一元二次方程求解公式法求解.docx
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一元二次方程求解公式法求解
一元二次方程求解(公式法求解)
一.选择题(共2小题)
1.已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根,则下面对a的估计正确的是( )
A.0<a<1B.1<a<1.5C.1.5<a<2D.2<a<3
2.一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是( )
A.x1=x2=B.x1=0,x2=﹣2C.x1=,x2=﹣3D.x1=﹣,x2=3
二.填空题(共19小题)
3.方程x2﹣|x|﹣1=0的根是 .
4.已知等腰三角形的一腰为x,周长为20,则方程x2﹣12x+31=0的根为 .
5.已知代数式7x(x+5)+10与代数式9x﹣9的值互为相反数,则x= .
6.若x2+3xy﹣2y2=0,那么= .
7.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 ,条件是 .
8.用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac= ,x1= ,x2= .
9.一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 .
10.小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时,对于b2﹣4ac>0的情况,他是这样做的:
小明的解法从第 步开始出现错误;这一步的运算依据应是 .
11.
(1)解下列方程:
①x2﹣2x﹣2=0;②2x2+3x﹣1=0;③2x2﹣4x+1=0;④x2+6x+3=0;
(2)上面的四个方程中,有三个方程的一次项系数有共同特点,请你用代数式表示这个特点,并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式 .
12.已知x=(b2﹣4c>0),则x2+bx+c的值为 .
13.方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为 .
14.方程x2﹣3x+1=0的解是 .
15.已知一元二次方程2x2﹣3x=1,则b2﹣4ac= .
16.方程x2﹣4x﹣7=0的根是 .
17.一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是 .
18.有一个数值转换机,其流程如图所示:
若输入a=﹣6,则输出的x的值为 .
19.已知a<b<0,且,则= .
20.方程x2﹣5x+3=0的解是 .
21.若实数a,b满足a2+ab﹣b2=0,则= .
三.解答题(共19小题)
22.解方程:
x2﹣3x+1=0.
23.解方程:
x2﹣5x+2=0.
24.解方程:
x2﹣3x﹣7=0.
25.2x2+3x﹣1=0.
26.解下列方程
(1)用配方法解方程:
2x2+5x+3=0;
(2)用公式法解方程:
(x﹣2)(x﹣4)=12.
27.解下列方程:
(1)x2﹣2x=2x+1(配方法)
(2)2x2﹣2x﹣5=0(公式法)
28.解方程:
2x2﹣5x+1=0.
29.解方程:
(1)x2﹣6x﹣6=0
(2)2x2﹣7x+6=0.
30.解方程:
2x2+3x﹣1=0.
31.解方程:
x2+3x+1=0.
32.
(1)解方程:
x2=3(x+1).
(2)用配方法解方程:
x2﹣2x﹣24=0.
33.用公式法解下列方程
2x2+6=7x.
34.解方程:
x2+3x﹣2=0.
35.解方程:
2x2﹣3x﹣1=0.
36.解方程:
3x2﹣6x﹣2=0.
37.用公式法解方程:
x2+x﹣1=0.
38.解方程
(l)2x2﹣3x+1=0(公式法)
(2)3x2﹣6x+4=0(配方法)
39.设关于x的二次方程(k2﹣6k+8)x2+(2k2﹣6k﹣4)x+k2=4的两根都是整数.求满足条件的所有实数k的值.
40.解方程:
3x2﹣4x﹣1=0.
一元二次方程求解(公式法求解)
参考答案与试题解析
一.选择题(共2小题)
1.(2014•荆州)已知a是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根,则下面对a的估计正确的是( )
A.0<a<1B.1<a<1.5C.1.5<a<2D.2<a<3
【分析】先求出方程的解,再求出的围,最后即可得出答案.
【解答】解:
解方程x2﹣x﹣1=0得:
x=,
∵a是方程x2﹣x﹣1=0较大的根,
∴a=,
∵2<<3,
∴3<1+<4,
∴<<2,
故选:
C.
【点评】本题考查了解一元二次方程,估算无理数的大小的应用,题目是一道比较典型的题目,难度适中.
2.(2014•)一元二次方程x2+2x﹣6=0的根是( )
A.x1=x2=B.x1=0,x2=﹣2C.x1=,x2=﹣3D.x1=﹣,x2=3
【分析】找出方程中二次项系数a,一次项系数b及常数项c,再根据x=,将a,b及c的值代入计算,即可求出原方程的解.
【解答】解:
∵a=1,b=2,c=﹣6
∴x====﹣±2,
∴x1=,x2=﹣3;
故选:
C.
【点评】此题考查了利用公式法求一元二次方程的解,利用公式法解一元二次方程时,首先将方程化为一般形式,找出二次项系数,一次项系数及常数项,计算出根的判别式,当根的判别式≥0时,将a,b及c的值代入求根公式即可求出原方程的解.
二.填空题(共19小题)
3.(2011春•桐城市月考)方程x2﹣|x|﹣1=0的根是 或 .
【分析】分x>0和x<0两种情况进行讨论,当x>0时,方程x2﹣x﹣1=0;当x<0时,方程x2+x﹣1=0;分别求符合条件的解即可.
【解答】解:
当x>0时,方程x2﹣x﹣1=0;
∴x=;
当x<0时,方程x2+x﹣1=0;
∴x=,
∴x=;
故答案为或.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法,要特别注意分类讨论思想的运用.
4.(2014•下城区一模)已知等腰三角形的一腰为x,周长为20,则方程x2﹣12x+31=0的根为 6 .
【分析】求出方程的解得到x的值,即为腰长,检验即可得到方程的解.
【解答】解:
方程x2﹣12x+31=0,
变形得:
x2﹣12x=﹣31,
配方得:
x2﹣12x+36=5,即(x﹣6)2=5,
开方得:
x﹣6=±,
解得:
x=6+或x=6﹣,
当x=6﹣时,2x=12﹣2<20﹣12+2,不能构成三角形,舍去,
则方程x2﹣12x+31=0的根为6+.
故答案为:
6+
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法,三角形的三边关系,以及等腰三角形的性质,熟练掌握求根公式是解本题的关键.
5.(2015秋•阳县月考)已知代数式7x(x+5)+10与代数式9x﹣9的值互为相反数,则x= .
【分析】根据题意列出方程,求出方程的解即可得到x的值.
【解答】解:
根据题意得:
7x(x+5)+10+9x﹣9=0,
整理得:
7x2+44x+1=0,
这里a=7,b=44,c=1,
∵△=442﹣28=1908,
∴x==.
故答案为:
.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法,熟练掌握求根公式是解本题的关键.
6.(2012•呼和浩特模拟)若x2+3xy﹣2y2=0,那么= .
【分析】观察原方程的未知数是次数与所求的的未知数的次数知,方程的两边同时乘以,即可得到关于的方程,然后利用“换元法”、“公式法”解答即可.
【解答】解:
由原方程,得
两边同时乘以得:
()2+3﹣2=0
设=t,则上式方程即为:
t2+3t﹣2=0,
解得,t=,
所以=;
故答案是:
.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法.解答此题的关键是将原方程转化为关于的一元二次方程.
7.(2016秋•新沂市校级月考)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式是 ,条件是 b2﹣4ac≥0 .
【分析】可根据配方法解一元二次方程的一般方法,解一元二次方程ax2+bx+c=0.
【解答】解:
由一元二次方程ax2+bx+c=0,
移项,得ax2+bx=﹣c
化系数为1,得x2+x=﹣
配方,得x2+x+=﹣+
即:
(x+)2=
当b2﹣4ac≥0时,
开方,得x+=
解得:
x=.
故答案为:
,b2﹣4ac≥0.
【点评】本题考查了用配方法推导公式法解一元二次方程的一般方法.
8.(2011秋•册亨县校级月考)用公式法解方程2x2﹣7x+1=0,其中b2﹣4ac= 41 ,x1= ,x2= .
【分析】根据已知得出a=2,b=﹣7,c=1,代入b2﹣4ac求出即可,再代入公式x=求出即可.
【解答】解:
2x2﹣7x+1=0,
a=2,b=﹣7,c=1,
∴b2﹣4ac=(﹣7)2﹣4×2×1=41,
∴x==,
∴x1=,x2=,
故答案为:
41,,.
【点评】本题考查了对解一元二次方程﹣公式法的应用,关键是检查学生能否能运用公式求方程的解,本题主要培养了学生的计算能力.
9.(2011•)一元二次方程a2﹣4a﹣7=0的解为 a1=2+,a2=2﹣ .
【分析】用公式法直接求解即可.
【解答】解:
a=
=
=2±,
∴a1=2+,a2=2﹣,
故答案为:
a1=2+,a2=2﹣.
【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程的一般步骤为:
①把方程化成一般形式,进而确定a,b,c的值(注意符号);
②求出b2﹣4ac的值(若b2﹣4ac<0,方程无实数根);
③在b2﹣4ac≥0的前提下,把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根.
注意:
用公式法解一元二次方程的前提条件有两个:
①a≠0;②b2﹣4ac≥0.
10.(2016•丰台区一模)小明同学用配方法推导关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式时,对于b2﹣4ac>0的情况,他是这样做的:
小明的解法从第 四 步开始出现错误;这一步的运算依据应是 平方根的定义 .
【分析】根据配方法解一元二次方程即可判定第四步开方时出错.
【解答】解:
小明的解法从第四步开始出现错误;这一步的运算依据应是平方根的定义;
故答案为四;平方根的定义.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法.
用配方法解一元二次方程的步骤:
(1)形如x2+px+q=0型:
第一步移项,把常数项移到右边;第二步配方,左右两边加上一次项系数一半的平方;第三步左边写成完全平方式;第四步,直接开方即可.
(2)形如ax2+bx+c=0型,方程两边同时除以二次项系数,即化成x2+px+q=0,然后配方.
11.(2000•区)
(1)解下列方程:
①x2﹣2x﹣2=0;②2x2+3x﹣1=0;③2x2﹣4x+1=0;④x2+6x+3=0;
(2)上面的四个方程中,有三个方程的一次项系数有共同特点,请你用代数式表示这个特点,并推导出具有这个特点的一元二次方程的求根公式 .
【分析】
(1)直接代入公式计算即可.
(2)其中方程①③④的一次项系数为偶数2n(n是整数).然后再利用求根公式代入计算即可.
【解答】解:
(1)①解方程x2﹣2x﹣2=0①,
∵a=1,b=﹣2,c=﹣2,
∴x===1,
∴x1=1+,x2=1.
②解方程2x2+3x﹣l=0,
∵a=2,b=3,c=﹣1,
∴x==,
∴x1=,x2=.(2分)
③解方程2x2﹣4x+1=0,
∵a=2,b=﹣4,c=1,
∴x===,
x1=,x2=.(3分)
④解方程x2+6x+3=0,
∵a=1,b=6,c=3,
∴x===﹣3,
∴x1=,x2=.(4分)
(2)其中方程①③④的一次项系数为偶数2n(n是整数).(8分)
一元二次方程ax2+bx+c=0,其中b2﹣4ac≥0,b=2n,n为整数.
∵b2﹣4ac≥0,即(2n)2﹣4ac≥0,
∴n2﹣ac≥0,
∴x==
==(11分)
∴一元二次方程ax2+2nx+c=0(n2﹣ac≥0)的求根公式为.(12分)
【点评】本题主要考查了解一元二次方程的公式法.关键是正确理解求根公式,正确对二次根式进行化简.
12.(2016秋•安陆市期中)已知x=(b2﹣4c>0),则x2+bx+c的值为 0 .
【分析】把x的值代入代数式,再进行计算即可.
【解答】解:
∵x=(b2﹣4c>0),
∴x2+bx+c
=()2+b+c
=++c
=
=
=0.
故答案为:
0.
【点评】本题考查了一元二次方程,实数的运算法则,求代数式的值的应用,能根据实数的运算法则进行计算是解此题的关键.
13.(2015秋•校级月考)方程2x2﹣6x﹣1=0的负数根为 x= .
【分析】先计算判别式的值,再利用求根公式法解方程,然后找出负数根即可.
【解答】解:
△=(﹣6)2﹣4×2×(﹣1)=44,
x==,
所以x1=>0,x2=<0.
即方程的负数根为x=.
故答案为x=.
【点评】本题考查了公式法解一元二次方程:
用求根公式解一元二次方程的方法是公式法.
14.(2010•)方程x2﹣3x+1=0的解是 x1=,x2= .
【分析】观察原方程,可用公式法求解;首先确定a、b、c的值,在b2﹣4ac≥0的前提条件下,代入求根公式进行计算.
【解答】解:
a=1,b=﹣3,c=1,
b2﹣4ac=9﹣4=5>0,
x=;
∴x1=,x2=.
故答案为:
x1=,x2=.
【点评】在一元二次方程的四种解法中,公式法是主要的,公式法可以说是通法,即能解任何一个一元二次方程.但对某些特殊形式的一元二次方程,用直接开平方法简便.因此,在遇到一道题时,应选择适当的方法去解.
15.(2011秋•浠水县校级月考)已知一元二次方程2x2﹣3x=1,则b2﹣4ac= 17 .
【分析】先将已知方程转化为一般式方程,然后将a、b、c的数值代入所求的代数式,并求值即可.
【解答】解:
由原方程,得
2x2﹣3x﹣1=0,
∴二次项系数a=2,一次项系数b=﹣3,常数项c=﹣1,
∴b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×2×(﹣1)=9+8=17;
故答案是:
17.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法.在求b2﹣4ac的值时,需要熟悉该代数式中的a、b、c所表示的意义.
16.(2013秋•邹平县校级期末)方程x2﹣4x﹣7=0的根是 x1=2+,x2=2﹣ .
【分析】先求出b2﹣4ac的值,最后代入公式求出即可.
【解答】解:
x2﹣4x﹣7=0,
b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×1×(﹣7)=44,
x=,
x1=2+,x2=2﹣,
故答案为:
;
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,主要考查学生能否正确运用公式解一元二次方程.
17.(2012秋•开县校级月考)一元二次方程3x2﹣4x﹣2=0的解是 .
【分析】利用公式法解此一元二次方程的知识,即可求得答案.
【解答】解:
∵a=3,b=﹣4,c=﹣2,
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4×3×(﹣2)=40,
∴x===.
故答案为:
.
【点评】此题考查了公式法解一元二次方程的知识.此题难度不大,注意熟记公式是关键.
18.(2012秋•周宁县期中)有一个数值转换机,其流程如图所示:
若输入a=﹣6,则输出的x的值为 无解 .
【分析】将a=﹣6代入方程x2﹣3x﹣a=0中,利用公式法求出方程的解即可.
【解答】解:
输入的数a=﹣6<0,代入得:
x2﹣3x+6=0,
这里a=1,b=﹣3,c=6,
∵△=9﹣24=﹣15<0,
则此方程无解.
故答案为:
无解
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法,利用此方法解方程时,找出a,b及c的值,代入求根公式即可求出解.
19.(2012•家港市模拟)已知a<b<0,且,则= .
【分析】根据题意得到a2﹣6ab+b2=0,把它看作为a的一元二次方程,利用求根公式得到a==(3±2)b,由于a<b<0,则a=(3﹣2)b,然后把a=(3﹣2)b代入所求的代数式中进行化简即可.
【解答】解:
法①∵+=6,
∴a2﹣6ab+b2=0,
∴a==(3±2)b,
∵a<b<0,
∴a=(3﹣2)b,
∴====.
法②:
原式通分得:
a2+b2=6ab;则(a+b)2=8ab,(a﹣b)2=4ab
又a<b<0;故a+b=﹣,a﹣b=
所以
故答案为.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为:
x=(b2﹣4ac≥0).也考查了二次根式的混合运算.
20.(2002•达州)方程x2﹣5x+3=0的解是 .
【分析】观察方程,此题用公式法解答比较简单,首先确定a,b,c的值,判断方程是否有解,若有解直接代入公式求解即可.
【解答】解:
根据求根公式可知:
x==.
【点评】公式法适用于任何一元二次方程.方程ax2+bx+c=0的解为x=,需要熟练掌握.
21.(2010秋•仪征市校级月考)若实数a,b满足a2+ab﹣b2=0,则= .
【分析】把b看成常数,解关于a的一元二次方程,然后求出的值.
【解答】解:
a2+ab﹣b2=0
△=b2+4b2=5b2.
a==b
∴=.
故答案是:
【点评】本题考查的是用一元二次方程的求根公式解方程,把b看成是常数,用求根公式解关于a的一元二次方程,然后求出的值.
三.解答题(共19小题)
22.(2015•东西湖区校级模拟)解方程:
x2﹣3x+1=0.
【分析】先观察再确定方法解方程,此题采用公式法求解即可.
【解答】解:
∵a=1,b=﹣3,c=1
∴b2﹣4ac=5
∴x=.
故,.
【点评】此题比较简单,考查了一元二次方程的解法,解题时注意选择适宜的解题方法.
23.(2015•模拟)解方程:
x2﹣5x+2=0.
【分析】找出a,b及c的值,得到根的判别式的值大于0,代入求根公式即可求出解.
【解答】解:
这里a=1,b=﹣5,c=2,
∵△=25﹣8=17>0,
∴x=,
则x1=,x2=.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法,利用公式法解方程时,首先将方程整理为一般形式,找出a,b及c的值,当根的判别式的值大于等于0时,代入求根公式即可求出解.
24.(2015•黄陂区校级模拟)解方程:
x2﹣3x﹣7=0.
【分析】利用求根公式x=来解方程.
【解答】解:
在方程x2﹣3x﹣7=0中,a=1,b=﹣3,c=﹣7.则
x===,
解得x1=,x2=.
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣公式法.熟记公式是解题的关键.
25.(2008•)2x2+3x﹣1=0.
【分析】此题考查了公式法解一元二次方程,解题时要注意将方程化为一般形式,确定a,b,c的值,然后检验方程是否有解,若有解,代入公式即可求解.
【解答】解:
∵a=2,b=3,c=﹣1
∴b2﹣4ac=17>0
∴x=
∴x1=,x2=.
【点评】解此题的关键是熟练应用求根公式,要注意将方程化为一般形式,确定a、b、c的值.
26.(2016春•泰山区期中)解下列方程
(1)用配方法解方程:
2x2+5x+3=0;
(2)用公式法解方程:
(x﹣2)(x﹣4)=12.
【分析】
(1)根据配方法的步骤先两边都除以2,移项,配方,开方即可得出两个一元一次方程,再求出方程的解即可;
(2)把a=1,b=﹣6,c=﹣4代入求根公式x=计算即可.
【解答】解:
(1)方程两边同除以2,得:
x2+x+=0,
移项,得x2+=,
配方,得x2+x+()2=+()2,
(x+)2=,
x+=或x+=,
x1=﹣l;x2=;
(2)原方程可化为:
x2﹣6x﹣4=0,
∵a=1,b=﹣6,c=﹣4;
∴x===,
∴x=3±,
x1=3+,x2=3﹣;
【点评】本题考查了配方法和公式法解一元二次方程,关键是能正确配方,配方法的一般步骤:
(1)把常数项移到等号的右边;
(2)把二次项的系数化为1;(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方.
27.(2015春•沂源县期末)解下列方程:
(1)x2﹣2x=2x+1(配方法)
(2)2x2﹣2x﹣5=0(公式法)
【分析】
(1)方程利用配方法求出解即可;
(2)方程利用公式法求出解即可.
【解答】解:
(1)方程整理得:
x2﹣4x=1,
配方得:
x2﹣4x+4=5,即(x﹣2)2=5,
开方得:
x﹣2=±,
解得:
x1=2+,x2=2﹣;
(2)这里a=2,b=﹣2,c=﹣5,
∵△=8+40=48,
∴x==.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法与配方法,熟练掌握各种解法是解本题的关键.
28.(2015秋•渝北区期末)解方程:
2x2﹣5x+1=0.
【分析】先观察再确定方法解方程,此题采用公式法比较简单.
【解答】解:
∵a=2,b=﹣5,c=1,
∴b2﹣4ac=17,
∴x=,
∴x1=,x2=.
【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法,采用公式法解一元二次方程时,要注意公式的熟练应用.
29.(2015秋•大石桥市期末)解方程:
(1)x2﹣6x﹣6=0
(2)2x2﹣7x+6=0.
【分析】
(1)求出b2﹣4ac的值,代入公式求出即可;
(2)先分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
【解答】解:
(1)x2﹣6x﹣6=0,
b2﹣4ac=(﹣6)2﹣4×1×(﹣6)=60,
x=,
x1=3+,x2=3﹣;
(2)2x2﹣7x+6=0,
(2x﹣3)(x﹣2)=0,
2x﹣3=0,x﹣2=0,
x1=,x2=2.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,主要考查学生能否选择适当的方法解一元二次方程,难度适中.
30.(2015秋•期末)解方程:
2x2+3x﹣1=0.
【分析】找出a,b,c的值,代入求根公式即可求出解.
【解答】解:
这里a=2,b=3,c=﹣1,
∵△=9+8=17,
∴x=.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法,熟练掌握求根公式是解本题的关键.
31.(2011•)解方程:
x2+3x+1=0.
【分析】根据方程的特点可直接利用求根公式法比较简便.
【解答】解:
a=1,b=3,c=1
∴x==.
∴x1=,x2=.
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法,此法适用于任何一元二次方程.方程ax2+bx+c=0(a≠0,且a,b,c都是常数),若b2﹣4ac≥0,则方程的解为x=.
32.(2016春•期末)
(1)解方程:
x2=3(x+1).
(2)用配方法解方程:
x2﹣2x﹣24=0.
【分析】
(1)整理后求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可;
(2)移项,配方,开方,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可.
【解答】解:
(1)整理得:
x2﹣3x﹣3=0,
∵b2﹣4ac=(﹣3)2﹣4×1×(﹣3)=21,
x=,
∴x1=,x2=;
(2)x2﹣2x﹣24=0,
x2﹣2x=24
x2﹣2x+1=24+1,
(x﹣1)2=25,
x﹣1=±5,
x1=6,x2=﹣4.
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用,能选择适当的方法解方程是解此题的关键.
33.(2015秋•校级期末)用公式法解下列方程
2x2+6=7x.
【分析】方程整理为一般形式,找出a,b,c的值,代入求根公式即可求出解.
【解答】解:
方程整理得:
2x2﹣7x+6=0,
这里a=2,b=﹣7,c=6,
∵△=49﹣48=1,
∴x=,
解得:
x1=2,x2=.
【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法,熟练掌握求根公式是解本题的关键.
34.(2014•集美区一模)解方程:
x2+3x﹣2=0.
【分析】求出b2﹣4a
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