最新高等数学下复旦大学出版习题十答案详解优秀名师资料.docx
- 文档编号:28898949
- 上传时间:2023-07-20
- 格式:DOCX
- 页数:63
- 大小:491.47KB
最新高等数学下复旦大学出版习题十答案详解优秀名师资料.docx
《最新高等数学下复旦大学出版习题十答案详解优秀名师资料.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《最新高等数学下复旦大学出版习题十答案详解优秀名师资料.docx(63页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
最新高等数学下复旦大学出版习题十答案详解优秀名师资料
高等数学下_复旦大学出版_习题十答案详解
习题十
21.根据二重积分性质,比较与的大小,其中:
ln()dxy,,[ln()]dxy,,,,,,DD
(1)D表示以(0,1),(1,0),(1,1)为顶点的三角形;
(2)D表示矩形区域.{(,)|35,02}xyxy,,,,
解:
(1)区域D如图10-1所示,由于区域D夹在直线x+y=1与x+y=2之间,显然有
图10-1
12,,,xy
从而0ln()1,,,xy
2故有ln()[ln()]xyxy,,,
2所以ln()d[ln()]dxyxy,,,,,,,,,DD
(2)区域D如图10-2所示.显然,当时,有.(,)xyD,xy,,3
图10-2从而ln(x+y)>1
2故有ln()[ln()]xyxy,,,
2所以ln()d[ln()]dxyxy,,,,,,,,,DD
2.根据二重积分性质,估计下列积分的值:
(1);IxyDxyxy,,,,,,,4d,{(,)|02,02},,,D
22
(2);IxyDxyxy,,,,,,sinsind,{(,)|0,π,0π},,D
2222(3).IxyDxyxy,,,,,,(49)d,{(,)|4},,,D
解:
(1)因为当(,)xyD,时,有,02,,y02,,x
206
因而.04,,xy
从而2422,,,xy故2d4d22d,,,,,,xy,,,,,,DDD
即2d4d22d,,,,,,xy,,,,,,DDD
而(为区域D的面积),由=4σσd,,,,,D
得.84d82,,,xy,,,D
22
(2)因为,从而0sin1,0sin1,,,,xy
220sinsin1,,xy
22故0dsinsind1d,,,,,xy,,,,,,DDD
22即0sinsindd,,,xy,,,,,,,DD
2而,,π
222所以0sinsind,,xy,π,,D
22(3)因为当时,所以(,)xyD,04,,,xy
22229494()925,,,,,,,xyxy
22故9d(49)d25d,,,,,,,xy,,,,,,DDD
22即9(49)d25,,,,,,,xy,,D
2而,,,,π24π
22所以36π,,,,(49)d100xy,π,,D
3.根据二重积分的几何意义,确定下列积分的值:
22222
(1)()d,{(,)|};axyDxyxya,,,,,,,,D
222222
(2)axyDxyxya,,,,,d,{(,)|}.,,,D
22解:
(1)在几何上表示以D为底,以z轴为轴,以(0,0,a)为顶点的圆锥的体积,所以()d,axy,,,,,D
207
1223axya,,,,()dπ,,D3
222
(2)在几何上表示以原点(0,0,0)为圆心,以a为半径的上半球的体积,故axy,,d,,,D
22223axya,,,,dπ.,,D3
12224.设f(x,y)为连续函数,求.fxyDxyxxyyr,,,,,,lim(,)d,{(,)|()()}00,,2Dr,0rπ
解:
因为f(x,y)为连续函数,由二重积分的中值定理得,使得,,(,),,,D
2fxyfrf(,)d(,),,,,,,,,,,π(,),,D
又由于D是以(x)为圆心,r为半径的圆盘,所以当时,,y(,)(,),,,,xyr,00000
112fxyrff,,,,,,,,lim(,)dlimπ(,)lim(,)22,,Drrr,,,000rrππ于是:
,ffxylim(,)(,),,00,,,xy(,)(,)00
5.画出积分区域,把化为累次积分:
fxy(,)d,,,D
(1);Dxyxyyxy,,,,,,{(,)|1,1,0}
2
(2)Dxyyxxy,,,,{(,)|2,}
2(3)Dxyyyxx,,,,{(,)|,2,2}x
解:
(1)区域D如图10-3所示,D亦可表示为.yxyy,,,,,,11,01
11,y所以fxyyfxyx(,)dd(,)d,,,,,,Dy01,
22
(2)区域D如图10-4所示,直线y=x-2与抛物线x=y的交点为(1,-1),(4,2),区域D可表示为.yxyy,,,,,,2,12
图10-3图10-4
22y,所以fxyyfxyx(,)dd(,)d,,2,,,,Dy,1
22(3)区域D如图10-5所示,直线y=2x与曲线的交点(1,2),与x=2的交点为(2,4),曲线与x=2的交点为(2,1),区域Dy,y,xx
208
2可表示为,,,,yxx2,12.x
图10-5
22x所以.fxyxfxyy(,)dd(,)d,,2,,,,D1x
6.画出积分区域,改变累次积分的积分次序:
22yelnx
(1);
(2);d(,)dyfxyxd(,)dxfxyy2,,,,0y10
πsinx132,y(3);(4);d(,)dxfxyyd(,)dyfxyxx,,,,,0sin0y2
1233yy,(5).d(,)dd(,)dyfxyyyfxyx,,,,,0010
2解:
(1)相应二重保健的积分区域为D:
如图10-6所示.02,2.,,,,yyxy
图10-6
xD亦可表示为:
04,.,,,,xyx2
224yx所以d(,)dd(,)d.yfxyxxfxyy,x2,,,,00y2
(2)相应二重积分的积分区域D:
1e,0ln.,,,,xyx如图10-7所示.
图10-7
209
yD亦可表示为:
01,ee,,,,,yx
eln1ex所以d(,)dd(,)dxfxyyyfxyx,y,,,,100e
(3)相应二重积分的积分区域D为:
如图10-8所示.01,32,,,,,,yyxy
图10-8D亦可看成D与D的和,其中12
2D:
01,0,,,,,xyx1
1D:
13,0(3).,,,,,xyx22
12,,yxx13213(3)2所以.d(,)dd(,)dd(,)dyfxyxxfxyyxfxyy,,,,,,,,y00010
x(4)相应二重积分的积分区域D为:
如图10-9所示.0,,,,,xyxπ,sinsin.2
图10-9D亦可看成由D与D两部分之和,其中12
D:
,,,,,10,2arcsinyyxπ;1
D:
01,arcsin,,,,,yyxyπarcsin.2
πsin0xyπ1π,arcsin所以d(,)dd(,)dd(,)dxfxyyyfxyxyfxyx,,x,,,,,,0sin12arcsin0arcsin,,,yy2
(5)相应二重积分的积分区域D由D与D两部分组成,其中12
D:
01,02,,,,,yxyD:
13,03.,,,,,yxy12
如图10-10所示.
210
图10-10
xD亦可表示为:
02,3;,,,,,xyx2
123323yyx,,所以d,dd(,)dd(,)dyfxyxyfxyxxfxyy,,,,x,,,,,,0010027.求下列立体体积:
2222
(1)旋转抛物面z=x+y,平面z=0与柱面x+y=ax所围;
222
(2)旋转抛物面z=x+y,柱面y=x及平面y=1和z=0所围.
解:
(1)由二重积分的几何意义知,所围立体的体积
2222V=其中D:
{(,)|}xyxyax,,()ddxyxy,,,D
22由被积函数及积分区域的对称性知,V=2,()ddxyxy,,,D1
其中D为D在第一象限的部分.利用极坐标计算上述二重积分得1
acos,πππacos,11334444222.Vrrraa,,,,,,,,2dd2dcosdπ,,,,000042320
(2)由二重积分的几何意义知,所围立体的体积
22Vxyxy,,()dd,,,D
2其中积分区域D为xOy面上由曲线y=x及直线y=1所围成的区域,如图10-11所示.
图10-11
2D可表示为:
,,,,11,1.xxy
112222所以Vxyxyxxyy,,,,()ddd()d2,,,,Dx,1
11111188,,23246xyyxxxxx,,,,,,,d()d.,,,,,,112333105,,x
8.计算下列二重积分:
211
2x1
(1)dd,:
12,;xyDxyx,,,,,,2Dyx
x
y2
(2)D由抛物线y=x,直线x=0与y=1所围;edd,xy,,D
22(3)D是以O(0,0),A(1,-1),B(1,1)为顶点的三角形;xyxy,dd,,,D
.(4)cos()dd,{(,)|0xyxyDxyxxy,,,,,,π,π},,D
x222222xxxx3解:
(1)ddddddxyxyxxxx,,,,,,,1,,,,,,22111Dyyy1xx
2119,,42,,,xx.,,424,,1
(2)积分区域D如图10-12所示.
图10-12
2D可表示为:
01,0.,,,,yxy
xxx2211yyxyyy所示edddedded()xyyxyy,,,,,,,,0000Dy
2yx1111yyy,,,,,yyyyyyyyed(e1)dedd,,,,00000
1111111yyy2,,,,,,yyyyyydedeed.,,,0000220(3)积分区域D如图10-13所示.
212
图10-13D可表示为:
01,.,,,,,xxyx
x211x,,xyy222222所以ddddarcsindxyxyxxyyxyx,,,,,,,,,,,,,,00Dx22x,,,x
11ππ1π23,,,,xxxd.,022360
ππππ(4)cos()dddcos()d[sin()]dxyxyxxyyxyx,,,,,x,,,,,Dx00
ππ,,,,,,[sin(πxxxxxx)sin2]d(sinsin2)d,,00
π11,,,,.coscos2xx,,,2,,209.计算下列二次积分:
1ysinx
(1)dd;yx,,0yxyy1yy1xx2
(2)dedded.yxyx,111,,,,y224
sinx解:
(1)因为求不出来,故应改变积分次序。
dx,x
积分区域D:
0?
y?
1,y?
x?
,如图10-14所示。
y
图10-14
2D也可表示为:
0?
x?
1,x?
y?
x.
所以
213
111yxsinsinsinxxx2dddd()dyxxyxxx,,,2,,,,,000yxxxx
111,,,,(sinsin)dsindsindxxxxxxxxx,,,000
111,,,,,,,sindcosd1sin1.xxxxxxcos0,,00
yx
(2)因为求不出来,故应改变积分次序。
积分区域D分为两部分,其中edx,
1111DyxyDyyxy:
,:
1,.,,,,,,,,124222
如图10-15所示:
图10-15
积分区域D亦可表示为:
12,,,,xxyx1,.2
于是:
xyyy1yyyx111xxx2xdeddeddeddyxyxxyx,,,xe11111,,,,,,2,yx222224x113eee1x2xx,,,,,,(ee)dxxx,,x1xee,1,182222210.在极坐标系下计算二重积分:
222222
(1)sindd,;xyxyD,,,,(,)|xyxyπ,,,4π,,D
2222,,()xy
(2)D为圆=1所围成的区域;xy,edd,xy,,D
x2222arctandd,(3)D是由=4,=1,及直线y=0,y=x所围成的在第一象限内的闭区域;xyxy,xy,,,Dy
22(4)D是由曲线=x+y所包围的闭区域。
xy,()dd,xyxy,,,D
解:
(1)积分区域D如图10-16所示:
214
图10-16D亦可采用极坐标表示为:
π?
r?
2π,0?
θ?
2π所以
2π2π22sindddsindxyxyrrr,,,,,,,D0π2π2,,,,,,2π6π.rrrcossin,π
(2)积分区域D可用极坐标表示为:
0?
r?
1,0?
θ?
2π.所以:
2π1122221,,,,,,xyrr()2xyrrr,,,,,,eddded2ed(),,,,,,,,D000,,2
11,,2,r,,,,π.1,,,,e0e,,(3)积分区域D如图10-17所示.
图10-17D可用极坐标表示为:
π0?
θ?
1?
r?
2.4
所以:
π2x4arctanddarctan(cot)dd,,,xyrr,,,,D01yπ239ππ,,4,,d.,,,,,,0264,,2(4)积分区域D如图10-18所示,
215
图10-18D可用极坐标表示为:
π3π,,,,,,,,,,0cossinr44
所以:
3π,cossin,,24()ddd(cossin)dxyxyrr,,,,,,π,,,,D0,4
cossin,3π,,3r4,d(cossin),,π,,,,3043π144,,(cossin)dπ,,,,,34
3π4ππ,,44,,sind.,,,π,,,,32,,4411.将下列积分化为极坐标形式,并计算积分值:
222aaxxax,2222
(1)d()d;
(2)dd;xxyyxxyy,,,,,,0000
122,xaay,122222(3)d()d;(4)dd.xxyyyx,,,xy,2,,,,x000
解:
(1)积分区域D如图10-19所示.
图10-19D亦可用极坐标表示为:
π,,,,,,0,02cosra2
所以:
2cosa,ππ24,2a22cosaxxa,r22322d()dddd,,,,,xxyyrr,,,,,0000040π31π344442,,,,,,4cosd4π.aaa,,,04224
216
(2)积分区域D如图10-20所示.
图10-20D可用极坐标表示为:
π,,,,,,0,0secra4
于是:
asec,πππ33asecxa,ar2223444dddddsecd,,,,,,,,xxyyrr,,,,,,00000033033πaa4,,,,,,sectanln(sectan).,,,,,,2ln(21),,,,066
(3)积分区域D如图10-21所示.
图10-21D也可用极坐标表示为:
π.,,,,,,,0,0sectanr4
于是:
1ππ,x,,1sectan2,22144d()dddsectandxxyyrrr,,,,,,,,2,,,,,x0000π4,,,sec21,0(4)积分区域D如图10-22所示.
图10-22D可用极坐标表示为:
π,,,,,0,0ra2
217
于是:
aπ224,aayaππr22342,,,,,,yxyxrrad()ddd.,,,,00002840*12.作适当坐标变换,计算下列二重积分:
22
(1),其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所围平面区域;xyxydd,,D
222
(2)dd,{1};xyD,,,(,)xyy,,xy,x,,D
12,x22(3)令x=v,x+y=u;d()d,xxyy,,,01,x
2222xy,,xy(4)dd,:
1;xyD,,,,,,,2222Dabab,,
2222(5)dd,;xyD,xy,,9(,)xyxy,,4,,,,D
2222(6)dd,.xyD,xy,,4(,)xyxyy,,2,,,,D
解:
(1)积分区域D如图10-23所示:
图10-23
y令xy=u,,则,vx
uxyuvuv,,,,,,,,(24,13)v
111vvu,,,xx,,2,(,)1xy22uvuv,,uvJ,,,,.,,yy,(,)2uvvvu
,uv22uvuv于是:
4333411281u2222,,,,,,xyxyuuvvuuddddddln3.vln,,,,,,D12vv223231,,2u24,,v13
(2)积分区域D如图10-24所示。
218
图10-24令x+y=u,x-y=v,则
uvuv,,xy,,,22
1,-1?
v?
1.且-1?
u?
11
(,)1xy22J,,,,11,(,)2uv,22于是:
4224211uuvv,,21224224()ddddd
(2)dxyxyuvuuuvvv,,,,,,,,,,,11D,,88,,,11u11,,,v
111112121,,,,423542,,dduuuvuvvuu,,,,,,,,,,11,,843535,,,,,1
1114121,,53,,.uuu,,,,445595,,1,(3)积分区域D:
0?
x?
1,1-x?
y?
2-xxy
令x=v,x+y=u,则y=u-v
积分区域D变为D:
xyuv
0?
v?
1,1?
u?
2.
01,(,)xy且J,,,,111,,(,)uv
于是
2,x121211,,2222223xxyyvvuvuuvd()dd(22)dd,,,,,vuvuu,,2,,,,,,,,x010103,,11137237,,,,232v,,,d.vvvvv,,,,23,,,,,023323,,,,0
(4)令x=arcosθ,y=brsinθ则积分区域D变为
D:
0?
θ?
2π,0?
r?
1,rθ
aarcossin,,,,(,)xyJabr,,,bbrsincos,(,)r,,,
219
于是:
1222π111,,xy,,234,,,xyrabrrabrrabdddddd2,,,,,πabr,,,,,,,,,22,,DD00r,2,,4ab,,0
(5)令x=rcosθ,y=rsinθ.即作极坐标变换,
则D变为:
0?
r?
3,0?
θ?
2π.
于是:
2π32222ddddddxyrrrr,,,,xy,,4rr,,44,,,,,,DD00
2333,,,,2π(4)d(4)drrrrrr,,,,,02,,
23,,4111,,,,2442,,2ππ.,22rrrr,,,,,,,,2,,,,4402,,
(6)积分区域D如图10-25所示:
D可分为D,D?
D,D四个部分.它们可分为用极坐标表示为。
1234
图10-25D:
0?
θ?
π,0?
r?
2sinθ,1
D?
D:
0?
θ?
π,2sinθ?
r?
2,23
D:
π?
θ?
2π,0?
r?
24
于是:
22222222ddddddddxyxyxyxy,,,xyyxyyxyyxyy,,,,,,,,2222,,,,,,,,DDDDD,1234
π2sinπ22π2,222,,,,,,d(2sin)dd(2sin)dd(2sin)d,,,,,,rrrrrrrrrrrr,,,,,,0002sinπ0,
π2sinπ22π2,233232,,,,d(2sin)dd(2sin)drrrrrrrrr,,d(2sin)d,,,,,,,,,,,,0002sinπ0,2sin22,444ππ2π,,,,,,222rrr333,,,dddrrrsinsinsin,,,,,,,,,,,,,,,,,,00π344343,,,,,,02sin0,
ππ2π416416,,,,44,,,sinddd4sinsin4sin,,,,,,,,,,,,,,,,,00π3333,,,,
ππ2π81616,,,,4,,sinddd,,,4sin,4sin,,,,,,,,,,,,00π333,,,,
π2π811631,,,,,,8πsind,,sin2sin4,,,,,,,,034328,,0
23,,,,,π8π09π.32
220
13.求由下列曲线所围成的闭区域的面积:
2bb2
(1)曲线所围(a>0,b>0);yxyx,,,aa
22
(2)曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x所围(x>0,y>0).
2bb2解:
(1)曲线所围的图形D如图10-26所示:
yxyxab,,,,,(0,0)aa
图10-26D可以表示为:
aa,2yxy,,,2bb,
0,,yb,
所求面积为:
abyb1aa,,2bSxyyxyab,,,,ddddd.yy,,,a,,,,,200Dy62bb,,b
22
(2)曲线xy=a,xy=2a,y=x,y=2x(x>0,y>0)所围图形D如图10-27所示:
图10-27所求面积为
Sxy,dd,,D
y令xy=u,,则,vx
u22xyuvauav,,,,,,,,(2,12)v
(,)1xyJ,,,(,)2uvv
221
于是
222a22211aa,,,,,Sxyuvvuvdddddddln22,,,,,,,Da112222vvv22,,aua2,,v12
14.证明:
byb1,1nn
(1)yyxfxxfxbxx,,,d()()d()()d;,,,aaan,1
1
(2),D为|x|+|y|?
1;fxyxyfuu()dd()d,,,,,,1D
122222(3),其中D为x+y?
1且faxbycxyufu()dd21d,,,,,,uabc,,,,,,1D
22a+b?
0.
解:
(1)题中所给累次积分的积分区域D为
a?
y?
b,a?
x?
y.如图10-28所示:
图10-28D也可表示为a?
x?
b,x?
y?
b,
于是:
bbybbb1nn,1nyyxfxxxyxfxyx,,,,d()()dd()()ddfxyx,()(),,,,,aaaxan,1x
b1,1n,,fxbxx()()d.,an,1
(2)令x+y=u,x-y=v,则
uvuv,,,且-1?
u?
1,-1?
v?
1xy,,,22
(,)1xy,于是,,,(,)2uv
11111fxyxyfuuvufuvfuu,,,,()dd()ddd()d()d.,,,,,,,,,,,11122Du,,,11v,,,11
aubvbuav,,(3)令,则xy,,,2222abab,,
222
22faxbycfuabc()(),,,,,
ab,
222222,(,)xyababab,,J,,,,,12222ba,,,(,)uvabab
2222abab,,
22当x+y?
1时,
22222222aubvbuav,,,,,,()()abuabv,,,22,,,,,uv1.,,,,222222ab,abab,,,,,,
于是
22faxbycxyfuv()dddd,,,,,uabc,,,,,,22Duv,,1
211,u22,ddufv,,uabc,,2,,11,,,u21,u122,fvud,,uabc,,2,,1,,1u
1222,,21d.ufu,,uabc,,,,1
22222215.求球面x+y+z=y含在圆柱面x+y=ax内部的那部分面积。
解:
如图10-29所示:
图10-29
222上半球面的方程为,由zaxy,,,
,,,zxzy
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 最新 高等数学 复旦大学 出版 习题 答案 详解 优秀 名师 资料
![提示](https://static.bdocx.com/images/bang_tan.gif)