学年浙江省八年级下学期数学竞赛卷1解析版.docx
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学年浙江省八年级下学期数学竞赛卷1解析版
2020-2021学年浙江省八年级下学期数学竞赛卷1
一.选择题(共8小题)
1.设a=﹣2,则代数式a3+4a2﹣a+6的值为( )
A.6B.4C.2+2D.2﹣2
【解答】解:
∵a=﹣2,
∴(a+2)2=()2,即a2+4a=1,
∴a3+4a2﹣a+6=a(a2+4a)﹣a+6
=a×1﹣a+6
=6.
故选:
A.
2.关于x的方程x2﹣bx+4=0有两个相等的正实数根,则b的值为( )
A.4B.﹣4C.﹣4或4D.0
【解答】解:
∵关于x的方程x2+bx+4=0有两个相等的正实数根,
∴△=b2﹣4×1×4=b2﹣16=0,
解得:
b=4.
故选:
A.
3.如图所示,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=( )
A.360°B.450°C.540°D.720°
【解答】解:
如图,
在四边形ACEH中,∠A+∠C+∠E+∠1=360°,
在四边形BDFP中,∠B+∠D+∠F+∠2=360°,
∵180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠G=180°,
∴∠A+∠C+∠E+∠1+∠B+∠D+∠F+∠2+180°﹣∠1+180°﹣∠2+∠G=360°+360°+180°,
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=360°+180°=540°.
故选:
C.
4.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,以AB为一边向三角形外作正方形ABEF,正方形的中心为O,且OC=4,那么BC的长等于( )
A.3B.5C.2D.
【解答】解:
如图,作EQ⊥x轴,以C为坐标原点建立直角坐标系,CB为x轴,CA为y轴,则A(0,3).
设B(x,0),由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心,
∴AB=BE,∠ABE=90°,
∵∠ACB=90°,
∴∠BAC+∠ABC=90°,∠ABC+∠EBQ=90°,
∴∠BAC=∠EBQ,
在△ABC和△BEQ中,
∴△ACB≌△BQE(AAS),
∴AC=BQ=3,BC=EQ,
设BC=EQ=x,
∴O为AE中点,
∴OM为梯形ACQE的中位线,
∴OM=,
又∵CM=CQ=,
∴O点坐标为(,),
根据题意得:
OC=4=,
解得x=5,则BC=5.
故选:
B.
5.如图正方形ABCD的顶点A在第二象限y=图象上,点B、点C分别在x轴、y轴负半轴上,点D在第一象限直线y=x的图象上,若S阴影=,则k的值为( )
A.﹣1B.C.D.﹣2
【解答】解:
如图,过点A作AG⊥x轴,过点D作DE⊥x轴,作DF⊥AG交y轴于H,
∴四边形DHOE是矩形
∵∠ADC=∠HDE=90°
∴∠ADC﹣∠FDC=∠HDE﹣∠FDC
∴∠ADF=∠CDE,
∵点D在第一象限直线y=x的图象上,
∴DH=DE,且∠ADF=∠CDE,∠DHM=∠DEN
∴△DHM≌△DEN(ASA)
∴S△DHM=S△DNE,
∴=S四边形DHOE=DH×DE
∴DH=DE=
同理可证:
△AFD≌△BGA≌△COB≌△DHC
∴AF=HD=BG=OC,AG=DF=BO=HC
∴OC=HD==AF=BG
∴CH=
∴AG==BO
∴GO=
∴点A坐标(﹣,)
∴k=﹣×=﹣
故选:
B.
6.如图,在平行四边形ABCD中,BC=2AB,CE⊥AB于E,F为AD的中点,若∠AEF=54°,则∠B=( )
A.54°B.60°C.66°D.72°
【解答】解:
过F作FG∥AB∥CD,交BC于G;
则四边形ABGF是平行四边形,所以AF=BG,
即G是BC的中点;
连接EG,在Rt△BEC中,EG是斜边上的中线,
则BG=GE=FG=BC;
∵AE∥FG,
∴∠EFG=∠AEF=∠FEG=54°,
∴∠AEG=∠AEF+∠FEG=108°,
∴∠B=∠BEG=180°﹣108°=72°.
故选:
D.
7.若m是关于x的方程x2﹣2020x+1=0的根,则(m2﹣2020m+4)•(m2﹣2020m﹣5)的值为( )
A.18B.﹣18C.20D.﹣20
【解答】解:
∵m是关于x的方程x2﹣2020x+1=0的根,
∴m2﹣2020m+1=0,
∴m2﹣2020m=﹣1,
∴(m2﹣2020m+4)•(m2﹣2020m﹣5)=(﹣1+4)×(1﹣5)=﹣18.
故选:
B.
8.如图,四边形OABC为平行四边形,A在x轴上,且∠AOC=60°,反比例函数y=(k>0)在第一象限内过点C,且与AB交于点E.若E为AB的中点,且S△OCE=8,则OC的长为( )
A.8B.4C.D.
【解答】解:
过点C作CD⊥x轴于点D,过点E作EF⊥x轴于点F,如图:
∵四边形OABC为平行四边形,
∴OC=AB,OC∥AB,
∴∠EAF=∠AOC=60°,
在Rt△COD中,∵∠DOC=60°,
∴∠DOC=30°,
设OD=t,则CD=t,OC=AB=2t,
在Rt△EAF中,∵∠EAF=60°,AE=AB=t,
∴AF=,EF=AF=t,
∵点C与点E都在反比例函数y=的图象上,
∴OD×CD=OF×EF,
∴OF==2t,
∴OA=2t﹣=t,
∴S四边形OABC=2S△OCE,
∴t×t=2×8,
∴解得:
t=(舍负),
∴OC=.
故选:
D.
二.填空题(共6小题)
9.已知关于x的一元二次方程(1﹣2k)x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,则k的取值范围 ﹣3≤k<4且k≠ .
【解答】解:
∵关于x的一元二次方程(1﹣2k)x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根,
∴,
解得:
﹣3≤k<4且k≠.
故答案为:
﹣3≤k<4且k≠.
10.若<0,化简﹣﹣3的结果为 ﹣2x .
【解答】解:
由题意得,或,
解得,﹣2<x<,
则原式=|5﹣3x|﹣|x﹣2|﹣3=5﹣3x﹣2+x﹣3=﹣2x,
故答案为:
﹣2x.
11.如图,双曲线y=(x>0)的图象上.△OA1B1,△A1A2B2,…,△An﹣1AnBn均为正三角形,过B1作B1C⊥x轴于C,过B2作B2D⊥x轴于D,则点An的坐标为 (,0) .
【解答】解:
∵点B1,B2在双曲线y=(x>0)的图象上,
∴OC•B1C=3,
∵△OA1B1,△A1A2B2,…,△An﹣1AnBn均为正三角形,
∴B1C=OC,
∴OC=,
∴OA1=2,
∴;
连接OB2,则OD•B2D=3,
∵OD=OA1+A1D=2+,,
∴
∴,
∴,
同理可得,,
…
由上可知,.
故答案为:
(,0).
12.P是正方形ABCD内一点,AB=5,PA=,PC=5,则PB= 或2 .
【解答】解:
如图所示,
∴PB==或PB==2,
故答案为:
或2.
13.已知x1,x2,x3,x4,x5为正整数,任取四个数求和,只能得到44,45,46,47这样四个结果,则这5个数的众数是 11 .
【解答】解:
根据题意,设这个重复的和为z,
可得:
(x1+x2+x3+x4+x5)×4=44+45+46+47+z,
可得:
z=46,
可得五个数据之和为57,
所以五个数据为:
10,11,12,13,11,
故答案为:
11
14.如图,已知直线y=kx(k>0)分别交反比例函数y=和y=在第一象限的图象于点A,B,过点B作BD⊥x轴于点D,交y=的图象于点C,连接AC.若△ABC是等腰三角形,则k的值是 或 .
【解答】解:
∵点B是y=kx和y=的交点,y=kx=,
∴点B坐标为(,2),
同理可求出点A的坐标为(,),
∵BD⊥x轴,
∴点C横坐标为,纵坐标为,
∴BA=,AC=,BC=,
∴BA2﹣AC2=k>0,
∴BA≠AC,
若△ABC是等腰三角形,
①当AB=BC时,则=,
解得:
k=±(舍去负值);
②当AC=BC时,同理可得:
k=;
故答案为:
或.
三.解答题(共4小题)
15.已知x﹣y=6,,求的值.
【解答】解:
∵x﹣y=6,
∴,
∴,
∵+
=•+•
=(+)
=9,
∴,
即,
∴
=(﹣)
=×
=4.
16.已知实数a,b,c满足:
a+b+c=2,abc=4.
(1)求a,b,c中的最大者的最小值;
(2)求|a|+|b|+|c|的最小值.
【解答】解:
(1)不妨设a是a,b,c中的最大者,即a≥b,a≥c,由题设知a>0,
且b+c=2﹣a,.
于是b,c是一元二次方程的两实根,
≥0,a3﹣4a2+4a﹣16≥0,(a2+4)(a﹣4)≥0.所以a≥4.
又当a=4,b=c=﹣1时,满足题意.
故a,b,c中最大者的最小值为4.
(2)因为abc>0,所以a,b,c为全大于0或一正二负.
①若a,b,c均大于0,则由
(1)知,a,b,c中的最大者不小于4,这与a+b+c=2矛盾.
②若a,b,c为或一正二负,设a>0,b<0,c<0,则|a|+|b|+|c|=a﹣b﹣c=a﹣(2﹣a)=2a﹣2,
由
(1)知a≥4,
故2a﹣2≥6,
当a=4,b=c=﹣1时,满足题设条件且使得不等式等号成立.
故|a|+|b|+|c|的最小值为6.
17.如图,四边形ABCD是矩形,E是对角线BD上不同于B、D的任意一点,AF=BE,∠DAF=∠CBD.
(1)求证:
△ADF≌△BCE;
(2)求证:
四边形ABEF是平行四边形;
(3)试确定当点E在什么位置时,四边形AEDF为菱形?
并说明理由.
【解答】
(1)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,
在△ADF和△BCE中,,
∴△ADF≌△BCE(SAS);
(2)证明:
∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠BAD=90°,
∴∠DBC=∠ADB,
∵∠DAF=∠CBD,
∴∠DAF=∠ADB,
∴AF∥BE,
∵AF=BE,
∴四边形ABEF是平行四边形;
(3)解:
当E为BD的中点时,四边形AEDF变为菱形,理由如下:
如图所示:
∵E为BD的中点,∠BAD=90°,
∴AE=BE=DE,
∵AF=BE,AF∥BD,
∴AF∥DE,AF=DE,AF=AE,
∴四边形AEDF是平行四边形,
∴四边形AEDF是菱形.
18.请你利用直角坐标平面上任意两点(x1,y1),(x2,y2)间的距离公式d=解答下列问题:
已知:
反比例函数y=与正比例函数y=x的图象交于A,B两点(A在第一象限),点F1(﹣2,﹣2),F2(2,2)在直线y=x上.设点P(x0,y0)是反比例函数y=图象上的任意一点,记点P与F1,F2两点之间的距离之差d=|PF1﹣PF2|.
(1)试比较线段AB的长度与d的大小,并由此归纳出双曲线的一个重要定义(用简练的语言表述).
(2)现请你在反比例函数y=第一象限内的分支上找一点P,使点P到F2(2,2)和点C(6,4)的距离之和最小,求点P的坐标.
【解答】:
解由y=和y=x组成的方程组可得A、B两点的坐标分别为,(,)、(﹣,﹣),线段AB的长度=4.
∵点P(x0,y0)是反比例函数y=图象上一点,
∴y0=.
∴PF1==||,
PF2==||,
∴d=|PF1﹣PF2|=|||﹣|||,
当x0>0时,d=4;当x0<0时,d=4.
因此,无论点P的位置如何,线段AB的长度与d一定相等.
由此可知:
到两个定点的距离之差(取正值)是定值的点的集合(轨迹)是双曲线.
(2)由条件PF2=PF1﹣4,知PF2+PC=PF1+PC﹣4,
由F1,﹣P,C三点共线时最小,此时可解得P(2,1).
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