高考数学二轮复习名师知识点总结集合与常用逻辑用语.docx

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高考数学二轮复习名师知识点总结集合与常用逻辑用语

集合与常用逻辑用语

　1.本讲在高考中主要考查集合的运算、充要条件的判定、含有一个量词的命题的真假判断与否定，常与函数、不等式、三角函数、立体几何、解析几何、数列等知识综合在一起考查.2.试题以选择题、填空题方式呈现，考查的基础知识和基本技能，题目难度中等偏下．

1．集合的概念、关系与运算

（1）集合中元素的特性：

确定性、互异性、无序性，求解含参数的集合问题时要根据互异性进行检验．

（2）集合与集合之间的关系：

A⊆B，B⊆C⇒A⊆C，空集是任何集合的子集，含有n个元素的集合的子集数为2n，真子集数为2n－1，非空真子集数为2n－2.

（3）集合的运算：

∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB），∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（∁UA）＝A.

2．四种命题及其关系

四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，遇到复杂问题正面解决困难的，采用转化为反面情况处理．

3．充分条件与必要条件

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．

4．简单的逻辑联结词

（1）命题p∨q，只要p，q有一真，即为真；命题p∧q，只有p，q均为真，才为真；綈p和p为真假对立的命题．

（2）命题p∨q的否定是（綈p）∧（綈q）；命题p∧q的否定是（綈p）∨（綈q）．

5．全称量词与存在量词

“∀x∈M，p（x）”的否定为“∃x0∈M，綈p（x0）”；“∃x0∈M，p（x0）”的否定为“∀x∈M，綈p（x）”.

考点一　集合间的关系及运算

例1　

（1）已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中所含元素的个数为（　　）

A．3B．6C．8D．10

（2）设函数f（x）＝lg（1－x2），集合A＝{x|y＝f（x）}，B＝{y|y＝f（x）}，则图

中阴影部分表示的集合为（　　）

A．[－1,0]B．（－1,0）

C．（－∞，－1）∪[0,1）D．（－∞，－1]∪（0,1）

弄清“集合的代表元素”是解决集合问题的关键．

答案　

（1）D　

（2）D

解析　

（1）∵B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，x－y∈A}，A＝{1,2,3,4,5}，

∴x＝2，y＝1；x＝3，y＝1,2；x＝4，y＝1,2,3；x＝5，y＝1,2,3,4.

∴B＝{（2,1），（3,1），（3,2），（4,1），（4,2），（4,3），（5,1），（5,2），（5,3），（5,4）}，

∴B中所含元素的个数为10.

（2）因为A＝{x|y＝f（x）}＝{x|1－x2>0}＝{x|－1

所以B＝{y|y＝f（x）}＝{y|y≤0}，

A∪B＝（－∞，1），A∩B＝（－1,0]，

故图中阴影部分表示的集合为（－∞，－1]∪（0,1）．

（1）对于集合问题，抓住元素的特征是求解的关键，要注意集合中元素的三个特征的应用，要注意检验结果．

（2）对于给出已知集合，进行交集、并集与补集运算时，可以直接根据它们的定义求解，也可以借助数轴、韦恩（Venn）图等图形工具，运用分类讨论、数形结合等思想方法，直观求解．

（1）（·山东）已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y|x∈A，y∈A}中元素的个数是（　　）

A．1B．3C．5D．9

（2）设全集U＝R，集合P＝{x|y＝ln（1＋x）}，集合Q＝{y|y＝

}，则

右图中的阴影部分表示的集合为（　　）

A．{x|－1

B．{x|－1

C．{x|x<0，x∈R}

D．{x|x>－1，x∈R}

答案　

（1）C　

（2）B

解析　

（1）x－y∈

.

（2）由1＋x>0得x>－1，即P＝{x|x>－1}；Q＝{y|y≥0}，因此结合题意得，题中的阴影部分表示的集合是P∩（∁RQ）＝{x|－1

考点二　四种命题与充要条件

例2　

（1）已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是（　　）

A．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3

B．若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2<3

C．若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2≥3

D．若a2＋b2＋c2≥3，则a＋b＋c＝3

（2）设x，y∈R，则“x2＋y2≥9”是“x>3且y≥3”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

（1）从“否命题”的形式入手，但要注意“否命题”与“命题的否定”的区别．

（2）结合图形与性质，从充要条件的判定方法入手．

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）命题的否命题是原命题的条件与结论分别否定后组成的命题，所以A正确．

（2）如图：

x2＋y2≥9表示以原点为圆心，3为半径的圆上及圆外的点，

当x2＋y2≥9时，x>3且y≥3并不一定成立，当x＝2，y＝3时，x2＋y2≥9，

但x>3且y≥3不成立；而x>3且y≥3时，x2＋y2≥9一定成立，故选

B.

一个命题的否命题、逆命题、逆否命题是根据原命题适当变更条件和结论后得到的形式上的命题，解这类试题时要注意对于一些关键词的否定，如本题中等于的否定是不等于，而不是单纯的大于、也不是单纯的小于．进行充要条件判断实际上就是判断两个命题的真假，这里要注意断定一个命题为真需要进行证明，断定一个命题为假只要举一个反例即可．

（1）（A·天津）设x∈R，则“x>

”是“2x2＋x－1>0”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

（2）给出以下三个命题：

①若ab≤0，则a≤0或b≤0；

②在△ABC中，若sinA＝sinB，则A＝B；

③在一元二次方程ax2＋bx＋c＝0中，若b2－4ac<0，则方程有实数根．

其中原命题、逆命题、否命题、逆否命题全都是真命题的是（　　）

A．①B．②C．③D．②③

答案　

（1）A　

（2）B

解析　

（1）不等式2x2＋x－1>0的解集为

，故由x>

⇒2x2＋x－1>0，但2x2＋x－1>0D⇒/x>

，故选A.

（2）在△ABC中，由正弦定理得sinA＝sinB⇔a＝b⇔A＝B.故选B.

考点三　逻辑联结词、全称量词和存在量词

例3　

（1）（A·湖北）命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（　　）

A．任意一个有理数，它的平方是有理数

B．任意一个无理数，它的平方不是有理数

C．存在一个有理数，它的平方是有理数

D．存在一个无理数，它的平方不是有理数

（2）已知命题p：

抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－

；命题q：

若函数f（x＋1）为偶函数，则f（x）关于x＝1对称．则下列命题是真命题的是（　　）

A．p∧qB．p∨（綈q）

C．（綈p）∧（綈q）D．p∨q

答案　

（1）B　

（2）D

解析　

（1）通过否定原命题得出结论．

原命题的否定是“任意一个无理数，它的平方不是有理数”．

（2）命题p：

抛物线y＝2x2的准线方程为y＝－

，所以命题p是假命题．

命题q：

将函数f（x＋1）的图象向右平移1个单位得到f（x）的图象，所以函数f（x）的图象关于x＝1对称，故命题q是真命题．所以p∨q为真．

（1）全称命题（特称命题）的否定是其全称量词改为存在量词（或存在量词改为全称量词），并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论；而命题的真假可以先分清命题的构成，然后通过真值表直接判断．

（2）若利用某些条件直接判定或探求有困难时，往往可以将条件进行等价转化．若是由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．

（1）（·课标全国Ⅰ）已知命题p：

∀x∈R,2x<3x；命题q：

∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是（　　）

A．p∧qB．綈p∧q

C．p∧綈qD．綈p∧綈q

（2）已知命题p：

“∀x∈[1,2]，x2－a≥0”，命题q：

“∃x0∈R，x

＋2ax0＋2－a＝0”．若命题“（綈p）∧q”是真命题，则实数a的取值范围是（　　）

A．a≤－2或a＝1B．a≤2或1≤a≤2

C．a>1D．－2≤a≤1

答案　

（1）B　

（2）C

解析　

（1）当x＝0时，有2x＝3x，不满足2x<3x，∴p：

∀x∈R,2x<3x是

假命题．

如图，函数y＝x3与y＝1－x2有交点，即方程x3＝1－x2有解，

∴q：

∃x∈R，x3＝1－x2是真命题．

∴p∧q为假命题，排除A.

∵綈p为真命题，

∴綈p∧q是真命题．选B.

（2）命题p为真时a≤1；“∃x0∈R，x

＋2ax0＋2－a＝0”为真，即方程x2＋2ax＋2－a＝0有实根，故Δ＝4a2－4（2－a）≥0，解得a≥1或a≤－2.（綈p）∧q为真命题，即綈p真且q真，即a>1.

1．解答有关集合问题，首先正确理解集合的意义，准确地化简集合是关键；其次关注元素

的互异性，空集是任何集合的子集等问题，关于不等式的解集、抽象集合问题，要借助

数轴和韦恩图加以解决．

2．判断充要条件的方法，一是结合充要条件的定义；二是根据充要条件与集合之间的对应关系，把命题对应的元素用集合表示出来，根据集合之间的包含关系进行判断，在以否定形式给出的充要条件判断中可以使用命题的等价转化方法．

3．含有逻辑联结词的命题的真假是由其中的基本命题决定的，这类试题首先把其中的基本命题的真假判断准确，再根据逻辑联结词的含义进行判断．

4．一个命题的真假与它的否命题的真假没有必然的联系，但一个命题与这个命题的否定是互相对立的、一真一假的.

1．已知集合A＝{z∈C|z＝1－2ai，a∈R}，B＝{z∈C||z|＝2}，则A∩B等于（　　）

A．{1＋

i,1－

i}B．{

－i}

C．{1＋2

i,1－2

i}D．{1－

i}

答案　A

解析　A∩B中的元素同时具有A，B的特征，问题等价于|1－2ai|＝2，a∈R，解得a＝±

.故选A.

2．下列命题中正确的是（　　）

A．若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为真命题

B．“sinα＝

”是“α＝

”的充分不必要条件

C．l为直线，α，β为两个不同的平面，若l⊥β，α⊥β，则l∥α

D．命题“∀x∈R,2x>0”的否定是“∃x0∈R,2x0≤0”

答案　D

解析　对A，只有当p，q全是真命题时，p∧q为真；对B，sinα＝

⇒α＝2kπ＋

或2kπ＋

，k∈Z，故“sinα＝

”是“α＝

”的必要不充分条件；对C，l⊥β，α⊥β⇒l∥α或l⊂α；对D，全称命题的否定是特称命题，故选D.

3．若集合A＝{x|x2－x－2<0}，B＝{x|－2

A．a>－2B．a≤－2

C．a>－1D．a≥－1

答案　C

解析　A＝{x|－1

B＝{x|－2

如图所示：

∵A∩B≠∅，∴a>－1.

（推荐时间：

40分钟）

一、选择题

1．（·课标全国Ⅰ）已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，n∈A}，则A∩B等于（　　）

A．{1,4}B．{2,3}C．{9,16}D．{1,2}

答案　A

解析　∵x＝n2，n∈A，∴x＝1,4,9,16.

∴B＝{1,4,9,16}．

∴A∩B＝{1,4}，故选A.

2．（A·安徽）命题“存在实数x，使x>1”的否定是（　　）

A．对任意实数x，都有x>1

B．不存在实数x，使x≤1

C．对任意实数x，都有x≤1

D．存在实数x，使x≤1

答案　C

解析　利用特称命题的否定是全称命题求解．

“存在实数x，使x>1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选C.

3．（·福建）已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　a＝3时A＝{1,3}，显然A⊆B.

但A⊆B时，a＝2或3.所以A正确．

4．（·湖北）已知全集为R，集合A＝

，B＝

，则A∩∁RB等于（　　）

A．{x|x≤0}

B．{x|2≤x≤4}

C．{x|0≤x<2或x>4}

D．{x|0

答案　C

解析　A＝{x|x≥0}，B＝{x|2≤x≤4}

∴A∩∁RB＝{x|x≥0}∩{x|x>4或x<2}

＝{x|0≤x<2或x>4}．

5．已知集合P＝{0，m}，Q＝{x|2x2－5x<0，x∈Z}，若P∩Q≠∅，则m等于（　　）

A．1B．2

C．1或

D．1或2

答案　D

解析　由于Q＝{x|2x2－5x<0，x∈Z}＝{x|0

，x∈Z}＝{1,2}，而P＝{0，m}且P∩Q≠∅，故m＝1或2.故选D.

6．（·陕西）设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的（　　）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　C

解析　由|a||b||cos〈a，b〉|＝|a||b|，则有cos〈a，b〉＝±1.

即〈a，b〉＝0或π，所以a∥b.由a∥b，得向量a与b同向或反向，所以〈a，b〉＝0或π，所以|a·b|＝|a||b|.

7．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{2,4,6,8}，定义集合A×B＝{（x，y）|x∈A，y∈B}，则集合A×B中属于集合{（x，y）|logxy∈N}的元素个数是（　　）

A．3B．4C．8D．9

答案　B

解析　由给出的定义得A×B＝{（1,2），（1,4），（1,6），（1,8），（2,2），（2,4），（2,6），（2,8），（3,2），（3,4），（3,6），（3,8），（4,2），（4,4），（4,6），（4,8）}．其中log22＝1，log24＝2，log28＝3，log44＝1，因此一共有4个元素，故选B.

8．已知p：

∃x∈R，mx2＋2≤0，q：

∀x∈R，x2－2mx＋1>0，若p∨q为假命题，则实数m的取值范围是（　　）

A．[1，＋∞）B．（－∞，－1]

C．（－∞，－2]D．[－1,1]

答案　A

解析　∵p∨q为假命题，∴p和q都是假命题．

由p：

∃x∈R，mx2＋2≤0为假命题，

由綈p：

∀x∈R，mx2＋2>0为真命题，

∴m≥0.①

由q：

∀x∈R，x2－2mx＋1>0为假命题，

得綈q：

∃x∈R，x2－2mx＋1≤0为真命题，

∴Δ＝（－2m）2－4≥0⇒m2≥1⇒m≤－1或m≥1.②

由①和②得m≥1，故选A.

9．设平面点集A＝

，B＝{（x，y）|（x－1）2＋（y－1）2≤1}，则A∩B所表示的平面图形的面积为（　　）

A.

πB.

πC.

πD.

答案　D

解析　借助图形，数形结合求解．

由题意知A∩B所表示的平面图形为图中阴影部分，曲线y＝

与直线y＝x将圆（x－1）2＋（y－1）2＝1分成S1，S2，S3，S4四部

分．

∵圆（x－1）2＋（y－1）2＝1与y＝

的图象都关于直线y＝x对称，

从而S1＝S2，S3＝S4，而S1＋S2＋S3＋S4＝π，

∴S阴影＝S2＋S4＝

.

10．给出下列命题：

①∀x∈R，不等式x2＋2x>4x－3均成立；

②若log2x＋logx2≥2，则x>1；

③“若a>b>0且c<0，则

>

”的逆否命题；

④若p且q为假命题，则p，q均为假命题．

其中真命题是（　　）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

答案　A

解析　①中不等式可表示为（x－1）2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log2x＋

≥2，得x>1；③中由a>b>0，得

<

，而c<0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p且q为假只能得出p，q中至少有一个为假，④不正确．

二、填空题

11．（A·天津）已知集合A＝{x∈R||x＋2|<3}，集合B＝{x∈R|（x－m）（x－2）<0}，且A∩B＝（－1，n），则m＝________，n＝________.

答案　－1　1

解析　A＝{x|－5

B＝{x|（x－m）（x－2）<0}，所以m＝－1，n＝1.

12．已知R是实数集，M＝{x|

<1}，N＝{y|y＝

＋1}，则N∩（∁RM）＝________.

答案　[1,2]

解析　M＝{x|

<1}＝{x|x<0或x>2}，

N＝{y|y＝

＋1}＝{y|y≥1}，

∁RM＝{x|0≤x≤2}，

∴N∩（∁RM）＝{x|1≤x≤2}＝[1,2]．

13．设p：

<0，q：

0

答案　（2，＋∞）

解析　p：

02.

14．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k－1D∈/A，且k＋1D∈/A，那么称k是A的一个“孤立元”，给定S＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．

答案　6

解析　所求不含“孤立元”的集合中的元素必是连续三个整数，故有{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}共6个．

15．给出下列四个命题：

①命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”的逆否命题；

②“∃x0∈R，使得x

－x0>0”的否定是：

“∀x∈R，均有x2－x<0”；

③命题“x2＝4”是“x＝－2”的充分不必要条件；

④p：

a∈{a，b，c}，q：

{a}⊆{a，b，c}，p且q为真命题．

其中真命题的序号是________．（填写所有真命题的序号）

答案　①④

解析　对①，因命题“若α＝β，则cosα＝cosβ”为真命题，

所以其逆否命题亦为真命题，①正确；

对②，命题“∃x0∈R，使得x

－x0>0”的否定应是：

“∀x∈R，均有x2－x≤0”，故②错；

对③，因由“x2＝4”得x＝±2，

所以“x2＝4”是“x＝－2”的必要不充分条件，故③错；

对④，p，q均为真命题，由真值表判定p且q为真命题，故④正确．

16．对于集合M、N，定义：

M－N＝{x|x∈M且xN}，MN＝（M－N）∪（N－M）．设A＝{y|y＝x2－3x，x∈R}，B＝{x|y＝log2（－x）}，则AB＝________.

答案　（－∞，－

）∪[0，＋∞）

解析　A＝{y|y≥－

}，B＝{x|x<0}，A－B＝{x|x≥0}，B－A＝{x|x<－

}，

则AB＝（A－B）∪（B－A）＝（－∞，－

）∪[0，＋∞）．