高考数学理一轮复习讲义 第8章第4讲 高效演练分层突破.docx
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高考数学理一轮复习讲义第8章第4讲高效演练分层突破
[基础题组练]
1.(2020·河北衡水模拟一)已知m,n为两条不重合直线,α,β为两个不重合平面,下列条件中,α∥β的充分条件是( )
A.m∥n,m⊂α,n⊂βB.m∥n,m⊥α,n⊥β
C.m⊥n,m∥α,n∥βD.m⊥n,m⊥α,n⊥β
解析:
选B.对于A,两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,这两个平面可能平行,也可能相交,因此A中条件不是α∥β的充分条件;对于B,因为m∥n,m⊥α,所以n⊥α,结合n⊥β,知α∥β,因此B中条件是α∥β的充分条件;对于C,由m⊥n,m∥α知n⊂α,或n∥α,或n与α相交,结合n∥β,知α,β可能平行,也可能相交,所以C中条件不是α∥β的充分条件;对于D,由m⊥n,m⊥α知n⊂α,或n∥α,结合n⊥β,知α⊥β,所以D中条件不是α∥β的充分条件.综上可知.选B.
2.(2020·江西红色七校联考)设m,n是空间中两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是( )
A.若m∥n,n⊂α,则m∥α
B.若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n
C.若α∥β,m⊥α,则m⊥β
D.若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β
解析:
选C.若m∥n,n⊂α,则m∥α或m⊂α,所以选项A不正确;若m⊂α,n⊂β,α∥β,则m∥n或m与n异面,所以选项B不正确;若m⊂α,n⊂β,m∥β,n∥α,则α∥β或α与β相交,所以选项D不正确.故选C.
3.(2020·湖南长沙模拟)设a,b,c表示不同直线,α,β表示不同平面,下列命题:
①若a∥c,b∥c,则a∥b;
②若a∥b,b∥α,则a∥α;
③若a∥α,b∥α,则a∥b;
④若a⊂α,b⊂β,α∥β,则a∥b.
其中真命题的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选A.由题意,对于①,根据线线平行的传递性可知①是真命题;对于②,根据a∥b,b∥α,可以推出a∥α或a⊂α,故②是假命题;对于③,根据a∥α,b∥α,可以推出a与b平行,相交或异面,故③是假命题;对于④,根据a⊂α,b⊂β,α∥β,可以推出a∥b或a与b异面,故④是假命题.所以真命题的个数是1.故选A.
4.如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为边AB,AD上的点,且AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又H,G分别为BC,CD的中点,则( )
A.BD∥平面EFGH,且四边形EFGH是矩形
B.EF∥平面BCD,且四边形EFGH是梯形
C.HG∥平面ABD,且四边形EFGH是菱形
D.EH∥平面ADC,且四边形EFGH是平行四边形
解析:
选B.由AE∶EB=AF∶FD=1∶4知EF綊
BD,又EF⊄平面BCD,所以EF∥平面BCD.又H,G分别为BC,CD的中点,所以HG綊
BD,所以EF∥HG且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形.
5.
在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,给出下列四个推断:
①FG∥平面AA1D1D;
②EF∥平面BC1D1;
③FG∥平面BC1D1;
④平面EFG∥平面BC1D1.
其中推断正确的序号是( )
A.①③ B.①④
C.②③ D.②④
解析:
选A.因为在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,所以FG∥BC1,因为BC1∥AD1,所以FG∥AD1,
因为FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D,所以FG∥平面AA1D1D,故①正确;
因为EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交,所以EF与平面BC1D1相交,故②错误;
因为E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,
所以FG∥BC1,因为FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1,
所以FG∥平面BC1D1,故③正确;
因为EF与平面BC1D1相交,所以平面EFG与平面BC1D1相交,故④错误.故选A.
6.在四面体ABCD中,M,N分别是△ACD,△BCD的重心,则四面体的四个面中与MN平行的是________.
解析:
如图,取CD的中点E,连接AE,BE,
则EM∶MA=1∶2,
EN∶BN=1∶2,
所以MN∥AB.
因为AB⊂平面ABD,MN⊄平面ABD,AB⊂平面ABC,MN⊄平面ABC,
所以MN∥平面ABD,MN∥平面ABC.
答案:
平面ABD与平面ABC
7.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于________.
解析:
因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD,平面ABCD∩平面AB1C=AC,
所以EF∥AC,所以点F为DC的中点.
故EF=
AC=
.
答案:
8.如图所示,在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1.(注:
请填上你认为正确的一个条件即可,不必考虑全部可能情况)
解析:
连接HN,FH,FN,则FH∥DD1,HN∥BD,FH∩HN=H,DD1∩BD=D,
所以平面FHN∥平面B1BDD1,只需M∈FH,则MN⊂平面FHN,所以MN∥平面B1BDD1.
答案:
点M在线段FH上(或点M与点H重合)
9.在如图所示的一块木料中,棱BC平行于平面A′B′C′D′.
(1)要经过平面A′B′C′D′内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线?
(2)所画的线与平面ABCD是什么位置关系?
并证明你的结论.
解:
(1)过点P作B′C′的平行线,
交A′B′,C′D′于点E,F,
连接BE,CF.
作图如下:
(2)EF∥平面ABCD.理由如下:
因为BC∥平面A′B′C′D′,
又因为平面B′C′CB∩平面A′B′C′D′=B′C′,
所以BC∥B′C′,因为EF∥B′C′,所以EF∥BC,
又因为EF⊄平面ABCD,BC⊂平面ABCD,
所以EF∥平面ABCD.
10.如图所示,四边形ABCD与四边形ADEF都为平行四边形,M,N,G分别是AB,AD,EF的中点.求证:
(1)BE∥平面DMF;
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明:
(1)如图所示,设DF与GN交于点O,连接AE,则AE必过点O,
连接MO,则MO为△ABE的中位线,
所以BE∥MO.
因为BE⊄平面DMF,MO⊂平面DMF,
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N,G分别为平行四边形ADEF的边AD,EF的中点,
所以DE∥GN.
因为DE⊄平面MNG,GN⊂平面MNG,
所以DE∥平面MNG.
因为M为AB的中点,
所以MN为△ABD的中位线,
所以BD∥MN.
因为BD⊄平面MNG,MN⊂平面MNG,
所以BD∥平面MNG.
因为DE与BD为平面BDE内的两条相交直线,
所以平面BDE∥平面MNG.
[综合题组练]
1.如图,透明塑料制成的长方体容器ABCDA1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:
①没有水的部分始终呈棱柱形;
②水面EFGH所在四边形的面积为定值;
③棱A1D1始终与水面所在的平面平行;
④当容器倾斜如图所示时,BE·BF是定值.
其中正确的个数是( )
A.1B.2
C.3D.4
解析:
选C.由题图,显然①是正确的,②是错的;
对于③因为A1D1∥BC,BC∥FG,
所以A1D1∥FG且A1D1⊄平面EFGH,
所以A1D1∥平面EFGH(水面).
所以③是正确的;
因为水是定量的(定体积V).
所以S△BEF·BC=V,
即
BE·BF·BC=V.
所以BE·BF=
(定值),即④是正确的,故选C.
2.(2020·江西吉安一模)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是A1D1,A1B1的中点,过直线BD的平面α∥平面AMN,则平面α截该正方体所得截面的面积为( )
A.
B.
C.
D.
解析:
选B.如图1,取B1C1的中点E,C1D1的中点F,连接EF,BE,DF,B1D1,则EF∥B1D1,B1D1∥BD,所以EF∥BD,故EF,BD在同一平面内,连接ME,因为M,E分别为A1D1,B1C1的中点,所以ME∥AB,且ME=AB,所以四边形ABEM是平行四边形,所以AM∥BE,又因为BE⊂平面BDFE,
AM⊄平面BDFE,
所以AM∥平面BDFE,同理AN∥平面BDFE,因为AM∩AN=A,
所以平面AMN∥平面BDFE,
BD=
,EF=
B1D1=
,DF=BE=
,等腰梯形BDFE如图2,
过E,F作BD的垂线,垂足分别为G,H,则四边形EFGH为矩形,所以FG=
=
=
,
故所得截面的面积为
×
×
=
,故选B.
3.在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N,Q分别是棱D1C1,A1D1,BC的中点,点P在BD1上且BP=
BD1.则以下四个说法:
①MN∥平面APC;
②C1Q∥平面APC;
③A,P,M三点共线;
④平面MNQ∥平面APC.
其中说法正确的是________(填序号).
解析:
①连接MN,AC,则MN∥AC,连接AM,CN,
易得AM,CN交于点P,即MN⊂平面APC,所以MN∥平面APC是错误的;
②由①知M,N在平面APC上,由题易知AN∥C1Q,AN⊂平面APC,
所以C1Q∥平面APC是正确的;
③由①知A,P,M三点共线是正确的;
④由①知MN⊂平面APC,
又MN⊂平面MNQ,
所以平面MNQ∥平面APC是错误的.
答案:
②③
4.如图所示,正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a,点P是棱AD上一点,且AP=
,过B1,D1,P的平面交底面ABCD于PQ,Q在直线CD上,则PQ=________.
解析:
因为平面A1B1C1D1∥平面ABCD,而平面B1D1P∩平面ABCD=PQ,平面B1D1P∩平面A1B1C1D1=B1D1,
所以B1D1∥PQ.
又因为B1D1∥BD,所以BD∥PQ,
设PQ∩AB=M,因为AB∥CD,
所以△APM∽△DPQ.
所以
=
=2,即PQ=2PM.
又知△APM∽△ADB,
所以
=
=
,
所以PM=
BD,又BD=
a,
所以PQ=
a.
答案:
a
5.如图,在四棱锥PABCD的底面ABCD中,BC∥AD,且AD=2BC,O,E分别为AD,PD的中点.
(1)设平面PAB∩平面PCD=l,请作图确定l的位置并说明你的理由;
(2)若Q为直线CE上任意一点,证明:
OQ∥平面PAB.
解:
(1)分别延长AB和DC交于点R,连接PR,则直线PR就是l的位置;
R∈AB⊂平面PAB,R∈CD⊂平面PCD,
所以P、R是平面PAB和平面PCD的两个公共点,
由公理1可知,过P、R的直线就是两个平面的交线l.
(2)证明:
连接OE、OC,因为BC∥AD,且BC=
AD,
又AO=
AD,所以BC∥AO,
且BC=AO,所以四边形ABCO为平行四边形,
所以OC∥AB,则OC∥平面PAB;
又OE为△PAD的中位线,则OE∥AP,
所以OE∥平面PAB,
又OE⊂平面OEC,OC⊂平面OEC,且OE∩OC=O,
所以平面PAB∥平面OEC,
又OQ⊂平面OEC,
所以OQ∥平面PAB.
6.如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形.
(1)证明:
平面A1BD∥平面CD1B1;
(2)若平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,证明B1D1∥l.
证明:
(1)由题设知BB1綊DD1,
所以四边形BB1D1D是平行四边形,
所以BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1,
B1D1⊂平面CD1B1,
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1綊B1C1綊BC,
所以四边形A1BCD1是平行四边形,
所以A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1,
D1C⊂平面CD1B1,
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B=B,
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由
(1)知平面A1BD∥平面CD1B1,
又平面ABCD∩平面B1D1C=直线l,
平面ABCD∩平面A1BD=直线BD,
所以直线l∥直线BD,
在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,四边形BDD1B1为平行四边形,
所以B1D1∥BD,
所以B1D1∥l.
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