学年最新北师大版八年级数学上册《勾股定理》综合测试题及答案解析精品试题.docx

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学年最新北师大版八年级数学上册《勾股定理》综合测试题及答案解析精品试题

《第1章勾股定理》

一、填空题

1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为　　，斜边上的高为　　．

2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为　　．

3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为　　cm2．

4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为　　．

5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行　　米．

6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是　　．

7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为　　．

8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b=　　；若a=12，b=5，则C=　　；若c=15，b=13，则a=　　．

9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD=　　．

10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2=　　．

11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为　　．

12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是　　m．

13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行　　千米．

二、选择题

14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（　　）

A．a=7，b=24，c=25B．a=1.5，b=2，c=2.5

C．

D．a=15，b=8，c=17

15．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）

A．a=9，b=41，c=40B．a=5，b=12，c=13

C．a：

b：

c=3：

4：

5D．a=11，b=12，c=15

16．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（　　）

A．14B．4C．14或4D．以上都不对

17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．13B．14C．25D．169

18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（　　）

A．3B．4C．5D．6

19．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（　　）

A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm

20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）

A．20cmB．50cmC．40cmD．45cm

21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是　　．

22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（　　）

A．96B．49C．24D．48

23．有下面的判断：

①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形．④若△ABC是直角三角形，则（a+b）（a﹣b）=c2．以上判断正确的有（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

三、解答题：

24．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知c=25，b=15，求a．

25．甲、乙两同学在操场上，从同一旗杆处出发，甲向北走18米，乙向东走16米以后，又向北走6米，此时甲、乙两同学相距多远？

26．一梯子斜靠在某建筑物上，当梯子的底端离建筑物9m时，梯子可以达到的高度是12m，你能算出梯子的长度吗？

27．如图是一块地，已知AD=8cm，CD=6cm，∠D=90°，AB=26cm，BC=24cm，求这块地的面积．

28．如图，滑杆在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑杆AB长2.5米，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，求滑杆顶端A下滑多少米？

29．如图，折叠长方形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠使AD边与BD重合，得折痕DG，若AB=4，BC=3，求AG的长．

30．如图，长方形ABCD中，AB=4，BC=5，将长方形沿折痕AF折叠，点D恰好落在BC边上的点E处．

（1）求BE的长；

（2）求CF的长．

31．已知：

a、b、c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC的形状．

解：

∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，①

∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2）．②

∴c2=a2+b2．③

∴△ABC是直角三角形．

问：

（1）在上述解题过程中，从哪一步开始出现错误？

请写出该步的代号：

　　；

（2）错误的原因为　　；

（3）本题正确的解题过程：

《第1章勾股定理》（山东省济南市兴济中学）

参考答案与试题解析

一、填空题

1．直角三角形两条直角边的长分别为5、12，则斜边长为　13　，斜边上的高为　

　．

【考点】勾股定理．

【分析】可先用勾股定理求出斜边长，然后再根据直角三角形面积的两种公式求解即可．

【解答】解：

由勾股定理可得：

AB2=52+122，

则AB=13，

直角三角形面积S=

×5×12=

×13×CD，

可得：

斜边的高CD=

．

故答案为：

13，

．

【点评】本题考查勾股定理及直角三角形面积公式的综合运用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理，此题难度不大．

2．已知直角三角形的两边的长分别是3和4，则第三边长为　5或

　．

【考点】勾股定理．

【专题】分类讨论．

【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论：

①3是直角边，4是斜边；②3、4均为直角边；可根据勾股定理求出上述两种情况下，第三边的长．

【解答】解：

①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时：

第三边的长为：

=

；

②长为3、4的边都是直角边时：

第三边的长为：

=5；

综上，第三边的长为：

5或

．

故答案为：

5或

．

【点评】此题主要考查的是勾股定理的应用，要注意的是由于已知的两边是直角边还是斜边并不明确，所以一定要分类讨论，以免漏解．

3．已知等腰三角形的腰长为5cm，底边长为6cm，则这个三角形的面积为　12　cm2．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【分析】作底边上的高，根据等腰三角形三线合一和勾股定理求出高，再代入面积公式求解即可．

【解答】解：

如图，作底边BC上的高AD，

则AB=5cm，BD=

×6=3cm，

∴AD=

=

=4，

∴三角形的面积为：

×6×4=12cm2．

【点评】本题利用等腰三角形“三线合一”作出底边上的高，再根据勾股定理求出高的长度，作高构造直角三角形是解题的关键．

4．如图所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为8，正方形A的面积是11，B的面积是10，C的面积是13，则D的面积为　30　．

【考点】勾股定理．

【分析】根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明：

四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64，由此即可解决问题．

【解答】解：

如图记图中三个正方形分别为P、Q、M．

根据勾股定理得到：

A与B的面积的和是P的面积；C与D的面积的和是Q的面积；而P，Q的面积的和是M的面积．

即A、B、C、D的面积之和为M的面积．

∵M的面积是82=64，

∴A、B、C、D的面积之和为64，设正方形D的面积为x，

∴11+10+13+x=64，

∴x=30．

故答案为：

30．

【点评】此题考查了勾股定理，正方形的面积，得出正方形A，B，C，D的面积和即是最大正方形M的面积是解题的关键．

5．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行　10　米．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】从题目中找出直角三角形并利用勾股定理解答．

【解答】解：

过点D作DE⊥AB于E，连接BD．

在Rt△BDE中，DE=8米，BE=8﹣2=6米．

根据勾股定理得BD=10米．

【点评】注意作辅助线构造直角三角形，熟练运用勾股定理．

6．如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则正方形ABCD的面积是　5　．

【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质．

【分析】根据正方形性质得出AB=CB，∠ABC=90°，求出∠EAB=∠FBC，证△AEB≌△BFC，求出BE=CF=2，在Rt△AEB中，由勾股定理求出AB，即可求出正方形的面积．

【解答】解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=BC，∠ABC=90°，

∵AE⊥EF，CF⊥EF，

∴∠AEB=∠BFC=90°，

∴∠ABE+∠CBF=180°﹣90°=90°，∠ABE+∠EAB=90°，

∴∠EAB=∠CBF，

在△AEB和△BFC中，

，

∴△AEB≌△BFC（AAS），

∴BE=CF=2，

在Rt△AED中，由勾股定理得：

AB=

=

，

即正方形ABCD的面积是5，

故答案为：

5．

【点评】本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理的应用，关键是求出BE=CF，主要考查学生分析问题和解决问题的能力，题型较好，难度适中．

7．如图，是一个长方体，长4、宽3、高12，则图中阴影部分的三角形的周长为　30　．

【考点】勾股定理．

【分析】在底面上，阴影三角形的边长是直角三角形的斜边，根据勾股定理即可求得，阴影部分是一个直角三角形，利用两直角边求出即可．

【解答】解：

如图所示，在直角△BCD中，根据勾股定理，得到BC=

=

=5．

在直角△ABC中，根据勾股定理，得到AC=

=

=13．

所以，图中阴影部分的三角形的周长为：

AB+BC+AC=12+5+13=30．

故答案是：

30．

【点评】本题考查了勾股定理．正确认识到阴影部分的形状是直角三角形是解题的关键；主要考查空间想象能力．

8．在△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边．若a=6，c=10，则b=　8　；若a=12，b=5，则C=　13　；若c=15，b=13，则a=　2

　．

【考点】勾股定理．

【专题】计算题．

【分析】画出图形，根据勾股定理直接解答．

【解答】解：

如图：

在Rt△ABC中，a=6，c=10，

则b=

=

=8；

在Rt△ABC中，a=12，b=5，

则c=

=

=13；

在Rt△ABC中，c=15，b=13，

则a=

=

=2

．

故答案为8，13，2

．

【点评】本题考查了勾股定理，要注意分清直角边和斜边，另外，解答时要注意画出图形，找到相应的边和角，再代入公式计算．

9．在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，若AB=13，BC=10，则AD=　12　．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【专题】几何图形问题．

【分析】先根据等腰三角形的性质得出AD是BC边的中线，再根据勾股定理求出AD的长即可．

【解答】解：

∵在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，AB=13，BC=10，

∴BD=

BC=

×10=5，

∴AD=

=

=12．

故答案为：

12．

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质及勾股定理是解答此题的关键．

10．若一个直角三角形的三边长分别是6、8、a，则a2=　100或28　．

【考点】勾股定理．

【分析】本题已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边8既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即8是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．

【解答】解：

（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：

62+82=a2，所以a2=100；

（2）若8是斜边，则第三边a为直角边，由勾股定理得：

62+x2=82，所以a2=28．

故答案为：

100或28．

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．

11．等腰三角形的腰长为10，底边上的高为6，则底边长为　16　．

【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．

【分析】根据题意画出图形，利用勾股定理求解即可．

【解答】解：

如图，∵AB=AC=6，AD⊥BC，AD=6，

∴BD=

=

=8，

∴BC=2BD=16．

故答案为：

16．

【点评】本题考查的是勾股定理，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．

12．小颖从学校出发向南走了150m，接着向东走了80m到达书店，则学校与书店的距离是　170　m．

【考点】勾股定理的应用．

【专题】计算题．

【分析】根据正南方向和正东方向成九十度，利用勾股定理进行计算即可．

【解答】解：

∵正南方向和正东方向成90°，

∴根据勾股定理得学校与书店之间的距离为

=170（米）．

故答案为：

170．

【点评】此题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行计算．

13．飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到小刚头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离小刚5000米，则飞机每小时飞行　540　千米．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】先画出图形，构造出直角三角形，利用勾股定理解答．

【解答】解：

设A点为小刚头顶，C为正上方时飞机的位置，B为20s后飞机的位置，

如图所示，则AB2=BC2+AC2，即BC2=AB2﹣AC2=9000000，

∴BC=3000米，

∴飞机的速度为3000÷20×3600=540（千米/小时），

故答案为：

540．

【点评】本题考查正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．解题时注意运用数形结合的思想方法使问题直观化．

二、选择题

14．下列几组数中不能作为直角三角形三边长度的是（　　）

A．a=7，b=24，c=25B．a=1.5，b=2，c=2.5

C．

D．a=15，b=8，c=17

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】根据勾股定理的逆定理对各个选项进行分析，从而得到答案．

【解答】解：

A、满足勾股定理：

72+242=252，故A选项不符合题意；

B、满足勾股定理：

1.52+22=2.52，故B选项不符合题意；

C、不满足勾股定理，不是勾股数，故C选项符合题意；

D、满足勾股定理：

152+82=172，故D选项不符合题意．

故选：

C．

【点评】本题考查了用勾股定理的逆定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解答此题的关键．

15．在下列以线段a，b，c的长为三边的三角形中，不能构成直角三角形的是（　　）

A．a=9，b=41，c=40B．a=5，b=12，c=13

C．a：

b：

c=3：

4：

5D．a=11，b=12，c=15

【考点】勾股定理的逆定理．

【分析】根据勾股定理的逆定理，验证四个选项中数据是否满足“较小两边平方的和等于最大边的平方”，由此即可得出结论．

【解答】解：

A、因为92+402=412，能构成直角三角形，此选项错误；

B、因为52+122=132，能构成直角三角形，此选项错误；

C、因为32+42=52，故能构成直角三角形，此选项错误．

D、因为112+122≠152，不能构成直角三角形，此选项正确．

故选D．

【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键是根据勾股定理的逆定理验证四个选项．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，套入数据验证“较小两边平方的和是否等于最大边的平方”是关键．

16．△ABC中，AB=13cm，AC=15cm，高AD=12，则BC的长为（　　）

A．14B．4C．14或4D．以上都不对

【考点】勾股定理．

【专题】分类讨论．

【分析】分两种情况讨论：

锐角三角形和钝角三角形，根据勾股定理求得BD，CD，再由图形求出BC，在锐角三角形中，BC=BD+CD，在钝角三角形中，BC=CD﹣BD．

【解答】解：

（1）如图，锐角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，

在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得

BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，

则BD=5，

在Rt△ABD中AC=15，AD=12，由勾股定理得

CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，

则CD=9，

故BC=BD+DC=9+5=14；

（2）钝角△ABC中，AB=13，AC=15，BC边上高AD=12，

在Rt△ABD中AB=13，AD=12，由勾股定理得

BD2=AB2﹣AD2=132﹣122=25，

则BD=5，

在Rt△ACD中AC=15，AD=12，由勾股定理得

CD2=AC2﹣AD2=152﹣122=81，

则CD=9，

故BC的长为DC﹣BD=9﹣5=4．

故选：

C．

【点评】本题考查了勾股定理，把三角形边的问题转化到直角三角形中用勾股定理解答．

17．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中短直角边a，较长直角边为了b，那么（a+b）2的值为（　　）

A．13B．14C．25D．169

【考点】勾股定理．

【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理，结合图形进行分析发现：

大正方形的面积即直角三角形斜边的平方13，也就是两条直角边的平方和是13，四个直角三角形的面积和是大正方形的面积减去小正方形的面积即2ab=12．根据完全平方公式即可求解．

【解答】解：

根据题意，结合勾股定理a2+b2=13，

四个三角形的面积=4×

ab=13﹣1，

∴2ab=12，

联立解得：

（a+b）2=13+12=25．

故选C．

【点评】本题考查了勾股定理和完全平方公式的运用，解题的关键是注意观察图形：

发现各个图形的面积和a，b的关系．

18．如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为（　　）

A．3B．4C．5D．6

【考点】翻折变换（折叠问题）．

【分析】先根据翻折变换的性质得出CD=C′D，∠C=∠C′=90°，再设DE=x，则AE=8﹣x，由全等三角形的判定定理得出Rt△ABE≌Rt△C′DE，可得出BE=DE=x，在Rt△ABE中利用勾股定理即可求出x的值，进而得出DE的长．

【解答】解：

∵Rt△DC′B由Rt△DBC翻折而成，

∴CD=C′D=AB=8，∠C=∠C′=90°，

设DE=x，则AE=8﹣x，

∵∠A=∠C′=90°，∠AEB=∠DEC′，

∴∠ABE=∠C′DE，

在Rt△ABE与Rt△C′DE中，

，

∴Rt△ABE≌Rt△C′DE（ASA），

∴BE=DE=x，

在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，

∴42+（8﹣x）2=x2，

解得：

x=5，

∴DE的长为5．

故选C．

【点评】本题考查的是翻折变换的性质及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等的知识是解答此题的关键．

19．两只小鼹鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分钟挖8cm，另一只朝左挖，每分钟挖6cm，10分钟后，两只小鼹鼠相距（　　）

A．50cmB．100cmC．140cmD．80cm

【考点】勾股定理的应用．

【专题】应用题．

【分析】首先根据题意知：

它们挖的方向构成了直角．再根据路程=速度×时间，根据勾股定理即可求解．

【解答】解：

由图可知，AC=8×10=80cm，BC=6×10=60cm，由勾股定理得，

AB=

=

=100cm．

故选B．

【点评】本题考查了勾股定理的应用，首先要正确理解题意，画出正确的图形，再熟练运用勾股定理进行计算．

20．一个圆桶底面直径为24cm，高32cm，则桶内所能容下的最长木棒为（　　）

A．20cmB．50cmC．40cmD．45cm

【考点】勾股定理的应用．

【分析】如图，AC为圆桶底面直径，所以AC=24cm，CB=32cm，那么线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，在直角三角形ABC中利用勾股定理可以求出AB，也就求出了桶内所能容下的最长木棒的长度．

【解答】解：

如图，AC为圆桶底面直径，

∴AC=24cm，CB=32cm，

∴线段AB的长度就是桶内所能容下的最长木棒的长度，

∴AB=

=40cm．

故桶内所能容下的最长木棒的长度为40cm．

故选C．

【点评】此题首先要正确理解题意，把握好题目的数量关系，然后利用勾股定理即可求出结果．

21．如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为acm（茶杯装满水），则a的取值范围是　11cm≤a≤12cm　．

【考点】勾股定理的应用．

【分析】先根据题意画出图形，再根据勾股定理解答即可．

【解答】解：

当筷子与杯底垂直时h最大，h最大=24﹣12=12cm．

当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时a最小，

如图所示：

此时，AB=

=

=13cm，

故a=24﹣13=11cm．

所以a的取值范围是：

11cm≤a≤12cm．

故答案是：

11cm≤a≤12cm．

【点评】此题将勾股定理与实际问题相结合，考查了同学们的观察力和由具体到抽象的推理能力，解答此题的关键是根据题意画出图形求出h的最大及最小值，有一定难度．

22．直角三角形的周长为24，斜边长为10，则其面积为（　　）

A．96B．49C．24D．48

【考点】勾股定理．

【专题】方程思想．

【分析】利用勾股定理求出两直角边，再代入三角形面积公式即可求解．

【解答】解：

直角三角形的周长为24，斜边长为10，则两直角边的和为24﹣10=14，

设一直角边为x，则另一边14﹣x，

根据勾股定理可知：

x2+（14﹣x）2=100，

解得x=6或8，

所以面积为6×8÷2=24．

故选C．

【点评】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；本题的关键是先求出两直角边，再计算面积．

23．有下面的判断：

①△ABC中，a2+b2≠c2，则△ABC不是直角三角形．②△ABC是直角三角形，∠C=90°，则a2+b2=c2．③若△ABC中，a2﹣b2=c2，则△ABC是直角三角形