高考数学大一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语.docx
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高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语
2021-2022年高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语
[考情展望] 1.给定集合,直接考查集合的交、并、补集的运算.2.与方程、不等式等知识相结合,考查集合的交、并、补集的运算.3.利用集合运算的结果,考查集合间的基本关系.4.以新概念或新背景为载体,考查对新情境的应变能力.
一、集合的基本概念
1.集合中元素的三个特性:
确定性、互异性、无序性;
2.元素与集合的关系:
属于或不属于,表示符号分别为∈和∉.
3.常见数集的符号表示:
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
表示
N
N+(N*)
Z
Q
R
4.集合的三种表示方法:
列举法、描述法、Venn图法.
描述法的一般形式的结构特征
在描述法的一般形式{x∈I|p(x)}中,“x”是集合中元素的代表形式,I是x的范围,“p(x)”是集合中元素x的共同特征,竖线不可省略.
二、集合间的基本关系
1.子集:
若对∀x∈A,都有x∈B,则A⊆B或B⊇A.
2.真子集:
若A⊆B,但∃x∈B,且x∉A,则AB或BA.
3.相等:
若A⊆B,且B⊆A,则A=B.
4.空集的性质:
∅是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.
子集与真子集的快速求解法
一个含有n个元素的集合有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.
三、集合的基本运算
并集
交集
补集
符号
表示
A∪B
A∩B
若全集为U,则集合A的补集为∁UA
图形
表示
意义
{x|x∈A,或x∈B}
{x|x∈A,且x∈B}
∁UA={x|x∈U,且x∉A}
1.集合间的两个等价转换关系
(1)A∩B=A⇔A⊆B;
(2)A∪B=A⇔B⊆A
2.集合间运算的两个常用结论:
(1)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);
(2)∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB).
1.已知集合A={0,1},则下列式子错误的是( )
A.0∈AB.{1}∈A
C.∅⊆AD.{0,1}⊆A
【答案】 B
2.已知集合A={x|x>1},B={x|-1<x<2},则A∩B=( )
A.{x|-1<x<2}B.{x|x>-1}
C.{x|-1<x<1}D.{x|1<x<2}
【答案】 D
3.已知集合M={1,2,3},N={x∈Z|1<x<4},则( )
A.M⊆NB.N=M
C.M∩N={2,3}D.M∪N=(1,4)
【答案】 C
4.集合A={0,2,a},B={1,a2},若A∪B={0,1,2,4,16},则a的值为( )
A.0B.1
C.2D.4
【答案】 D
5.(xx·广东高考)已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2},则M∪N=( )
A.{0,1}B.{-1,0,2}
C.{-1,0,1,2}D.{-1,0,1}
【答案】 C
6.(xx·湖北高考)已知全集U={1,2,3,4,5,6,7},集合A={1,3,5,6},则∁UA=( )
A.{1,3,5,6}B.{2,3,7}
C.{2,4,7}D.{2,5,7}
【答案】 C
考向一[001] 集合的基本概念
(1)(xx·山东高考)已知集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A,y∈A}中元素的个数是( )
A.1 B.3 C.5 D.9
(2)已知集合A={m+2,2m2+m,-3},若3∈A,则m的值为________.
【答案】
(1)C
(2)-
规律方法1 1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、点集还是其他的集合.
2.对于含有字母的集合,在求出字母的值后,要注意检验集合的元素是否满足互异性.
对点训练
(1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为( )
A.3 B.6 C.8 D.10
(2)已知集合A={x|ax2-3x+2=0},若A=∅,则实数a的取值范围为________.
【答案】
(1)D
(2)
考向二[002] 集合间的基本关系
(1)已知a∈R,b∈R,若
={a2,a+b,0},则a2014+b2014=________.
(2)已知集合A={x|x2-3x-10≤0},B={x|m+1≤x≤2m-1},若A∪B=A,则实数m的取值范围是________.
【答案】
(1)1
(2)(-∞,3]
规律方法2 1.解答本例
(2)时应注意两点:
一是A∪B=A⇒B⊆A;二是B⊆A时,应分B=∅和B≠∅两种情况讨论.
2.已知两集合间的关系求参数时,关键是将两集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系,进而转化为参数满足的关系.解决这类问题常常合理利用数轴、Venn图化抽象为直观.
对点训练
(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 A.1 B.2 C.3 D.4 (2)若集合M={x|x2+x-6=0},N={x|ax+2=0,a∈R},且M∩N=N,则实数a的取值集合是________. 【答案】 (1)D (2) 考向三[003] 集合的基本运算 (1)(xx·课标全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B=( ) A.[-2,-1] B.[-1,2) C.[-1,1]D.[1,2) (2)(xx·辽宁高考)已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=( ) A.{x|x≥0}B.{x|x≤1} C.{x|0≤x≤1}D.{x|0 【答案】 (1)A (2)D 规律方法3 1.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. 2.求交、并、补的混合运算时,先算括号里面的,再按运算顺序求解. 3.在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用Venn图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. 4.在解决有关A∩B=∅,A⊆B等集合问题时,往往忽视空集的情况,一定先考虑∅是否成立,以防漏解. 对点训练 (1)(xx·江西高考)设全集为R,集合A={x|x2-9<0},B={x|-1<x≤5},则A∩(∁RB)=( ) A.(-3,0) B.(-3,-1) C.(-3,-1] D.(-3,3) (2)如图1-1-1,已知U={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},集合A={2,3,4,5,6,8},B={1,3,4,5,7},C={2,4,5,7,8,9},用列举法写出图中阴影部分表示的集合为______. 【答案】 (1)C (2){2,8} 思想方法之一 数形结合思想在集合中的妙用 数形结合思想,其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维与形象思维相结合,使问题化难为易、化抽象为具体. 数形结合思想在集合中的应用具体体现在以下三个方面: (1)利用Venn图,直观地判断集合的包含或相等关系. (2)利用Venn图,求解有限集合的交、并、补运算. (3)借助数轴,分析无限集合的包含或相等关系或求解集合的交、并、补运算结果及所含参变量的取值范围问题. —————————— [1个示范例] —————— 已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=________,n=________. 【解析】 ∵A={x|-5<x<1},B={x|(x-m)(x-2)<0},且A∩B={x|-1<x<n}. 如图所示 由图可知A∩B={x|-1<x<1}, 故n=1,m=-1. 【答案】 -1 1 ———————— [1个对点练] ——————— 设A={x|-2<x<-1,或x>1},B={x|x2+ax+b≤0}.已知A∪B={x|x>-2},A∩B={x|1<x≤3},则a=________,b=________. 【解析】 如图所示. 设想集合B所表示的范围在数轴上移动,显然当且仅当B覆盖住集合{x|-1≤x≤3}时符合题意. 根据一元二次不等式与一元二次方程的关系,可知-1与3是方程x2+ax+b=0的两根,∴a=-(-1+3)=-2,b=(-1)×3=-3. 【答案】 -2 -3 课时限时检测 (一) 集合的概念与运算 (时间: 60分钟 满分: 80分) 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.(xx·北京高考)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B= ( ) A.{0} B.{-1,0} C.{0,1}D.{-1,0,1} 【答案】 B 2.设集合A={1,2,3},B={4,5},C={x|x=b-a,a∈A,b∈B},则C中元素的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】 B 3.(xx·江西高考)若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素,则a=( ) A.4 B.2 C.0 D.0或4 【答案】 A 4.已知全集U=R,集合A={1,2,3,4,5},B={x∈R|x≥2},则图1-1-2中阴影部分所表示的集合为( ) 图1-1-2 A.{0,1} B.{1} C.{1,2} D.{0,1,2} 【答案】 B 5.(xx·课标全国卷Ⅰ)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|- <x< },则( ) A.A∩B=∅B.A∪B=R C.B⊆AD.A⊆B 【答案】 B 6.设A,B,I均为非空集合,且满足A⊆B⊆I,则下列各式中错误的是( ) A.(∁IA)∪B=IB.(∁IA)∪(∁IB)=I C.A∩(∁IB)=∅D.(∁IA)∩(∁IB)=∁IB 【答案】 B 二、填空题(每小题5分,共15分) 7.设U={0,1,2,3},A={x∈U|x2+mx=0},若∁UA={1,2},则实数m=________. 【答案】 -3 8.已知集合A={0,2,3},B={x|x=ab,a,b∈A且a≠b},则B的子集有________个. 【答案】 4 9.已知集合A={x|f(x)=lg(x2-2x-3)},B={y|y=2x-a,x≤2},若A∪B=A,则a的取值范围是________. 【答案】 (-∞,-3]∪(5,+∞) 三、解答题(本大题共3小题,共35分) 10.(10分)已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1}且B⊆A,求a的值. 【解】 ∵B⊆A,∴a2-a+1=3或a2-a+1=a. ①由a2-a+1=3得a2-a-2=0解得a=-1或a=2. 当a=-1时,A={1,3,-1},B={1,3},满足B⊆A, 当a=2时,A={1,3,2},B={1,3},满足B⊆A. ②由a2-a+1=a得a2-2a+1=0,解得a=1, 当a=1时,A={1,3,1}不满足集合元素的互异性. 综上,若B⊆A,则a=-1或a=2. 11.(12分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0},B={x|m-2≤x≤m+2,m∈R}. (1)若A∩B=[0,3],求实数m的值; (2)若A⊆∁RB,求实数m的取值范围. 【解】 由已知得A={x|-1≤x≤3}, (1)∵A∩B=[0,3],B={x|m-2≤x≤m+2}. ∴ ∴m=2. (2)∁RB={x|x<m-2或x>m+2}, ∵A⊆∁RB, ∴m-2>3或m+2<-1, 即m>5或m<-3. 因此实数m的取值范围是{m|m>5或m<-3}. 12.(13分)已知函数f(x)= 的定义域集合是A,函数g(x)=lg[(x-a)(x-a-1)]的定义域集合是B. (1)求集合A、B; (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围. 【解】 (1)由x2-x-2≥0⇔x≤-1或x≥2, 所以A={x|x≤-1或x≥2}. 由(x-a)(x-a-1)>0得x<a或x>a+1,所以B={x|x<a或x>a+1}. (2)由A∩B=A知A⊆B,得 所以-1<a<1, 所以实数a的取值范围是(-1,1). 第二节 命题及其关系、充分条件 与必要条件 [考情展望] 1.直接考查“若p,则q”形式的四种命题及其真假性的判定.2.以函数、方程、不等式等知识为载体,考查充分必要条件的判定方式.3.借助充要条件探索命题成立的依据. 一、四种命题及其关系 1.四种命题间的相互关系 2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 二、充分条件与必要条件 1.如果p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件. 2.如果p⇔q,那么p与q互为充要条件. 3.如果pD/⇒q,且qD/⇒p,则p是q的既不充分又不必要条件. 充分条件与必要条件的两个特征 (1)对称性: 若p是q的充分条件,则q是p的必要条件,即“p⇒q”⇔“q⇐p”; (2)传递性: 若p是q的充分(必要)条件,q是r的充分(必要)条件,则p是r的充分(必要)条件. 注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同,前者是“p⇒q”而后者是“q⇒p”. 1.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是( ) A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3 C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3 D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3 【答案】 A 2.命题“若α= ,则tanα=1”的逆否命题是( ) A.若α≠ ,则tanα≠1B.若α= ,则tanα≠1 C.若tanα≠1,则α≠ D.若tanα≠1,则α= 【答案】 C 3.命题“若a>-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为( ) A.1B.2 C.3D.4 【答案】 B 4.下列命题正确的有________. ①“a>b”是“a2>b2”的充分条件; ②“|a|>|b|”是“a2>b2”的充要条件; ③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件; ④“a>b”是“ac2>bc2”的充要条件. 【答案】 ②③ 5.(xx·浙江高考)设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( ) A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 6.(xx·陕西高考)原命题为“若z1,z2互为共轭复数,则|z1|=|z2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( ) A.真,假,真B.假,假,真 C.真,真,假D.假,假,假 【答案】 B 考向一[004] 四种命题的关系及真假判断 (1)命题“若x、y都是偶数,则x+y也是偶数”的逆否命题是( ) A.若x+y是偶数,则x与y不都是偶数 B.若x+y是偶数,则x与y都不是偶数 C.若x+y不是偶数,则x与y不都是偶数 D.若x+y不是偶数,则x与y都不是偶数 (2)以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①“若log2a>0,则函数f(x)=logax(a>0,a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题; ②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若a≠0,则ab≠0”; ③命题“正多边形都相似”的逆命题为真命题; ④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价. 【答案】 (1)C (2)②④ 规律方法1 1. (1)在判断四种命题之间的关系时,首先要分清命题的条件与结论,再考查每个命题的条件与结论之间的关系. (2)当一个命题有大前提而需写出其他三种命题时,必须保留大前提不变. 2.判定命题为真,必须推理证明;若说明为假,只需举出一个反例.互为逆否命题是等价命题,根据需要,可相互转化. 对点训练 以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号). ①命题“若x>y,则x>|y|”的逆命题是真命题; ②命题“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题是真命题; ③命题“若x2+y2=0,则x=y=0”的逆否命题为“若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0”; ④命题“若a∈M,则b∉M”与命题“若b∈M,则a∉M”等价. 【答案】 ①③④ 考向二[005] 充分条件与必要条件的判定 (1)(xx·湖北高考)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC”是“A∩B=∅”的 ( ) A.充分而不必要的条件 B.必要而不充分的条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 (2)(xx·山东高考)给定两个命题p,q.若綈p是q的必要而不充分条件,则p是綈q的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 (1)C (2)A 规律方法2 充分、必要条件的三种判断方法. 1.定义法: 直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假.并注意和图示相结合,例如“p⇒q”为真,则p是q的充分条件. 2.等价法: 利用p⇒q与綈q⇒綈p,q⇒p与綈p⇒綈q,p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系,对于条件或结论是否定式的命题,一般运用等价法. 3.集合法: 若A⊆B,则A是B的充分条件或B是A的必要条件;若A=B,则A是B的充要条件. 对点训练 (1)(xx·安徽高考)“x<0”是“ln(x+1)<0”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 (2)(xx·长沙模拟)设A,B为两个互不相同的集合,命题p: x∈A∩B,命题q: x∈A或x∈B,则綈q是綈p的( ) A.充分且必要条件B.充分非必要条件 C.必要非充分条件D.非充分且非必要条件 【答案】 (1)B (2)B 考向三[006] 充分条件与必要条件的应用 设命题p: 2x2-3x+1≤0; 命题q: x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若綈p是綈q的必要不充分条件,则实数a的取值范围是________. 【答案】 规律方法3 1.借助命题间的等价关系直接建立参数a的不等关系,避免了繁琐转换计算,将失误降到最低. 2.解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系,然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解. 3.注意利用转化的方法理解充分必要条件: 若綈p是綈q的充分不必要(必要不充分、充要)条件,则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)条件. 对点训练 已知命题p: 命题q: 1-m≤x≤1+m,m>0,若q是p的必要而不充分条件,则m的取值范围为________. 【答案】 [9,+∞) 易错易误之一 “条件”与“结论”颠倒黑白酿失误 —————————— [1个示范例] —————— 下面四个条件中,使a>b成立的充分而不必要的条件是( ) A.a>b+1B.a>b-1 C.a2>b2D.a3>b3 【解析】 要求a>b成立的充分不必要条件,必须满足 由选项能推出a>b,而由a>b推不出选项. 此处在求解中,常误认为“由a>b推出选项,而由选项推不出a>b”而错选B.出错的原因是“分不清哪个是条件,哪个是结论”.在选项A中,a>b+1能使a>b成立,而a>b时a>b+1不一定成立,故A正确;在选项B中a>b-1时a>b不一定成立,故B错误;在选项C中,a2>b2时a>b也不一定成立,因为a,b不一定均为正值,故C错误;在选项D中,a3>b3是a>b成立的充要条件,故D也错误. 【防范措施】 充分条件、必要条件是相对的概念,在进行判断时一定要注意哪个是“条件”,哪个是“结论”,如“A是B成立的……条件”,其中A是条件;“A成立的……条件是B”,其中B是条件. ——————— [1个防错练] ——————— 设集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},则B是A的真子集的一个充分不必要条件是________. 【解析】 A={-3,2},当B=∅时,BA,此时m=0, 当B≠∅时,B= ,则- =-3或- =2,∴m= 或m=- . 故B是A的真子集的一个充分不必要条件是m=0(答案不唯一). 【答案】 m=0(答案不唯一) 课时限时检测 (二) 命题及其关系、充分条件与必要条件 (时间: 60分钟 满分: 80分) 一、选择题(每小题5分,共30分) 1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( ) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数” B.“若一个数的平方是正数,则它是负数” C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数” D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数” 【答案】 B 2.(xx·广州市培正中学模拟)“a=1”是“(a-1)(a-2)=0”成立的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 3.有下列四个命题: ①“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆否命题; ②“全等三角形的面积相等”的否命题; ③“若q≤1,则x2+2x+q=0有实根”的逆否命题; ④“不等边三角形的三个内角相等”的逆命题. 其中的真命题为( ) A.①② B.②③ C.①③ D.③④ 【答案】 C 4.(xx·福建高考)已知集合A={1,a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 5.“关于x的不等式x2-2ax+a>0的解集为R”是“0≤a≤1”的( ) A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 6.已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则实数a的取值范围是( ) A.a<5B.a≤5 C.a>5D.a≥5 【答案】 A 二、填空题(每小题共5分,共15分) 7.命题“若m>0,则关于x的方程x2+x-m=0有实数根”与它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题的个数为________. 【答案】 2 8.设n∈N+,一元二次方程x2-4x+n=0有整数根的充要条件是n=________. 【答案】 3或4 9.若p: x(x-3)<0是q: 2x-3<m的充分不必要条件,则实数m的取值范围是________. 【答案】 [3,+∞) 三、解答题(本大题共3小题,共35分) 10.(10分)已知函数f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f
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