专题02 垂线人教版七年级下册数学常考题专练解析版.docx

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专题02垂线人教版七年级下册数学常考题专练解析版

专题02垂线

★知识归纳

垂线

1．垂线的定义：

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．

要点梳理：

（1）记法：

直线a与b垂直，记作：

；

直线AB和CD垂直于点O，记作：

AB⊥CD于点O.

（2）垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：

CD⊥AB．

2．垂线的画法：

过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线（如图所示）．

要点梳理：

（1）如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．

（2）过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．

3．垂线的性质：

（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．

（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：

垂线段最短．

要点梳理：

（1）性质

（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．

（2）性质

（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．

4．点到直线的距离：

定义：

直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．

要点梳理：

（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；

（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．

★实操夯实

一．选择题（共11小题）

1．如图，在一张透明的纸上画一条直线l，在l外任取一点Q并折出过点Q且与l垂直的直线．这样的直线能折出（　　）

A．0条B．1条C．2条D．3条

【解答】解：

根据垂线的性质，这样的直线只能作一条，

故选：

B．

2．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（　　）

A．A点B．B点C．C点D．D点

【解答】解：

根据垂线段最短可得：

应建在A处，

故选：

A．

3．如图，若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，则下列结论必定成立的是（　　）

A．CD＞ADB．AC＜BCC．BC＞BDD．CD＜BD

【解答】解：

若AC⊥BC于C，CD⊥AB于D，得

BC＞BD，BC＞CD，AC＞AD，AC＞CD，AB＞AC，AB＞BC，

故选：

C．

4．点P是直线l外一点，A、B、C为直线l上的三点，PA＝4cm，PB＝5cm，PC＝2cm，则点P到直线l的距离（　　）

A．小于2cmB．等于2cmC．不大于2cmD．等于4cm

【解答】解：

∵根据点到直线的距离为点到直线的垂线段（垂线段最短），

2＜4＜5，

∴点P到直线l的距离小于等于2，即不大于2，

故选：

C．

5．如图，立定跳远比赛时，小明从点A起跳落在沙坑内B处，这次小明的跳远成绩是4.6米，则小明从起跳点到落脚点之间的距离是（　　）

A．大于4.6米B．等于4.6米C．小于4.6米D．不能确定

【解答】解：

∵根据跳远成绩为距离起跳线最近的点到起跳线的距离，即垂线段的长，

又∵垂线段最短，

∴小明从起跳点到落脚点之间的距离大于4.6米，

故选：

A．

6．如图，O为直线AB上一点，OE平分∠BOC，OD⊥OE于点O，若∠BOC＝80°，则∠AOD的度数是（　　）

A．70°B．50°C．40°D．35°

【解答】解：

∵OD⊥OE于点O，

∴∠DOE＝90°，

∴∠AOD+∠BOE＝90°，

∵OE平分∠BOC，∠BOC＝80°，

∴∠BOE＝40°，

∴∠AOD＝50°．

故选：

B．

7．如图，直线BC与MN相交于点O，AO⊥BC，OE平分∠BON，若∠EON＝20°，则∠AOM的度数为（　　）

A．40°B．50°C．60°D．70°

【解答】解：

∵OE平分∠BON，

∴∠BON＝2∠EON＝40°，

∴∠COM＝∠BON＝40°，

∵AO⊥BC，

∴∠AOC＝90°，

∴∠AOM＝90°﹣∠COM＝90°﹣40°＝50°．

故选：

B．

8．如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路，过点A作AH⊥PQ于点H，沿AH修建公路，这样做的理由是（　　）

A．两点之间，线段最短

B．垂线段最短

C．过一点可以作无数条直线

D．两点确定一条直线

【解答】解：

∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，

∴过点A作AH⊥PQ于点H，这样做的理由是垂线段最短．

故选：

B．

9．如图，直线AB、CD相交于点O，OD平分∠BOF，OE⊥CD于O，若∠EOF＝α，下列说法①∠AOC＝α﹣90°；②∠EOB＝180°﹣α；③∠AOF＝360°﹣2α，其中正确的是（　　）

A．①②B．①③C．②③D．①②③

【解答】解：

∵OE⊥CD于O，∠EOF＝α，

∴∠DOF＝α﹣90°，

∵OD平分∠BOF，

∴∠BOD＝∠FOD，

∵∠AOC＝∠BOD，

∴∠AOC＝∠FOD，

∴∠AOC＝α﹣90°，①正确；

∴∠BOE＝180°﹣∠COE﹣∠AOC＝180°﹣90°﹣（α﹣90°）＝180°﹣α，②正确；

∴∠AOF＝180°﹣∠AOC﹣∠DOF＝180°﹣（α﹣90°）﹣（α﹣90°）＝360°﹣2α，③正确；

故选：

D．

10．已知直线AB，CB，l在同一平面内，若AB⊥l，垂足为B，CB⊥l，垂足也为B，则符合题意的图形可以是（　　）

A．

B．

C．

D．

【解答】解：

根据题意可得图形

，

故选：

C．

11．下列生活实例中，数学原理解释错误的一项是（　　）

A．从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：

在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线

B．两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：

两点之间线段最短

C．把一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：

两点确定一条直线

D．从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：

连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

【解答】解：

A、从一条河向一个村庄引一条最短的水渠，其中数学原理是：

垂线段最短，故原命题错误；

B、两个村庄之间修一条最短的公路，其中的数学原理是：

两点之间线段最短，正确；

C、一个木条固定到墙上需要两颗钉子，其中的数学原理是：

两点确定一条直线，正确；

D、从一个货站向一条高速路修一条最短的公路，其中的数学原理是：

连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确．

故选：

A．

二．填空题（共5小题）

12．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，P为直线AB上一动点，连PC，则线段PC的最小值是　

　．

【解答】解：

在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AB＝10，

∵当PC⊥AB时，PC的值最小，

此时：

•AB•PC＝

•AC•BC，

∴PC＝

，

故答案为

．

13．如图，直线AB与直线CD相交于O点，EO⊥AB，∠EOD＝25°，则∠AOC＝　65°　．

【解答】解：

∵EO⊥AB，

∴∠AOE＝90°，

∴∠AOC＝180°﹣25°﹣90°

＝155°﹣90°

＝65°，

故答案为：

65°．

14．自来水公司为某小区A改造供水系统，如图沿路线AO铺设管道和BO主管道衔接（AO⊥BO），路线最短，工程造价最低，根据是　垂线段最短　．

【解答】解：

根据是：

直线外一点与直线上各点连接而得到的所有线段中，垂线段最短．

故答案为：

垂线段最短．

15．如图，直线AB，CD相交于O，OE⊥AB，O为垂足，∠COE＝34°，则∠BOD＝　56　度．

【解答】解：

∵OE⊥AB，∠COE＝34°，

∴∠BOD＝90°﹣∠COE＝90°﹣34°＝56°．

故答案为：

56．

16．如图，已知AB⊥CD，垂足为点O，直线EF经过O点，若∠1＝55°，则∠COE的度数为　125　度．

【解答】解：

∵∠1＝55°，

∴∠COE＝180°﹣55°＝125°．

故答案为：

125．

三．解答题（共2小题）

17．如图，已知AC⊥AB，ED⊥AB，垂足为A、D，∠CAF＝80°．

求∠DGF的度数．

【解答】解：

∵AC⊥AB，ED⊥AB，

∴AC∥DE，

∴∠GAC＝∠EGF＝80°，

∴∠DGF＝180°﹣∠EGF＝180°﹣80°＝100°．

18．如图，直线AB、CD相交于O点，∠AOC与∠AOD的度数比为4：

5，OE⊥AB，OF平分∠DOB，求∠EOF的度数．

【解答】解：

∵∠AOC与∠AOD的度数比为4：

5，

∴∠AOC＝180°×

＝80°，∠AOD＝180°×

＝100°，

∵OE⊥AB，OF平分∠DOB，

∴∠EOD＝10°，∠DOF＝

×80°＝40°，

∴∠EOF的度数为：

10°+40°＝50°．