵f(x)是定义在R上的奇函数,且x≤0时,f(x)=2x2-x,∴f(-x)=2(-x)2-(-x)=2x2+x,又f(-x)=-f(x), ∴f(x)=-2x2-x,∴f (1)=-2×12-1=-3,故选A. 课标文数8.B5,H2[2011·北京卷]已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为( ) A.4B.3C.2D.1 课标文数8.B5,H2[2011·北京卷]A 【解析】由已知可得|AB|=2,要使S△ABC=2,则点C到直线AB的距离必须为,设C(x,x2),而lAB: x+y-2=0,所以有=, 所以x2+x-2=±2, 当x2+x-2=2时,有两个不同的C点; 当x2+x-2=-2时,亦有两个不同的C点. 因此满足条件的C点有4个,故应选A. 课标理数12.B5[2011·陕西卷]设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________. 课标理数12.B5[2011·陕西卷]3或4 【解析】由x2-4x+n得(x-2)2=4-n,即x=2±,∵n∈N+,方程要有整数根,满足n=3,4,故当n=3,4时方程有整数根. 课标文数14.B5[2011·陕西卷]设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________. 课标文数14.B5[2011·陕西卷]3或4 【解析】由x2-4x+n=0得(x-2)2=4-n,即x=2±,∵n∈N+,方程要有整数根,满足n=3,4,当n=3,4时方程有整数根. 课标理数8.B5[2011·天津卷]对实数a和b,定义运算“⊗”: a⊗b=设函数f(x)=(x2-2)⊗(x-x2),x∈R,若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是( ) A.(-∞,-2]∪ B.(-∞,-2]∪ C.∪ D.∪ 课标理数8.B5[2011·天津卷]B 【解析】f(x)= = 则f的图象如图1-4. 图1-4 ∵y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点, ∴y=f(x)与y=c的图象恰有两个公共点, 由图象知c≤-2,或-1 课标文数8.B5[2011·天津卷]对实数a和b,定义运算“⊗”;a⊗b=设函数f(x)=(x2-2)⊗(x-1),x∈R.若函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点,则实数c的取值范围是( ) A.(-1,1]∪(2,+∞)B.(-2,-1]∪(1,2] C.(-∞,-2)∪(1,2]D.[-2,-1] 课标文数8.B5[2011·天津卷]B 【解析】f(x)= = 则f(x)的图象如图, ∵函数y=f(x)-c的图象与x轴恰有两个公共点, ∴函数y=f(x)与y=c的图象有两个交点,由图象可得-2 图1-3 课标理数3.B6[2011·山东卷]若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为( ) A.0B.C.1D. 课标理数3.B6[2011·山东卷]D 【解析】因为点(a,9)在函数y=3x的图象上,所以9=3a,所以a=2, 即tan=tan=tan=,故选D. 课标文数3.B6[2011·山东卷]若点(a,9)在函数y=3x的图象上,则tan的值为( ) A.0B.
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