绝对值大全零点分段法化简最值.docx
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绝对值大全零点分段法化简最值
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
绝对值大全(零点分段法、化简、最值)
、去绝对值符号的几种常用方法
解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号,使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式,而后,其解法与一般不等式的解法相同。
因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题尖键
O
1利用定义法去掉绝对值符号
根据实数含绝对值的意义,即|x|=v(^x(xo),有
XC"xc(c0)>cX
x| (co)|x|xR(c0) 2利用不等式的性质去掉绝对值符号 4利用零点分段法去掉绝对值符号 所谓零点分段法,是指: 若数X」X2 分别使含有|x-X1|,|x-X2|,……'|x 中相应绝对值为零,称X2Xn为相应绝对值 的零点,零点X」X2,……,Xn将数轴分为m+1段,利用绝对值的意义化去绝对值符号,得到代数式在各段上的简化式,从而化为不含绝对值符 号的一般不等式来解,即令每项等于零,得到的值作为讨论的分区点,然后再分区间讨论绝对值不等式,最后应求出解集的并集。 零点分段法是解含绝对值符号的不等式的常用解法,这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法,它可以把求解条理化、思路直观化。 5利用数形结合去掉绝对值符号 解绝对值不等式有时要利用数形结合,利用绝 对值的几何意义画出数轴,将绝对值转化为数轴上两点间的距离求解。 数形结合法较为形象、直观,可以使复杂问题简单化,此解法适用于 |xa||xb|m或xa||xb|m(m为正常数)类型不等式。 对|axb| |cxd|m(或Vm)'当|a工c||时一般不用° 、如何化简绝对值 绝对值的知识是初中代数的重要内容,在中考和各类竞赛中经常出现,含有绝对值符号的数学问题又是学生遇到的难点之一,解决这类问题的方法通常是利用绝对值的意义,将绝对值符号化去,将问题转化为不含绝对值符号的问题5确定绝对值符号内部分的正负,借以去掉绝对值符号的方法大致有三种类型。 (-)、根据题设条件 例1: 设化简的结果是() A)(B)(C)(D) _2_x 思路分析: 由可知可化去第一层 绝对值符号,第二次绝对值符号待合并整理后再用同样方法化去• 解: ・•・应选(B)• 归纳点评只要知道绝对值将合内的代数式是正是负或是零,就能根据绝对值意义顺利去掉绝对值符号,这是解答这类问题的常规思路• 二)、借助数轴 例2: 实数a、b、在数轴上的位置如图所示, c则代数式的值等于()・ B)C) D) 思路分析由数轴上容易看出 ,这就为去掉绝对值符号 扫清了障碍• 解: 原式 .•・应选(C)• 归纳点评这类题型是把已知条件标在数轴上,借助数轴提供的信息让人去观察,一定弄清: 1-零点的左边都是负数,右边都是正数• 2•右边点表示的数总大于左边点表示的数• 3•离原点远的点的绝对值较大,牢记这几个要点就能从容自如地解决问题了• 三)、采用零点分段讨论法 例3: 化简 思路分析本类型的题既没有条件限制,又没有数轴信息,要对各种情况分类讨论,可采用零点分段讨论法,本例的难点在于的正负不能确定,由于x是不断变化的,所以它们为正、为负、为零都有可能,应当对各种情况讨论・ 解: 令得零点: ;令得零点: 把数轴上的数分为三个部分(如图) 1当时, /.原式 2当时,, ••・原式 3当时,, /.原式 归纳点评: 虽然的正负不能确定,但在某个具体的区段内都是确定的,这正是零点分段讨论法的优点,采用此法的一般步骤是: 1•求零点: 分别令各绝对值符号内的代数式为零5求出零点(不一定是两个)• 2•分段: 根据第一步求出的零点,将数轴上的点划分为若干个区段,使在各区段内每个绝对值符号内的部分的正负能够确定• 3•在各区段内分别考察问题• 4•将各区段内的情形综合起来,得到问题的答 案• 误区点拨千万不要想当然地把等都当成正数或 无根据地增加一些附加条件,以免得出错误的结果• 三、带绝对值符号的运算 在初中数学教学中,如何去掉绝对值符号? 因为 这一问题看似简单,所以往往容易被人们忽视。 其实它既是初中数学教学的一个重点,也是初中数学教学的一个难点,还是学生容易搞错的问题。 那么,如何去掉绝对值符号呢? 我认为应从以下几个方面着手: (一)、要理解数a的绝对值的定义。 在中学数学教科书中,数a的绝对值是这样定义的,“在数轴上,表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值。 ”学习这个定义应让学生理解,数a的绝对值所表示的是一段距离,那么,不论数a本身 是正数还是负数,它的绝对值都应该是一个非负数。 二)、要弄清楚怎样去求数a的绝对值 从数a的绝对值的定义可知,一个正数的绝对 值肯定是它的本身,一个负数的绝对值必定是它的相反数,零的绝对值就是零。 在这里要让学生重点理解的是,当a是一个负数时,怎样去表示a的相反数(可表示为,以及绝对值符号的双重作用(一是非负的作用,二是括号的作用)。 (三)、掌握初中数学常见去掉绝对值符号的几种题型。 1、对于形如丨a|的一类问题 只要根据绝对值的3个性质,判断出a的3种情况,便能快速去掉绝对值符号。 当a>0时,丨a丨=a(性质1: 正数的绝 对值是它本身) 值是0); (性质3: 负数的绝 当a<0时;Ia|=-a 对值是它的相反数)。 2、对于形如丨a+b|的一类问题 首先要把a+b看作是一个整体,再判断a+b的3种情况,根据绝对值的3个性质,便能快速去掉绝对值符号进行化简。 当a+b>0时,|a+b|=(a+b)=a+b(性质 1: 正数的绝对值是它本身); 当a+b=0时,|a+b|=(a+b)=0(性质 2: 0的绝对值是0); 当a+b<0时,|a+b|=-(a+b)=-a-b(性质3: 负数的绝对值是它的相反数)3、对于形如丨a-b|的一类问题 同样,仍然要把a-b看作一个整体,判断出a-b的3种情况,根据绝对值的3个性质,去掉绝对值符号进行化简。 但在去括号时最容易出现错误。 如何快速去掉绝对值符号,条件非常简单,只要你能判断出a与b的大小即可(不论正负)。 因为丨大■小丨=I小■大 I=大■小,所以当a>b时,Ia-b =(a-b)=a-b|b-aI=(a-b)=a-b。 口诀: 无论是大减小,还是小减大,去掉绝对值,都是大减小O 4、对于数轴型的一类问题, 根据3的口诀来化简,更快捷有效。 如丨a-b 的一类问题,只要判断出a在b的右边(不论 正负),便可得到丨a-b|=(a-b)=a-b,|b-a =(a-b)=a-b5、对于绝对值符号前有正、负号的运算非常简单,去掉绝对值符号的同时,不要忘记打括号。 前面是正号的无所谓,如果是负号,忘记打括号就惨了,差之毫厘失之千里也! 6、对于绝对值号里有三个数或者三个以上数的运 万变不离其宗,还是把绝对值号里的式子看成一 个整体,把它与0比较,大于0直接去绝对值号,小 于0的整体前面加负号。 四、去绝对值化简专题练习 (1)设化简的结果是(B)。 (A)(B)(C)(D) (2)实数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则 代数式的值等于(C)。 A)B)(C)D) 已知,化简的结果是 (3)x-8° (4) 已知,化简的结果是 -x+8。 (5)已知,化简的结果是-3x。 (6)已知a、 b、c、d满足且 那么a+b+c+d=0(提示: 可借 助数轴完成) (7)若,则有(A)。 (A)(B)(C)(D) (8)有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示,则 式子化简结果为 (A)(B)(C)(D) (9)有理数a、b在数轴上的对应点如图所示,那么下列四个式子,中负数的个数是 (A)0(B)1(C)2(D)3 (10)化简= (1)-3x(x<-4) (2)-x+8(-4 (11)设x是实数,下列四个结论中正确的是(D) (A)y没有最小值 (B)有有限多个x使y取到最小值 (C)只有一个x使y取得最小值D)有无穷多个x使y取得最小值 五、绝对值培优教案 绝对值是初中代数中的一个基本概念,是学习 相反数、有理数运算及后续二次根式的基础•绝对值又是初中代数中的一个重要概念,在解代数式化简求值、解方程(组)、解不等(组)、函数中距离等问题有着广泛的应用,全面理解、掌握绝对值这一概念,应从以下方面人手: a(a0) I•绝对值的代数意义: a0(a0) a(a0) 2•绝对值的几何意义从数轴上看, a表示数a的点 到原 点的 距离 度, 非负) ab表示数a、数b的两点间的距离• 3•绝对值基本性质 ①'非负性: aO;②abab;③0);④a2a2a2bb 培优讲解 (-)、绝对值的非负性问题 【例1】若x3y1z50,则xyz。 总结: 若干非负数之和为 0,° (二)、绝对值中的整体思想 【例2】已知a5,b4'且abba'那么 ab= 变式1•若|m—1|=m—1,贝【」m 1|>m—1‘则m1; (三)、绝对值相尖化简问题(零点分段法) 【例3]阅读下列材料并解决有矢问题: xx0 我们知道XOXO,现在我们可以用这一个结论 xx0 来化简含有绝对值的代数式,如化简代数式 称他分别为"与X2的零点值)。 在有理数范 围内,零点值"和X2可将全体有理数分成不重 复且不遗漏的如下3种情况: (1)当^时,原式= x1x22x1; (2)当1x2时5原式=x1x23;(3)当x2 时,原式=X1x22x1° 2x1x1 综上讨论,原式31x2 2x1x2 通过以上阅读,请你解决以下问题: (D分别求出X2和x4的零点值;2)化简代 数式x2x4 变式1•化简 (1)2x1; (2)x1x3; 变式2已知x3x2的最小值是a,x3x2的最大值为 b'求ab的值° (4)、ab表示数轴上表示数八数b的两点间的距 离° 【例4】(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离4与2,3与5,2与6,4与3. 并回答下列各题: (1)你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么矢系吗? 答: —. (2)若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的 数为一1,则A与B两点间的距离 可以表示为 (3)结合数轴求得X2X3的最小值为,取得 最小值时x的取值范围为• (4)满足X1x43的x的取值范围为 (5)若x1x2X3LX2008的值为常数5试求x的取值范围• (五)、绝对值的最值问题 【例5】 (1)当x取何值时,x3有最小值? 这个最小值是多少? (2)当x取何值时,5x2有最大值? 这个最大值是多少? (3)求x4x5的最小值。 (4)求x7x8x9的最小值。 【例6】•已知x1,y15设Mxyy12yx4,求M的最大值 与最小值• 课后练习: 1宀与的)2互为相反数,求3a2b1的值。 2•若“与(ab“ 互为相反数,则a与b的大小尖系是()• D-ab3•已知数轴上的三点A、B、C分别表示有理 数a,1,一|,那么“表示()- A•A、B两点的距离B•A、C两点的距离 C•A、B两点到原点的距离之和D•A、 C两点到原点的距离之和4•利用数轴分析心,可以看出,这个式子表示的是X到2的距离与X到3的距离之 和,它表示两时,发现,这两条线段 条线段相加: ⑴当 的和随X的增大而越来越大;⑵当 X时,发 现,这两条线段的和随X的减小而越来越大;⑶当 ,时,发现,无论X在这个范围取何值,这两条线段的和是一个定值5且比⑴、⑵情况下的值都小。 因此5 总结,"有最小值,即等于到的距离 5.利用数轴分析“,这个式子表示的是X到 7的距离与%到1的距离之差它表示两条线段相 减: ⑴当,时,发现,无论%取何值,这个差值是一个定值;⑵当*时,发现, 无论%取何值,这个差值是一个定值; ⑶当X时,随着X增大,这个差值渐 渐由负变正5在中点处是零。 因此,总结,式子心当X时, 有最大值;当%时,有最小值; ca 9•i殳abc0,abc0,贝[] A--3B-1 D--3或110•若x 2,则小a1 a2 的值是()• C-3或 ;若,,,则 12•设「b、c分别是一个三位数的百位、十位和个位数字,并且abc,则ab⑴可能取得的最 大值是 4、当b为时,5…有最大值5最大值是 当a为__时,1+|a+3|有最小值是 ;当b为 时,|2+b|有最大值是 5♦当a为时,3+|2a—1|有最小值是 且a、b满足|2a—4|+b=1 2♦已知b为正整数, 求a、b的值。 X3;12l2X1 7•化简: (1)xi x3 4、如果2x+|4-5x|+|1-3x|+4恒为常数,求x 的取值范围。 7•冲2|7,求X的取值范围°
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