福建省莆田市普通高中毕业班质量检查理科数学试题 及答案.docx
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福建省莆田市普通高中毕业班质量检查理科数学试题及答案
2017-2018年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷
数学(理科)
本试卷分第
卷(选择题)和第
卷(非选择题)两部分,满分150分.考试时间120分钟.
注意事项:
1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.
3.选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号;非选择题答案使用O.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.
4.保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
参考公式:
样本数据x1,x2,…,xn的标准差锥体体积公式
s=
V=
Sh
其中
为样本平均数其中S为底面面积,h为高
柱体体积公式球的表面积、体积公式
V=Sh
,
其中S为底面面积,h为高其中R为球的半径
第Ⅰ卷(选择题共50分)
一、选择题:
本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.把答案填涂在答题卡相应位置.
1.下列函数中,为奇函数的是()
A.y=x+1B.y=x2C.y=2xD.y=x|x|
2.已知
,复数
(i为虚数单位)在复平面内对应的点为M,则“
”是“点M在第四象限”的()
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
3.若a>0,b>0,a+b=1,则
的最小值是()
A.2B.3C.4D.5
4.函数
图象的一条对称轴方程为()
A.x=-
B.
C.x=
D.x=
5.某几何体的三视图如图所示,其中正视图是腰长为2的等腰三角形,俯视图是半径为1的半圆,则其侧视图的面积是()
A.
B.
C.1D.
6.阅读右图所示的程序框图,运行相应的程序,若输出的
的值等于126,则判断框中的①可以是( )
A.i>4?
B.i>5?
C.i>6?
D.i>7?
7.若直线y=kx-k交抛物线
于A,B两点,且线段AB中点到
轴的距离为3,则
=()
A.12B.10C.8D.6
8.学校将5个参加知识竞赛的名额全部分配给高一年段的4个班级,其中甲班级至少分配2个名额,其它班级可以不分配名额或分配多个名额,则不同的分配方案共有()
A.20种B.24种C.26种D.30种
9.常用以下方法求函数
的导数:
先两边同取以e为底的对数(e≈2.71828…,为自然对数的底数)得
,再两边同时求导,得
,即
.运用此方法可以求函数
(x>0)的导函数.据此可以判断下列各函数值中最小的是()
A.
B.
C.
D.
10.如图,
所在平面上的点
均满足
与
的面积比为3;1,
(其中,
是首项为1的正项数列),则
等于()
A.65B.63C.33D.31
第Ⅱ卷(非选择题,共100分)
二、填空题:
本大题共5小题,每小题4分,共20分.把答案填写在答题卡的相应位置.
11.集合
,
,则
________.
12.某工厂的某种型号的机器的使用年限
和所支出的维修费用
(万元)的统计资料如下表:
6
8
10
12
2
3
5
6
根据上表数据可得y与x之间的线性回归方程
,据此模型估计,该机器使用年限为14年时的维修费用约为万元.
13.向区域
内随机投点,则该点与坐标原点连线的斜率大于1的概率为.
14.已知圆
和双曲线
.若对双曲线
上任意一点A(点A在圆
外),均存在与圆
外切且顶点都在双曲线
上的菱形ABCD,则
___________.
15.定义:
表示不超过
的最大整数.例如
,
.给出下列结论:
①函数
是奇函数;
②函数
是周期为
的周期函数;
③函数
不存在零点;
④函数
的值域是
.
其中正确的是_____________.(填上所有正确命题的编号)
三、解答题:
本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.把答案填在答题卡相应位置.
16.本小题满分13分
已知数列{an}的首项为1,前n项和Sn满足
.
(Ⅰ)求Sn与数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设
(n∈N*),求使不等式
成立的最小正整数n.
17.本小题满分13分
已知函数
经化简后利用“五点法”画其在某一个周期内的图象时,列表并填入的部分数据如下表:
①
0
1
0
-1
0
(Ⅰ)请直接写出①处应填的值,并求函数f(x)在区间
上的值域;
(Ⅱ)
的内角
所对的边分别为
,已知
,
,求
的面积.
18.本小题满分13分
甲、乙两位选手为为备战我市即将举办的“推广妈祖文化·印象莆田”知识竞赛活动,进行针对性训练,近8次的训练成绩如下(单位:
分):
甲 83 81 93 79 78 84 88 94
乙 87 89 89 77 74 78 88 98
(I)依据上述数据,从平均水平和发挥的稳定程度考虑,你认为应派哪位选手参加?
并说明理由;
(II)本次竞赛设置A、B两问题,规定:
问题A的得分不低于80分时答题成功,否则答题失败,答题成功可获得价值100元的奖品,问题B的得分不低于90分时答题成功,否则答题失败,答题成功可获得价值300元的奖品.答题顺序可自由选择,但答题失败则终止答题.选手答题问题A,B成功与否互不影响,且以训练成绩作为样本,将样本频率视为概率,请问在(I)中被选中的选手应选择何种答题顺序,使获得的奖品价值更高?
并说明理由.
19.本小题满分13分
如图,边长为2的正方形ABCD绕AB边所在直线旋转一定的角度(小于
)到ABEF的位置.
(Ⅰ)求证:
CE//平面ADF;
(Ⅱ)若K为线段BE上异于B,E的点,CE=
.设直线AK与平面BDF所成角为
当
时,求BK的取值范围.
20.本小题满分13分
如图,椭圆C:
的离心率e=
,且椭圆C的首项为的短轴长为2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设P,M,N椭圆C上的三个动点.
(
)若直线MN过点D(0,
),且P点是椭圆C的上顶点,求△PMN面积的最大值;
(
)试探究:
是否存在△PMN是以O为中心的等边三角形,若存在,请给出证明;若不存在,请说明理由.
21.本小题满分14分
已知函数f(x)=lnx+
ax2+b(a,b∈R).
(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线为y=-1,求函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)求证:
对任意给定的正数m,总存在实数a,使函数f(x)在区间(m,+∞)上不单调;
(Ⅲ)若点A(x1,y1),B(x2,y2)(x2>x1>0)是曲线f(x)上的两点,试探究:
当a<0时,是否存在实数x0∈(x1,x2),使直线AB的斜率等于
?
若存在,给予证明;若不存在,说明理由.
2017-2018年莆田市高中毕业班教学质量检查试卷
理科数学试题参考解答及评分标准
一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)
1.D 2.A 3.B 4.A 5.B 6.C 7.C 8.A 9.B 10.D
二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)
11.
12.7.5 13.
14.
15.②③④
三、解答题(本大题共6小题,共80分)解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16.本小题主要考查数列、不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分13分.
解:
(Ⅰ)因为
,
所以
是首项为1,公差为1的等差数列,………1分
则
=1+(n-1)1=n,……………2分
从而Sn=n2.…………………3分
当n=1时,a1=S1=1,
当n>1时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.
因为
也符合上式,
所以an=2n-1.…………………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
,……………8分
所以
,……………10分
由
,解得n>12.………………12分
所以使不等式成立的最小正整数为13.……………13分
17.本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差的三角函数、解三角形等基础知识,考查运算求解能力,考查化归与转化思想.满分13分.
解:
(Ⅰ)①处应填入
.………1分
………3分
.………4分
因为T=
,所以
,
,即
.………5分
因为
,所以
,所以
,
从而得到
的值域为
.………7分
(Ⅱ)因为
,又
所以
,
得
,
.………9分
由余弦定理得
,
即
,所以
.………11分
所以
的面积
.………13分
18.本小题主要考查平均数、方差、古典概型、相互独立事件的概率、离散型随机变量分布列、数学期望等基础知识,考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识,考查必然与或然思想、分类与整合思想.满分13分.
解:
(I)记甲、乙两位选手近8次的训练的平均成绩分别为
、
,方差分别为
、
.
,
.………………2分
,
.………………4分
因为
,
,所以甲、乙两位选手的平均水平相当,但甲的发挥更稳定,故应派甲参加.
………………5分
(II)记事件C表示为“甲回答问题A成功”,事件D表示为“甲回答问题B成功”,则P(C)=
P(D)=
且事件C与事件D相互独立.………………6分
记甲按AB顺序获得奖品价值为
,则
的可能取值为0,100,400.
P(
=0)=P(
)=
P(
=100)=P(
)=
P(
=400)=P(
)=
.
即
的分布列为:
0
100
400
P
所以甲按AB顺序获得奖品价值的数学期望
.………………9分
记甲按BA顺序获得奖品价值为
,则
的可能取值为0,300,400.
P(
=0)=P(
)=
P(
=300)=P(
)=
P(
=400)=P(
)=
,
即
的分布列为:
0
300
400
P
所以甲按BA顺序获得奖品价值的数学期望
.………………12分
因为
,所以甲应选择AB的答题顺序,获得的奖品价值更高.………………13分
19.本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识,考查空间想象能力、抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.满分13分.
(Ⅰ)证明:
正方形ABCD中,CD
BA,正方形ABEF中,EF
BA.…………2分
EF
CD,
四边形EFDC为平行四边形,
CE//DF.…………3分
又DF
平面ADF,CE
平面ADF,
CE//平面ADF.…………5分
(Ⅱ)解:
BE=BC=2,CE=
,
,
∆BCE为直角三角形,BE
BC,……………6分
又BE
BA,BC
BA=B,BC、BA
平面ABCD,
BE
平面ABCD.……………7分
以B为原点
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