机械能守恒与能量守恒定律经典习题.docx
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机械能守恒与能量守恒定律经典习题
2011年高考第二轮复习资料姚维明1
专题二机械能守恒与能量守恒
[高考要求]
内容要求
重力势能、做功与重力势能改变的关系Ⅱ
弹性势能Ⅰ
机械能守恒定律Ⅱ
能量守恒定律II
本专题涉及的考点有:
重力势能、弹性势能、机械能守恒定律、能量转化及守恒定律都
是历年高考的必考内容,考查的知识点覆盖面全,频率高,题型全。
机械能守恒定律、能的
转化和守恒定律是力学中的重点和难点,用能量观点解题是解决动力学问题的三大途径之
一。
《考纲》对本部分考点要求为Ⅱ类有三个。
考题的内容经常与牛顿运动定律、曲线运动、动量守恒定律、电磁学等方面知识综合,物理过程复杂,综合分析的能力要求较高,这部分
知识能密切联系生活实际、联系现代科学技术,因此,每年高考的压轴题,
高难度的综合题
经常涉及本专题知识。
它的特点:
一般过程复杂、难度大、能力要求高。
还常考查考生将物
理问题经过分析、推理转化为数学问题,
然后运用数学知识解决物理问题的能力。
所以复习
时要重视对基本概念、
规律的理解掌握,加强建立物理模型、运用数学知识解决物理问题的
能力。
由于新课程标准更注重联系生活、生产实际,更重视能源、环保、节能等问题,因此,
能量的转化及其守恒很有可能在新课程的第一年高考中有所体现,师生们应引起足够的重
视。
[知识体系]
功能关系:
能的转化及
抛体运动
W
=mgh-mgh
G
2
守恒定律
单摆
1
1
2
1
2
弹簧振子
W弹力=
kl1
kl2
E2
E1
2
2
W其它=E2E1
动能:
EK=1mv2
2机械能守恒定律
功机械能
Ek1+Ep1=Ek2+Ep2
重力势能:
EK=mgh
动能定理:
弹性势能:
1
W
1
2
1
2
EP
kl2
合
=
mv2
mv1
2
2
2
第1页共29页
2011年高考第二轮复习资料姚维明2
[知识点拨]
1、机械能守恒定律
机械能守恒的条件:
系统内只有重力(或弹力)做功,其它力不做功(或没有受到其它力作用)
①从做功的角度看,只有重力或弹簧的弹力做功或系统内的弹力做功,机械能守恒。
②从能量的角度看,只有系统内动能和势能的相互转化,没有机械能与其他形式能量之
间的转化,机械能守恒。
机械能守恒的方程:
①初始等于最终:
Ek1Ep1Ek2Ep2
②减少等于增加:
EkEP
用第二种方法有时更简捷。
对机械能守恒定律的理解:
机械能守恒定律是对一个过程而言的,在做功方面只涉及跟重力势能有关的重力做功和
跟弹性势能相关的弹力做功。
在机械能方面只涉及初状态和末状态的动能和势能,而不涉及
运动的各个过程的详细情况;因此,用来分析某些过程的状态量十分简便。
机械能中的势能是指重力势能和弹性势能,不包括电势能和分子势能,这一点要注意。
思维误区警示:
对于一个系统,系统不受外力或合外力为零,并不能保证重力以外其他力不做功,所以系统外力之和为零,机械能不一定守恒,而此时系统的动量却守恒(因为动量守恒的条件是系统的合外力为零)。
同样,只有重力做功,并不意味系统不受外力或合外力为零。
2、能量守恒定律
(1)内容:
能量既不会凭空产生,也不会凭空消失,它只能从一种形式转化为另一种形式,或者从一个物体转移互另一个物体,在转化和转移的过程中其总量保持不变。
(2)对能量守恒定律的理解:
①某种形式的能量减少,一定存在其他形式的能的增加,且减少量和增加量一定相等。
②某个物体的能量减少,一定存在其他物体的能量增加,且减少量和增加量一定相等。
(3)能量转化和转移具有方向性
第二类永动机不可制成,它不违反能量守恒定律,只是违背了能量转化和转移的不可逆
性。
3、各定理、定律对比
适用条件表达式
*动量守系统所受的合P总0=P总t
恒定律外力为零
机械能守
只有重力或弹
E1=E2
恒定律
簧的弹力做功
△EP减=△Ek增
时
能量守恒
均适用
E总1=E总2
定律
△E减=△E增
研究对象备注
一定是两个物体注意动量守恒和机
或两个以上物体械能守恒的条件的
组成的系统区别
一个或多个物体E为机械能
组成的系统
一个或多个物体E为总能量;自然界
组成的系统均遵从能量守恒。
第2页共29页
2011年高考第二轮复习资料姚维明3
4、求各变化量(△Ek、△EP、△E机)的常用方法:
常用方法
求△Ek
ΔEk=EK2-EK1
ΔEk=W合通过求合外力做功求动能的变化量(更常用)
△EP=EP2-EP1
求△EPΔEP=WG=mgΔh通过求重力做功求ΔEP;当WG做正功时,EP减小;当WG做负功时,EP增加(常用)
△E机=E2-E1
求△E机
ΔE机=WG其它通过求除重力以外的其它力做功求机械能的变化量(更常用)
5、重力做功的特点:
WG=EP1-EP2=mgΔh
重力做功与路径无关
重力做正功,重力势能减少,重做负功,重力势能增加
注意:
ΔE和重力做功与参考平面的选择无关(但重力势能与参考平面的选择有关)
P
[专题探究]
(一)利用机械能守恒定律求解抛体运动问题
案例1、从离水平地面高为H的A点以速度v0斜向上抛出一个质量为m的石块,已知v0与水平方向的夹角为θ,不计空气阻力,求:
(1)石块所能达到的最大高度
(2)石块落地时的速度
命题解读:
本题研究抛体运动中的机械能守恒定律。
斜抛运动的水平分运动是匀速直线运动,因此石块在最高点的速度是抛出初速度的水平分量。
石块只受重力的作用,机械能守恒。
分析与解:
石块抛出后在空中运动过程中,只受重力作用,机械
图1
能守恒,作出石块的运动示意图
(1)设石块在运动的最高点B处与抛出点A的竖直高度差为h,水平速度为vB,
则vB=vOx=v0cosθ
石块从A到B,根据机械能守恒定律
Ek减
p增
=E
得:
mgh=1
mv02-
1
mvB2
2
2
联立得:
h
v0
2
(v0cos)2
v0sin
2g
2g
则石块所能达到的(距地面)最大高度为:
H+h=H+v0sin
2g
(2)取地面为参考平面,对石块从抛出点A至落地点C的整个运动过程应用机械能守
恒定律得
1
2
1
2
2
mvC=
2
mv0+mgH
解得石块落地时的速度大小为:
vC=v0
2
2gH
变式训练:
某同学利用如图所示的实验装置验证机械能守恒定律。
弧形轨道末端水平,离地面的高
第3页共29页
2011年高考第二轮复习资料姚维明4
度为H。
将钢球从轨道的不同高度
h处静止释放,钢球的落点距轨道末端的水平距离为
s.
(1)若轨道完全光滑,s2与h的理论关系应满足
s2=
(用H、h表示)。
(2)该同学经实验测量得到一组数据,如下表所示:
请在坐标纸上作出s2--h关系图.。
(3)对比实验结果与理论计算得到的s2--h关系图线(图中已画出),自同一高度静止释
放的钢球,水平抛出的速度(填“小于”或“大于”)理论值.
(4)从s2--h关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率差十分显著,你认为造成上述偏
差的可能原因是.
动能,或者是弧形轨道的摩擦力太大。
解析:
(1)由钢球在弧形槽上运动,机械能守恒:
mgh
1mv2
2
离开弧形槽后,钢球做平抛运动:
水平方向:
v
s,
t
竖直方向:
H
1gt2
2
联立解得:
s2=4Hh
(2)由实验数据作图,得到一条通过原点的斜率比理论图线小的直线。
(3)实验图和理论图比较可以发现,小球从相同高度下落,对应的s实
(4)实验中速率差十分明显,可能是一部分重力势能转变成钢球的转动动能,或者是弧形轨道的摩擦力太大的原因。
(二)利用机械能守恒定律解决弹力做功与弹性势能问题
案例2、如图所示,一个质量为m的物体自高h处自由下落,落在一
个劲度系数为k的轻质弹簧上。
求:
当物体速度达到最大值
v时,弹簧对物
体做的功为多少?
命题解读:
弹簧的弹力是变力,弹力做功是变力做功,
本题由于形变量
不清楚,不能运用F—l图象求弹力做的功;只能根据机械能守恒定律先求
图
解出弹性势能的变化,再运用功能关系求解弹力做的功。
同时要注意物体在
平衡位置时动能最大,运动的速度最大。
分析与解:
在物体与弹簧相互作用的过程中,开始时弹力较小,
故物体向下加速,这时
弹力F逐渐增大,物体的加速度
a逐渐变小,当重力与弹力相等时,物体的速度刚好达到
最大值v。
设物体向下的速度v最大时,弹簧的形变量即压缩量为
x,则
平衡时:
mg=kx
物体与弹簧组成的系统只有重力、弹力做功,故系统的机械能守恒。
当物体速度达到最大v时,弹簧的弹性势能为
Ep,由机械能守恒定律有:
第4页共29页
2011年高考第二轮复习资料姚维明5
1
2+Ep
mg(h+x)=mv
2
(mg)2
-
1
由上面两式可得:
Ep=mgh+
mv2,
k
2
由功能关系可知,弹簧弹性势能的增加量与弹簧力做功的数值相等。
故弹簧对物体所做
1
(mg)2
的功为:
W=-Ep=
mv2-mgh-
2
k
变式训练:
变式1、如图所示的弹性系统中,接触面光滑,
O为弹簧自由伸长状态。
第一次将物体
从O点拉到A点释放,第二次将物体从
O点拉到B点释放,物
体返回到O点时,下列说法正确的是:
(
)
A、弹力做功一定相同
B、到达O点时动能期一定相同
OA
B
C、物体在B点的弹性势能大
D、系统的机械能不守恒
解析:
弹簧的形变不同,弹力做功不同,A错。
弹力做功不同,弹性势能的减少量不同,
由机械能守恒定律知,物体回到O点的动能不同,B错误。
物体在B点形变最大,弹性势
能最大,C正确。
系统只有弹力做功,机械能一定守恒,D错误。
正确答案选C。
变式2、如图,质量为
m1的物体A经一轻质弹簧与下方地面上的质
量为m2的物体B相连,弹簧的劲度系数为
k,
A、B都处于静止状态.
一条不可伸长的轻绳绕过轻滑轮,一端连物体
A
,另一端连一轻挂钩.开
始时各段绳都处于伸直状态,
A
上方的一段绳沿竖直方向.现在挂钩上挂
一质量为m3的物体C并从静止状态释放,已知它恰好能使
B离开地面
但不继续上升.若将C换成另一个质量为(m1+m3)的物体D,仍从上述
初始位置由静止状态释放,则这次
B刚离地时D的速度的大小是多少?
已知重力加速度为g
解析:
开始时,A、B静止,设弹簧压缩量为
x1,有kx1
m1g
挂C并释放后,C向下运动,A向上运动,设
B刚要离地时弹簧伸长量为
x2,
有kx2m2g
B不再上升,表示此时
A和C的速度为零,C已降到其最低点.由机械能守恒,与初始
状态相比,弹簧弹性势能的增加量为
E=m3g(x1x2)m1g(x1
x2)
C换成D后,当B刚离地时弹簧势能的增量与前一次相同,由能量关系得
1
2
1
2
2
(m3
m1)υ
2
m1υ(m3
m1)g(x1x2)m1g(x1x2)E
第5页共29页
2011年高考第二轮复习资料姚维明6
2
联立解得υ=2m1(m1m2)g
(三)利用机械能守恒定律求多个物体组成系统的运动速度问题
案例1、如图所示,质量均为m的小球A、B、C,用两条长为l的细线相连,置于高为
h的光滑水平桌面上,l>h,A球刚跨过桌边.若A球、B球相继下落着地
后均不再反跳,则C球离开桌边时的速度大小是多少?
命题解读:
本题考查系统机械能守恒定律。
对每个小球而言,由于
绳子的拉力做功,每个小球的机械能不守恒。
而且只能分段运用机械能图2
守恒定律求解。
运用动能定理也能求解,但拉力要做功解题就比较麻烦。
分析与解:
当A小球刚要落地时,三小球速度相等设为v1,三个小球机械能守恒。
3mgh
2mgh
1
3mv12
解得:
v1
2gh
2
3
当B球刚要落地时,B、C机械能守恒。
B、C有共同速度,设v2
图
2mgh
12mv12
mgh
12mv22
解得:
v2
5gh
2
2
3
可见:
C球离开桌边时的速度大小是
5gh
v2
3
变式训练:
变式1、半径为R的光滑圆柱体固定在地面上,接,正好处于水平直径的两端,从此位置释放小球,当好为零,求此时M的速度和两小球的质量之比。
解析:
对系统运用机械能守恒定律
Mg1RmgR1(Mm)v2
42
M在最高点时,mgmv2
R
两质量分别是M和m的小球用细线连
m运动到最高点时,对球的压力恰
R
M
m
联立解得:
M
1
m
3
变式2、如图所示,一辆小车静止在光滑的水平导轨上,一个小球用细
绳悬挂在车上由图中位置释放(无初速度)
,则小球在下摆过程中(
)
A.绳对小车的拉力不做功
B.绳对小球的拉力做正功
C.小球的合外力不做功
D.绳对小球的拉力做负功
解析:
由于绳子的拉力对物体做功,每个物体的机械能不守恒。
对系统
没有机械能的能量损失,
因此系统的机械能是守恒的。
小球由静止开始做变
速曲线运动,动能增加,合力做正功,
C错误。
小车在拉力作用下运动,绳子对小车的拉力
做正功,绳子对小球的拉力做负功,
D正确,A、B错误。
正确答案:
D
第6页共29页
2011年高考第二轮复习资料姚维明7
(四)利用机械能守恒定律求解质量分布均匀的绳子、链子问题案例3如图3所示,在光滑水平桌面上,用手拉住长为L质量为M的铁链,使其1/3垂在桌边。
松手后,铁链从桌边滑下,求铁
链末端经过桌边时运动速度是过少?
命题解读:
绳子、铁链子运动的问题,对于每一部分来讲都是变力,运用动能定理难以解决过程中变力做的功。
但运用机械能守恒定律只需要知道绳子的两个运动的状态,不必考虑运动过程,因
此解题就简单了。
此类问题的重力势能要取每部分的中心,要选好参考平面,尽量使解题简捷。
分析与解:
松手后,铁链在运动过程中,受重力和桌面的支持力,支持力的方向与运动方向垂直,对铁链不做功,即这一过程中,只是垂在桌外部分的重力做功。
因此,从松手到铁链离开桌边,铁链的机械能守恒。
以桌面为重力势能参考面
松手时,桌外部分的质量为
1
m,其重心在桌面下
1
L处
3
6
此时铁链的重力势能为:
-
1
mg1
L=-
1
mgL
3
6
18
铁链末端刚离桌面时,整条铁链都在空中,其重心在桌面下
1
L处
1mgL
2
此时铁链的重力势能为:
-
2
设此时铁链的速度为v,由机械能守恒定律有:
1mgL
1mgL
1mv2
18
2
2
解得:
v
2
2gL
3
2
2gL
故铁链末端经过桌边时,铁链的运动速度是
v
3
变式训练:
变式1、如图所示,均匀的铁链子搭在小定滑轮上,
左端占总长的
2/5,现将
铁链由静止释放,当多少?
解析:
选取滑轮中心水平线为参考平面,设绳子总长为
l
根据系统机械能守恒定律:
3mg
3l
2mg1l
mgl
1mv2
5
10
5
5
2
2
解得铁链子刚刚离开滑轮时,链子的运动速度是:
v
3
2gl
5
变式2、如图16所示,游乐列车由许多节车厢组成。
列车全长为
L,圆形轨道半径为
R,(R远大于一节车厢的高度
h和长度l,但L>2πR).已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑
槽中只能使列车沿着圆周运动而不能脱轨。
试问:
列车在水平轨道上应具有多大初速度
v0,才能使列
R
车通过圆形轨道?
v0
第7页共29页图16
2011年高考第二轮复习资料姚维明8
解析:
列车开上圆轨道时速度开始减慢,当整个圆轨道上都挤满了一节节车厢时,列
车速度达到最小值v,此最小速度一直保持到最后一节车厢进入圆轨道,然后列车开始加速。
由于轨道光滑,列车机械能守恒,设单位长列车的质量为λ,则有:
1
Lv02
1
Lv2
2RgR
2
2
要使列车能通过圆形轨道,则必有v>0
解得v02R
g
L
(五)利用机械能守恒定律求解连通器水流速问题
案例5、粗细均匀的U型管两端开口,左端用活塞压着液体,此时两液面的高度差为h,液体的总长度为L,U型管的截面积为s,液体的密度为ρ。
现在突然抽去活塞,
(1)不计阻力影响,当两端液面相平时,液体运动的速度是多少?
(2)若最终液体静止不动,则系统产生的内能是多少?
命题解读:
流体的运动也是“变力”作用的运动,但在一定的位置流体的运动状态是一定的。
研究流体的运动速度,能量问题,最好运用机械能守恒定律和能量转化及守恒定律。
研究的方法是把变质量看作定质量,运用“补偿法”、“等效法”、“整体法”、“对称法”去解决问题。
分析与解:
(1)若不计阻力。
如图所示,当两端液面相平时,可以等效地认为是把高度为h的液体对称地补偿到另一端,看成是定质量问题。
系
2
统重力势能的减少量等于动能的增加量。
即:
hsgh
1
Lsv2
2
2
2
解得两端液面相平时,液体运动的速度是v
gh2
2L
(2)根据能量转化及守恒定律,系统重力势能的减少量等于内能的增加量
所以增加的内能是:
E
hsgh
1gsh2
2
2
4
变式训练:
如图所示,容器A、B各有一个可以自由移动的活塞
活塞截面积
分别为SA、SB,活塞下面是水,上面是空气,大气压恒为P0,A、B底部
与带有阀门K的管道相连,整个装置与外界绝热原先,A中水面比B中
高h,打开阀门,使A中水逐渐流向
B中,最后达平衡,在这个过程中,
大气压对水做功为______,水的内能增加为______(设水的密度为ρ)
解析:
(1)设平衡时,左侧水面下降高度
h,右侧水面下降高度
h,
A
B
两侧体积相等,即:
hAsA
hBsB
左侧大气压对水做正功:
WA
P0hAsA
右侧大气压对水做负功:
WB
P0hBsB
第8页共29页
2011年高考第二轮复习资料姚维明9
大气压对水做的总功为W=WA+WB=0
(2)由能量转化及守恒定律得:
水的内能增加
E
1
gh2SASB
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