中考压轴题的破解策略一道中考题的各种变态解法.docx
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中考压轴题的破解策略一道中考题的各种变态解法
中考压轴题的破解策略(一道中考题的各种变态解法)
原题:
如图1,Rt△ABC中,∠ACB=90º,点D为边AC上一点,DE⊥AB于点E,点M为BD中点,CM的延长线交AB于点F.
(1)求证:
CM=EM;
(2)若∠BAC=50º,求∠EMF的大小;
(3)如图2,若△DAE≌△CEM,点N为CM的中点,求证:
AN∥EM.
本文主要研究第(3)问;
策略一:
利用平行线判定方法
这是解决此题的主要思路,下面主要选取平行线的判定方法中的“同位角相等,两直线平行”进行研究;
就此题而言,由于不止一对“同位角”,都可以进行尝试:
(1)若选择∠NAF与∠MEF作为同位角,因为∠MEF=30º,所以只要证得∠NAF=30º即可,可分直接证法与间接证法,先看直接证法:
方法1:
(解直角三角形)
再看间接证法:
方法2:
(相似法)
此法也可证△APN∽△NPF.
求证某一个角等于30º,解直角三角形法与相似推导法都是基本方法,优点是思路明确,缺点是计算量略大.
(2)若选择∠ANC与∠EMC作为同位角,因为∠EMC=∠AED=90º,所以只要证得∠ANC=90º即可,证也∠ANC=90º可分间接证法与直接证法,间接证法就是证明AN⊥CM,而点N为CM中点,由等腰三角形“三线合一”可得只要证得“AM=AC”即可,下面围绕证明“AM=AC”这一思路提供以下方法:
证“AM=AC”可采用“代数法”与“几何法”,代数法即利用勾股定理等方法将AM与AC用含相同参数的表达式表示出来,几何法:
(1)若两条线段不在同一三角形中,常通过证明全等得出结论;
(2)若两条线段在同一三角形中,可以通过“等角对等边”加以说明.
先看代数法两例:
方法3:
(代数法①)
方法4:
(代数法②)
三角形全等是证明线段相等的最常规办法,可以利用原图或采取构造的方式寻找全等三角形,下面列举几例:
方法5:
(全等法①)
简析:
在△ACE与△MAD中,∵AE=MD,∠AEC=∠MDA=105º,CE=AD,∴△ACE≌△MAD(SAS),∴AC=AM.
方法6:
(全等法②)
简析:
在△AEM与△CMB中,∵AE=CM=EM=MB,∠AEM=∠CMB=150º,∴△AEM≌△CMB(SAS),∴AC=AM.
还有以下几种巧妙构图方式,读者可以自行尝试:
方法7:
(全等法③)
方法8:
(全等法④)
方法9:
(直角三角形斜边中线等于斜边一半)
下面介绍“∠ANC=90º”的直接证法:
方法10:
(相似法)
简析:
证△AFN∽△NFP(过程同方法2,此处省略),∴∠ANF=∠NPF=90º.
如果你觉得以上方法麻烦的话,让我们一起来见识下面这种巧妙构图:
方法11:
(一线三等角全等法)
不难发现,它就是我们常见的异侧型一线三直角模型.还有比这更简单的方法吗?
连接AM后,线段AM、AC位于同一三角形中,“等角对等边”这一方法自然会蹦出脑海,我们何必舍近求远?
请看:
方法12:
(等角对等边)
简析:
如图,∵∠ACM=∠ACE+∠ECM=30º+45º=75º,
∠AMC=∠CME-∠AME=90º-15º=75º,
∴∠ACM=∠AMC,∴AM=AC.
若能将题目中的条件充分挖掘,此法的思路自然是清晰明了、水到渠成.
策略二:
平行于同一条直线的两条直线平行
因为平行于同一条直线的两条直线平行,因此,此题可以构造AN、EM之外的“第三方直线”,通过平行的传递性予以解决.
方法13:
简析:
过点C作CP∥ME交BA延长线于点P,则∠CPE=∠MEF=30º,在△ECP与△DAB中,∵∠CPE=∠ABD=30º,∠CEP=∠ADB=105º,CE=AD,∴△ECP≌△DAB,∴PE=BD=2AE,即点A为PE中点,∴AN为梯形MCPE的中位线,∴AN∥CP∥ME.
此法也可采用倍长EA再证全等或构造母子型相似解决.
策略三:
构造A字型相似
方法14:
策略四:
构造含对边平行的特殊图形
在初中阶段,我们学习了多种含对边平行特征的图形,如:
平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形等,特别是平行四边形类图形只要证得其中一组对边平行,另外一组对边也就平行,此题用这种思路解决甚为巧妙,请看:
方法15:
(构造平行四边形)
简析:
过点N作AB的平行线交EM的延长线于点P,∴∠P=∠MEB=30º,∴PN=2MN=CM=AE,
∵PN∥AE,PN=AE,∴四边形AEPN是平行四边形,∴AN∥EM.
方法16:
(构造矩形)
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