高中函数图像大全.docx

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高中函数图像大全

指数函数

概念：

一般地，函数y=a^x（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R。

注意：

⒈指数函数对外形要求严格，前系数要为1，否则不能为指数函数。

⒉指数函数的定义仅是形式定义。

指数函数的图像与性质：

规律：

1.当两个指数函数中的a互为倒数时，两个函数关于y轴对称，但这两个函数都不具有奇偶性。

2.当a>1时，底数越大，图像上升的越快，在y轴的右侧，图像越靠近y轴；

当0

在y轴右边“底大图高”；在y轴左边“底大图低”。

3.四字口诀：

“大增小减”。

即：

当a>1时，图像在R上是增函数；当0

4.指数函数既不是奇函数也不是偶函数。

比较幂式大小的方法：

1.当底数相同时，则利用指数函数的单调性进行比较；

2.当底数中含有字母时要注意分类讨论；

3.当底数不同，指数也不同时，则需要引入中间量进行比较；

4.对多个数进行比较，可用0或1作为中间量进行比较

底数的平移：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f（X）后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

对数函数

1.对数函数的概念

由于指数函数y=ax在定义域（-∞，+∞）上是单调函数，所以它存在反函数，

我们把指数函数y=ax（a>0，a≠1的）反函数称为对数函数，并记为y=logax（a>0，a≠1）.

因为指数函数y=ax的定义域为（-∞，+∞），值域为（0，+∞），所以对数函数y=logax的定义域为（0，+∞），值域为（-∞，+∞）.

2.对数函数的图像与性质

对数函数与指数函数互为反函数，因此它们的图像对称于直线

y=x.据此即可以画出对数函数的图像，并推知它的性质.

为了研究对数函数y=logax（a>0，a≠1的）性质，我们在同一直角坐标系中作出函数

y=log2x，

由草图，再结合指数函数的图像和性质，可以归纳、分析出对数

函数y=logax（a>0，a≠1的）图像的特征和性质.见下表.

图

象

a>1

a<1

性

质

（1）x>0

（2）当x=1时，y=0

（3）当x>1时，y>0

0

（3）当x>1时，y<0

00

（4）在（0，+∞）上是增函数

（4）在（0，+∞）上是减函数

补

充性质

设y1=logaxy2=logbx其中a>1，b>1（或0

当x>1时“底大图低”即若a>b则y1>y2

当0b，则y1>y2

比较对数大小的常用方法有：

（1）若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断.

（2）若底数为同一字母，则按对数函数的单调性对底数进行分类讨论.

（3）若底数不同、真数相同，则可用换底公式化为同底再进行比较.

（4）若底数、真数都不相同，则常借助1、0、-1等中间量进行比较.

3.指数函数与对数函数对比

名称

指数函数

对数函数

一般形

式

y=ax（a>0，a≠1）

y=logax（a>0，a≠1）

定义域

（-∞，+∞）

（0，+∞）

值域

（0，+∞）

（-∞，+∞）

当a>1时，

当a>1时

函

1（x0）

0（x1）

ax1（x0）

logax0（x1）

数

1（x0）

0（x1）

值

当0

当0

变

1（x0）

0（x1）

ax1（x0）

logax0（x1）

化

1（x0）

0（x1）

情

况

单调性

当a>1时，ax是增函数；当0

当a>1时，logax是增函数；当0

图像

y=ax的图像与y=logax的图像关于直线y=x对称.

幂函数

幂函数的图像与性质

幂函数yxn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法．熟练掌握yxn，当n2,1,1,1,3的图像和性质，列表如下．

23

从中可以归纳出以下结论：

①它们都过点1,1，除原点外，任何幂函数图像与坐标轴都不相交，任何幂函数图像都不过第四象限．

②a1,1,1,2,3时，幂函数图像过原点且在0,上是增函数．

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③a21,1,2时，幂函数图像不过原点且在0,上是减函数．④任何两个幂函数最多有三个公共点．

n

yx

yx

2yx

3yx

1

yx2

1yx

定义域

R

R

R

x|x0

x|x0

奇偶性

奇

奇

奇

非奇非

偶

奇

在第Ⅰ象限的增

减性

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象

限单调递增

在第Ⅰ象限单调递增

在第Ⅰ象限单调递减

幂函数yx（xR，是常数）的图像在第一象限的分布规律是：

①所有幂函数yx（xR，是常数）的图像都过点（1,1）；

1

1,2,3,

②当2时函数yx的图像

都过原点（0,0）；

3当1时，yx的的图像在第一象限是第一象限的平分线（如c2）；

4当2,3时，yx的的图像在第一象限是“凹型”曲线（如c1）1c

5当2时，yx的的图像在第一象限是“凸型”曲线（如c3）

6当1时，yx的的图像不过原点（0,0），且在第一象限是“下滑”

线（如c4）当0时，幂函数yx有下列性质：

（1）图象都通过点（0,0）,（1,1）；

（2）在第一象限内都是增函数；

（3）在第一象限内，1时，图象是向下凸的；01时，图象是

向上凸的；

（4）在第一象限内，过点（1,1）后，图象向右上方无限伸展。

当0时，幂函数yx有下列性质：

（1）图象都通过点（1,1）；

（2）在第一象限内都是减函数，图象是向下凸的；

（3）在第一象限内，图象向上与y轴无限地接近；向右无限地与x轴无限地接近；

（4）在第一象限内，过点（1,1）后，越大，图象下落的速度越快。

无论取任何实数，幂函数yx的图象必然经过第一象限，并

且一定不经过第四象限

对号函数

b

函数yaxx（a>0,b>0）叫做对号函数，因其在（0，+∞）

x

的图象似符号“√而”得名，利用对号函数的图象及均值不等式，当x>0

时，axb2b（当且仅当axb即xb时取等号），由此可得函数

xaxa

yaxb（a>0,b>0,x∈R+）的性质:

x

当xb时，函数yaxb（a>0,b>0,x∈R+）有最小值2b，

axa

特别地，当a=b=1时函数有最小值2。

函数yaxb（a>0,b>0）在区x

间（0，b）上是减函数，在区间（b，+∞）上是增函数。

aa

因为函数yaxb（a>0,b>0）是奇函数，所以可得函数yaxbxx（a>0,b>0,x∈R-）的性质：

当xb时，函数yaxb（a>0,b>0,x∈R-）有最大值-2b，

axa特别地，当a=b=1时函数有最大值-2。

函数yaxb（a>0,b>0）在区

间（-∞，-ba）上是增函数，在区间（-ba，0）上是减函