高中微积分基本知识.docx
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高中微积分基本知识
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高中微积分基本知识
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高中微积分基本知识
极限与连续
数列的极限
数列
定义:
按着正整数的顺序排列起来的无穷多个数
叫数列,记作,并吧每个数叫做数列的项,第n个数叫做数列的第n项或通项
界的概念:
一个数列,若,对,都有,则称是有界的:
若不论有多大,总,,则称是无界的
若,则称为的下界,称为的上界
有界的充要条件:
既有上界,又有下界
数列极限的概念
定义:
设为一个数列,为一个常数,若对,总,当时,有
则称是数列的极限,记作或
数列有极限时,称该数列为收敛的,否则为发散的
几何意义:
从第项开始,的所有项全部落在点的邻域
数列极限的性质
①唯一性②收敛必有界③保号性:
极限大小关系数列大小关系(时)
函数的极限
1.定义:
两种情形
①:
设在点处的某去心邻域内有定义,为常数,若对,,当时,恒有成立,则称在时有极限
记作或
几何意义:
对,,当时,介于两直线
单侧极限:
设在点处的右侧某邻域内有定义,为常数,若对,,当时,恒有成立,称在处有右极限,
记作或
的充要条件为:
=
垂直渐近线:
当时,为在处的渐近线
②:
设函数在上有定义,为常数,若对,当时,有成立,则称在时有极限,记作
或
的充要条件为:
水平渐进线:
若或,则是的水平渐近线
2.函数极限的性质:
①唯一性②局部有界性③局部保号性(②③在当时成立)
极限的运算法则
四则运算法则
设、的极限存在,则
①
②
③(当时)
④(为常数)
⑤(为正整数)
复合运算法则
设,若,则
可以写成(换元法基础)
四、极限存在准则及两个重要极限
1.极限存在准则
①夹逼准则
设有三个数列,,,满足
,则
②单调有界准则
有界数列必有极限
重要极限
①②或
五、无穷大与无穷小
1.无穷小:
在自变量某个变化过程中,则称为x在该变化过程中的无穷小
※若,则为x在所有变化过程中的无穷小
若,则不是无穷小
性质:
1.有限个无穷小的代数和为无穷小
2.常量与无穷小的乘积为无穷小
3.有限个无穷小的乘积为无穷小
4.有极限的量与无穷小的乘积为无穷小
5.有界变量与无穷小的乘积为无穷小
定理:
的充要条件是,其中为x在该变化中过程中的无穷小
无穷小的比较:
(趋于0的速度的大小比较)
,为同一变化过程中的无穷小
若(常数)则是的同阶无穷小(当时为等价无穷小)
若(常数)则是的k阶无穷小
若则是的高阶无穷小
常用等价无穷小:
();
;;
2.无穷大:
设函数在的某去心邻域内有定义。
若对于,当时,恒有
称当时为无穷大,记作
定理:
(下:
趋于某点,去心邻域不为0)
无穷大的乘积为无穷大,其和、差、商不确定
六、连续函数
1.定义
设函数在某邻域有定义,若对,当时,恒有:
也可记作或
(或)为左(或右)连续
2.函数的间断点
第一类间断点:
左右极限存在
第二类间断点:
无穷间断点,震荡间断点等
3.连续函数的运算
若函数与都在处连续,则函数
,,()
定理:
,,若在处连续,在处连续,则在处连续
闭区间连续函数的性质
最值定理:
在上连续,则,对一切有
②介值定理:
在上连续,对于与之间的任何数,至少一点,
导数
一、导数的概念
定义:
设函数在点的某邻域有定义,如果极限
存在,则称函数在点可导,极限值为函数在点处的导数,记为
单侧导数:
设函数在点处的左侧有定义,若极限
存在,则称此极限为函数在点处的左导数,记为,类似有右导数
导函数:
函数在某区间上可导,则
性质:
①函数在点处可导的充要条件
②可导连续
导数的几何意义:
函数点处的切线斜率
二、求导法则
1.函数的和、差、积、商的求导法则
定理:
若都在x处可导,则函数在x处也可导,且
定理:
若都在x处可导,则函数在x处也可导,且
推论:
若都在x处可导,则函数在x处也可导,且
定理:
若都在x处可导,则函数在x处也可导,且
2.反函数的求导法则
定理:
设函数在上单调可导,它的值域为,而,则其反函数在区间上可导,并且有
复合函数的求导法则
定理:
若函数在可导,函数在点可导,则复合函数在处可导
或(连锁规则)
三、高阶导数
定义:
若函数的导数仍可导,则导数为的二阶导数,记作,类似的,有n阶导数
四、隐函数求导
对于,或,若求
求导法:
方程两侧对x求导
微分法:
方程两侧求微分
公式法:
,将方程化成=0,将F看成关于x,y的二元函数,分别对x,y求偏导
五、参数方程所确定的函数求导
,
导数公式
基本函数:
导数运算法则:
高阶导数
※1.
2.,需补充条件在处可导或该极限存在
第三章、微分
一、微分的概念
定义:
设函数在某区间上有定义,,若可表示为
(其中A与无关),则称为y在处的微分,记作
※的区别:
当y为自变量时,
当y为因变量时,,,为y的线性主部
定理:
对于一元函数,
性质:
一阶微分形式不变性,对于高阶微分
二、微分的几何意义
“以直代曲”
三、微分中值定理
①有限增量定理:
②法则:
型未定式定值法:
在的某去心邻域有定义,且,在的某去心邻域可导,且
,则有
,,,,,类似
四、函数的单调性与极值
1.单调性:
定理:
设函数在上连续,在上可导,则
2.极值
定义:
设函数在点某邻域有定义,若对该邻域内一切x都有
则是函数的一个极大值,点为函数的一个极大值点。
(极小值类似)
函数取得极值的一阶充分条件
函数在点去心邻域可导,且在处可导或导数不存在,则:
①当时,,时,,则是极大值
②当时,,时,,则是极小值
③无论还是,总有(或),则不是极值
函数取得极值的二阶充分条件
函数在点处具有二阶导数,且,,则
①若,则是极小值
②若,则是极大值
第四章、不定积分
一、不定积分的概念和性质
1.原函数与不定积分
原函数:
设在上有定义,若对,都有
或
则称为在上的一个原函数
原函数存在定理:
若函数在上连续,则在上可导函数,对,都有。
即连续函数一定有原函数
不定积分:
设使的一个原函数,C为任意常数,称为的不定积分,记作
几何意义:
积分曲线族
2.不定积分的性质:
①积分运算与微分运算为互逆运算
②
③
二、换元积分法
1.第一类换元积分法
定理:
设有原函数,且具有连续导数,则有原函数
2.第二类换元积分法
定理:
设连续,具有连续导数,且,则
,其中
三、分部积分法
四、有理函数的积分
1.简单有理函数的积分
①将真分式分解为部分分式之和
对于形式:
应分解成k个部分分式
对于:
应分解成个部分分式
②求4种积分
,,,
其中,对于,可令,
则,再利用递推法
2.三角函数有理式的积分
万能变换:
,,
其他方法:
一、
二、与
对于令
对于令
三、与为偶数
对于令
对于令
四、
当n,m至少有一个为奇数时,可利用将其转化
当n,m均为偶数时,利用2倍角转化
五、
令解出A,B
原函数为
积分表
()
第五章、定积分
一、定积分的定义
定义:
设函数在上有界,在内任意插入n-1个分点
把分成n个小区间,().记,在第个区间上任取一点,用乘上区间长度,即,并作和.
记,无论怎么分割,无论怎么取,若时,趋于同一极限,则称此极限为在上的定积分.记作
可积定理:
①函数在上连续
②函数在上有界,且仅有有限个第一类间断点
③函数在上单调有界
二、定积分的性质
①②
③区间可加性
④⑤单调性:
若上则
⑥
⑦估值性质:
设,分别为在上的最大值与最小值,则
⑧定积分中值定理:
若在上连续,则在区间上至少存在一点,
⑨在上的平均值为
⑩若为奇函数,;若为偶函数
⑾
为周期函数,
三、微积分学基本定理
1.变上限函数
定理:
若在上连续,则变上限函数可导,
2.原函数存在定理
若在上连续,则函数是在上的一个原函数
3.Newton-Leibniz公式
(微积分基本定理)在上连续,是在上一个原函数
则
※若不满足连续条件,可分段积分
四、定积分换元法
定理:
设函数在上连续,函数满足:
①在上单调,值域为,
②在上具有连续导数
则有:
五、定积分的分部积分法
类似不定积分
六、广义积分
1.无穷区间上的广义积分
设函数上连续,任取,若极限
存在
则称此极限为函数在无穷区间上的广义积分,记作
类似定义上的广义积分
对于,令,为常数
2.无界函数的广义积分
设函数在上连续,而,取,如果极限
存在
则称此极限为函数在上的广义积分,记作
类似可定义b为无穷间断点时的广义积分
3.函数
含参变量的广义积分
称为函数
性质:
①
②当,
③余元公式:
④令,令得
七、定积分的应用
1.求面积
2.求体积
①旋转体:
旋转轴为,
②平行截面面积为已知的立体体积:
平行截面是x的函数,
3.求弧长
①对于,
②参数方程,
③极坐标,
※为奇函数,则为偶函数;为偶函数,则中仅为奇函数
为周期函数,则为周期函数;为周期函数,且则为周期函数
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