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最新三年级奥数教程资料
第一讲速算与巧算
计算是数学的基础,小学生要学好数学,必须具有过硬的计算本领。
准确、快速的计算能力既是一种技巧,也是一种思维训练,既能提高计算效率、节省计算时间,更可以锻炼记忆力,提高分析、判断能力,促进思维和智力的发展。
森林王国的歌舞比赛进行得既紧张又激烈。
选手们为争夺冠军,都在舞台上发挥着自己的最好水平。
台下的工作人员小熊和小白兔正在统计着最后的得分。
由于他们对每个选手分数的及时通报,台下的观众频频为选手取得的好成绩而热烈鼓掌,同时,观众也带着更浓厚的兴趣边看边猜测谁能拿到冠军。
观众的情绪也影响着两位分数统计者。
只见分数一到小白兔手中,就像变魔术般地得出了答案。
等小熊满头大汗地算出来时,小白兔已欣赏了一阵比赛,结果每次小熊算得结果和小白兔是一样的。
小熊不禁问:
“白兔弟弟,你这么快就算出了答案,有什么决窍吗?
”
小白兔说:
“比如2号选手是93、95、98、96、88、89、87、91、93、91,去掉最高分98,去掉最低分87,剩下的都接近90为基准数,超过90的表示成90+‘零头数’,不足90的表示成90-‘零头数’。
于是(93+95+96+88+89+91+93+91)÷8=90+(3+5+6―2―1+1+3+1)÷8=90+2=92。
你可以试一试。
”
小熊照着小白兔说的去做,果然既快又对。
这下小熊明白了,掌握了速算的技巧,在工作和生活中的作用很大。
它不仅可以节省运算时间,更主要的是提高了我们的工作效率。
我们在进行速算时,要根据题目的具体情况灵活运用有关定律和法则,选择合理的方法。
下面介绍在整数加减法运算中常用的几种速算方法。
(1)加减法中的计算
1、例题与方法指导:
例1、用简便方法计算下面各题:
(1)63+48+173+37+52
(2)9+99+999+9999+4
例2、用简便方法计算计算下面各题:
⑴1000-90-80-20-10
(2)1508-561+61
例3、用简便方法计算计算下面各题:
⑴576+(432-176)⑵1689+999-689
例4、计算(22+24+26+28+30+32)-(21+23+25+27+29+31)
2、训练巩固
1.用简便方法计算计算下面各题:
⑴1362+973+638+27⑵7443+2485+567+245
2.下面各题,怎样简便就怎样计算:
⑴1886+1998⑵5426-2995
3.计算:
⑴1088+988+88+36⑵49999+4999+499+49+4
4.计算:
⑴103+99+103+97+106+102+98+98+101+102
3、拓展提升
1.用简便方法计算下面各题:
⑴9+99+999+9999⑵4996+3993+2992+1991+98
2.下面各题,怎样简便就怎样计算:
⑴93+92+88+89+90+91+88+87+94+89
⑵20+19-18-17+16+15-14-13+12+11-10-9+8+7-6-5+4+3-2-1
3.计算下面各题:
⑴(38+42+46+50+54+58+62+66+70)-(37+41+45+49+53+57+61+65+69)
⑵(1999+1997+1995+……+3+1)-(1998+1996+1994+……+4+2)
(二)乘除法中的计算
一、例题与方法指导:
两个数之和等于10,则称这两个数互补。
在整数乘法运算中,常会遇到像72×78,26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补,或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。
72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补,这类式子我们称为“头相同、尾互补”型;26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同,这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。
计算这两类题目,有非常简捷的速算方法,分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。
例1
(1)76×74=?
(2)31×39=?
思路导航:
本例两题都是“头相同、尾互补”类型。
(1)由乘法分配律和结合律,得到
76×74
=(7+6)×(70+4)
=(70+6)×70+(7+6)×4
=70×70+6×70+70×4+6×4
=70×(70+6+4)+6×4
=70×(70+10)+6×4
=7×(7+1)×100+6×4。
于是,我们得到下面的速算式:
(2)与
(1)类似可得到下面的速算式:
由例1看出,在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如1×9=09),积中从百位起前面的数是被乘数(或乘数)的十位数与十位数加1的乘积。
“同补”速算法简单地说就是:
积的末两位是“尾×尾”,前面是“头×(头+1)”。
我们在学到的15×15,25×25,…,95×95的速算,实际上就是“同补”速算法。
例2
(1)78×38=?
(2)43×63=?
思路导航:
本例两题都是“头互补、尾相同”类型。
(1)由乘法分配律和结合律,得到
78×38
=(70+8)×(30+8)
=(70+8)×30+(70+8)×8
=70×30+8×30+70×8+8×8
=70×30+8×(30+70)+8×8
=7×3×100+8×100+8×8
=(7×3+8)×100+8×8。
于是,我们得到下面的速算式:
(2)与
(1)类似可得到下面的速算式:
由例2看出,在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中,积的末两位数是两个因数的个位数之积(不够两位时前面补0,如3×3=09),积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数(或乘数)的个位数。
“补同”速算法简单地说就是:
积的末两位数是“尾×尾”,前面是“头×头+尾”。
例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。
当被乘数和乘数多于两位时,情况会发生什么变化呢?
我们先将互补的概念推广一下。
当两个数的和是10,100,1000,…时,这两个数互为补数,简称互补。
如43与57互补,99与1互补,555与445互补。
在一个乘法算式中,当被乘数与乘数前面的几位数相同,后面的几位数互补时,这个算式就是“同补”型,即“头相同,尾互补”型。
例如7077×7023,因为被乘数与乘数的前两位数相同,都是70,后两位数互补,77+23=100,所以是“同补”型。
又如148×152,238×232等都是“同补”型。
当被乘数与乘数前面的几位数互补,后面的几位数相同时,这个乘法算式就是“补同”型,即“头互补,尾相同”型。
例如,734×274,9826×226,681×481等都是“补同”型。
在计算多位数的“同补”型乘法时,例1的方法仍然适用。
例3
(1)702×708=?
(2)1708×1792=?
解:
(1)
(2)
计算多位数的“同补”型乘法时,将“头×(头+1)”作为乘积的前几位,将两个互补数之积作为乘积的后几位。
注意:
互补数如果是n位数,则应占乘积的后2n位,不足的位补“0”。
在计算多位数的“补同”型乘法时,如果“补”与“同”,即“头”与“尾”的位数相同,那么例2的方法仍然适用(见例4);如果“补”与“同”的位数不相同,那么例2的方法不再适用,因为没有简捷实用的方法,所以就不再讨论了。
例42865×7265=?
解:
二、训练巩固
计算下列各题:
1.68×62;2.93×97;
3.27×87;4.79×39;
5.42×62;6.603×607;
7.693×607;8.4085×6085。
第二讲找规律
(一)竖列规律
按照一定次序排列起来的一列数,叫做数列。
如自然数列:
1、2、3、4……;双数列:
2、4、6、8……。
我们研究数列,目的就是为了发现数列中数排列的规律,并依据这个规律来填写空缺的数。
按照一定的顺序排列的一列数,只要从连续的几个数中找到规律,那么就可以知道其余所有的数。
寻找数列的排列规律,除了从相邻两数的和、差考虑,有时还要从积、商考虑。
善于发现数列的规律是填数的关键。
1、例题与方法指导
例1在括号内填上合适的数。
(1)3,6,9,12,(),()
(2)1,2,4,7,11,(),()
(3)2,6,18,54,(),()
思路导航:
(1)在数列3,6,9,12,(),()中,前一个数加上3就等于后一个数,相邻两个数的差都是3,根据这一规律,可以确定()里分别填15和18;
(2)在数列1,2,4,7,11,(),()中,第一个数增加1等于第二个数,第二个数增加2等于第三个数,也就是相邻两个数的差依次是1,2,3,4……这样下一个数应为11增加5,所以应填16;再下一个数应比16大6,填22。
(3)在数列2,6,18,54,(),()中,后一个数是前一个数的3倍,根据这一规律可知道()里应分别填162和486。
例2先找出规律,再在括号里填上合适的数。
(1)15,2,12,2,9,2,(),();
(2)21,4,18,5,15,6,(),();
思路导航:
(1)在15,2,12,2,9,2,(),()中隔着看,第一个数减3是第三个数,第三个数减3是第五个数,第二、四、六的数不变。
根据这一规律,可以确定括号里分别应填6、2;
(2)在21,4,18,5,15,6,(),()中,隔着看第一个数减3为第三个数,第三个数减3为第五个数。
第二个数增加1为第四个数,第四个数增加1是第六个数。
根据这一规律,可以确定括号里分别应填12和7。
2、训练巩固
1,在括号里填数。
(1)2,4,6,8,10,(),()
(2)1,2,5,10,17,(),()
2,按规律填数。
(1)2,8,32,128,(),()
(2)1,5,25,125,(),()
3,先找规律再填数。
(1)2,1,4,1,6,1,(),()
(2)3,2,9,2,27,2,(),()
(3)12,1,10,1,8,1,(),()
4,在括号里填数。
答
(1)18,3,15,4,12,5,(),()
(2)1,15,3,13,5,11,(),()
(3)1,2,5,14,(),()
(二)图形规律
一、例题与方法指导
例:
根据前面图形里的数的排列规律,填入适当的数。
思路导航:
(1)横着看,右边的比左边的数多5,竖着看,下面的数比上面的数多4。
根据这一规律,方格里填18;
(2)通过观察可以发现,前两个图形三个数之间有这样的关系:
4×8÷2=16,7×8÷4=14,也就是说中心数是上面的数与左下方数的乘积除以右下方的数。
根据这个规律,第三个图形空格中的数为9×4÷3=12;
(3)横着看,第一行和第二行中,第一个数除以3等于第二个数,第一个数乘3等于第三个数。
根据这一规律,36×3=108就是空格中的数。
2、训练巩固
1.根据规律,在空格内填数。
(1)187,286,385,(),();
思路导航:
(1)在187,286,385,(),()中,十位上的数字8不变,百位上的数字是1,2,3…依次增加1,个位上的数字是7,6,5…依次减少1,并且百位上的数字与个位上的数字的和为8。
根据这一规律,括号里应填484,583;
(2)通过观察可以发现,前两个图形之间有一定联系:
左上数十位上的数字和右上数个位上的数字分别与下面数的千位、个位上的数字相同;左上数与右上数十位上的数字之和为下面数的百位上的数字,左上数与右上数个位上的数字之和为下面数的十位上的数字。
根据这一规律,空格内应填3594。
第三讲数字谜
小朋友们都玩过字谜吧,就是一种文字游戏,例如“空中码头”(打一城市名)。
谜底你还记得吗?
记不得也没关系,想想“空中”指什么?
“天”。
这个地名第1个字可能是天。
“码头”指什么呢?
码头又称渡口,联系这个地名开头是“天”字,容易想到“天津”这个地名,而“津”正好又是“渡口”的意思。
这样谜底就出来了:
天津。
算式谜又被称为“虫食算”,意思是说一道算式中的某些数字被虫子吃掉了无法辨认,需要运用四则运算各部分之间的关系,通过推理判定被吃掉的数字,把算式还原。
“虫食算”主要指横式算式谜和竖式算式谜,其中未知的数字常常用□、△、☆等图形符号或字母表示。
文字算式谜是前两种算式谜的延伸,用文字或字母来代替未知的数字,在同一道算式中不同的文字或字母表示不同的数字,相同的数字或字母表示同一个数字。
文字算式谜也是最难的一种算式谜。
在数学里面,文字也可以组成许许多多的数学游戏,就让我们一起来看看吧。
(1)横式字谜
1、例题与方法指导
例1□,□8,□97在上面的3个方框内分别填入恰当的数字,可以使得这3个数的平均数是150。
那么所填的3个数字之和是多少?
思路导航:
150*3-8-97-5=340
所以3个数之和为3+4+5=12。
例2在下列算式的□中填上适当的数字,使得等式成立:
(1)6□□4÷56=□0□,
(2)7□□8÷37=□1□,
(3)3□□3÷2□=□17,
(4)8□□□÷58=□□6。
分析:
(1)6104/56=109
(2)7548/37=204
(3)3393/29=117
(4)8468/58=146
例3在算式40796÷□□□=□99……98的各个方框内填入适当的数字后,就可以使其成为正确的等式。
求其中的除数。
分析:
40796/102=399...98。
例4我学数学乐×我学数学乐=数数数学数数学学数学
在上面的乘法算式中,“我、学、数、乐”分别代表的4个不同的数字。
如果“乐”代表9,那么“我数学”代表的三位数是多少?
分析:
学=1,我=8,数=6,81619*81619=6661661161
例5□÷(□÷□÷□)=24在式中的4个方框内填入4个不同的一位数,使左边的数比右边的数小,并且等式成立。
思路导航:
这样,我们可以先用字母代替数字,原等式写成:
a/(b/c/d)=a/(b/c*d)=a*c*d/b,(a
当a=1时,有6*8/2=24,8*9/3=24;
当a=2时,有4*9/3=12,6*8/4=12,8*9/6=12;
所以,满足要求的等式有:
1÷(2÷6÷8)=24,1÷(3÷8÷9)=24,2÷(3÷4÷9)=24,2÷(4÷6÷8)=24,2÷(6÷8÷9)=24。
例6①□×□=5□;②12+□-□=□,把1至9这9个数字分别填入上面两个算式的各个方框中,使等式成立,这里有3个数字已经填好。
分析:
根据第一个等式,只有两种可能:
7*8=56,6*9=54;如果为7*8=56,则余下的数字有:
3、4、9,显然不行;而当6*9=54时,余下的数字有:
3、7、8,那么,12+3-7=8或12+3-8=7都能满足。
2、训练巩固
1.迎迎×春春=杯迎迎杯,数数×学学=数赛赛数,春春×春春=迎迎赛赛
在上面的3个算式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字。
如果这3个等式都成立,那么,“迎+春+杯+数+学+赛”等于多少?
分析:
考察上面三个等式,可以从最后一个等式入手:
能够满足:
春春×春春=迎迎赛赛的只有88*88=7744,于是,春=8,迎=7,赛=4;这样,不难得到第一个为:
77*88=6776,第二个为:
55*99=5445;
所以,迎+春+杯+数+学+赛=7+8+6+5+9+4=39。
2.迎+春×春=迎春,(迎+杯)×(迎+杯)=迎杯
在上面的两个横式中,相同的汉字代表相同的数字,不同的汉字代表不同的数字。
那么“迎+春+杯”等于多少?
分析:
同样可以从第二个算式入手,发现满足要求的只有(8+1)*(8+1)=81,于是,迎=8;
这样,第一个算式显然只有:
8+9*9=89;所以,迎+春+杯=8+9+1=18。
3、拓展提升
1.在下列各式的□中分别填入相同的两位数:
(1)5×□=2□;
(2)6×□=3□。
2.将3~9中的数填入下列各式,使算式成立,要求各式中无重复的数字:
(1)□÷□=□÷□;
(2)□÷□>□÷□。
3.在下列各式的□中填入合适的数字:
(1)448÷□□=□;
(2)2822÷□□=□□;
(3)13×□□=4□6。
4.在下列各式的□中填入合适的数:
(1)□÷32=8……31;
(2)573÷32=□……29;
(3)4837÷□=74……27。
答案与提示 练习22
4.
(1)287;
(2)17;()65。
(2)竖式字谜
例1在图4-1所示的算式中,每一个汉字代表一个数字,不同的汉字代表不同的数字.那么“喜欢”这两个汉字所代表的两位数是多少?
分析:
首先看个位,可以得到“欢”是0或5,但是“欢”是第二个数的十位,所以“欢”不能是0,只能是5。
再看十位,“欢”是5,加上个位有进位1,那么,加起来后得到的“人”就应该是偶数,因为结果的百位也是“人”,所以“人”只能是2;由此可知,“喜”等于8。
所以,“喜欢”这两个汉字所代表的两位数就是85。
例2在图4-2所示的竖式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字.如果:
巧+解+数+字+谜=30,那么“数字谜”所代表的三位数是多少?
分析:
还是先看个位,5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”,“谜”必定是5(0显然可以排出);接着看十位,四个“字”相加再加上进位2,结果尾数还是“字”,那说明“字”只能是6;再看百位,三个“数”相加再加上进位2,结果尾数还是“数”,“数”可能是4或9;再看千位,
(1)如果“数”为4,两个“解”相加再加上进位1,结果尾数还是“解”,那说明“解”只能是9;5+6+4+9=24,30-24=6,“巧”等于6与“字”等于6重复,不能;
(2)如果“数”为9,两个“解”相加再加上进位2,结果尾数还是“解”,那说明“解”只能是8;5+6+9+8=28,30-28=2,可以。
所以“数字谜”代表的三位数是965。
例3在图4-3所示的加法算式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字.请把这个竖式翻译成数字算式.
分析:
首先万位上“华”=1;再看千位,“香”只能是8或9,那么“人”就相应的只能是0或1。
但是“华”=1,所以,“人”就是0;再看百位,“人”=0,那么,十位上必须有进位,否则“港”+“人”还是“港”。
由此可知“回”比“港”大1,这样就说明“港”不是9,百位向千位也没有进位。
于是可以确定“香”等于9的;再看十位,“回”+“爱”=“港”要有进位的,而“回”比“港”大1,那么“爱”就等于8;同时,个位必须有进位;再看个位,两数相加至少12,至多13,即只能是5+7或6+7,显然“港”=5,“回”=6,“归”=7。
这样,整个算式就是:
9567+1085=10652。
例4图4-4是一个加法竖式,其中E,F,I,N,O,RS,T,X,Y分别表示从0到9的不同数字,且F,S不等于零.那么这个算式的结果是多少?
分析:
先看个位和十位,N应为0,E应为5;再看最高位上,S比F大1;千位上O最少是8;但因为N等于0,所以,I只能是1,O只能是9;由于百位向千位进位是2,且X不能是0,因此决定了T、R只能是7、8这两个;如果T=7,X=3,这是只剩下了2、4、6三个数,无法满足S、F是两个连续数的要求。
所以,T=8、R=7;由此得到X=4;那么,F=2,S=3,Y=6。
所以,得到的算式结果是31486。
2、训练巩固
1.在图4-5所示的减法算式中,每一个字母代表一个数字,不同的字母代表不同的数字.那么D+G等于多少?
分析:
先从最高位看,显然A=1,B=0,E=9;接着看十位,因为E等于9,说明个位有借位,所以F只能是8;由F=8可知,C=7;这样,D、G有2、4,3、5和4、6三种可能。
所以,D+G就可以等于6,8或10。
2.王老师家的电话号码是一个七位数,把它前四位组成的数与后三位组成的数相加得9063,把它前三位数组成的数与后四位数组成的数相加得2529.求王老师家的电话号码.
分析:
我们可以用abcdefg来表示这个七位数电话号码。
由题意知,abcd+efg=9063,abc+defg=2529;
首先从第一个算式可以看出,a=8,从第二个算式可以看出,d=1;再回到第一个算式,g=2,掉到第二个算式,c=7;又回到第一个算式,f=9,掉到第二个算式,b=3;那么,e=6。
所以,王老师家的电话号码是8371692。
3.将一个四位数的各位顺序颠倒过来,得到一个新的四位数.如果新数比原数大7902,那么在所有符合这样条件的四位数中,原数最大是多少?
分析:
用abcd来表示愿四位数,那么新四位数为dcba,dcba-abcd=7902;由最高为看起,a最大为2,则d=9;但个位上10+a-d=2,所以,a只能是1;接下来看百位,b最大是9,那么,c=8正好能满足要求。
所以,原四位数最大是1989。
3、拓展提升
1.已知图4-6所示的乘法竖式成立.那么ABCDE是多少?
分析:
由1/7的特点易知,ABCDE=42857。
142857*3=428571。
2.某个自然数的个位数字是4,将这个4移到左边首位数字的前面,所构成的新数恰好是原数的4倍.问原数最小是多少?
分析:
由个位起逐个递推:
4*4=16,原十位为6;4*6+1=25,原百位为5;4*5+2=22,原千位为2;
4*2+2=10,原万位为0;1*4=4,正好。
所以,原数最小是102564。
3.在图4-7所示的竖式中,相同的汉字表示相同的数字,不同的汉字表示不同的数字.则符合题意的数“迎春杯竞赛赞”是多少?
分析:
同第10题一样,也是利用1/7的特点。
因为每个字母代表不同的数字,因此“好”只有3和6可选:
好=3,则:
142857*3=428571;好=6,则:
142857*6=857142;两个都能满足,所以,符合题意的数“迎春杯竞赛赞”可能是428571或857142。
(3)趣味九宫格
九宫格型数字推理即在九宫格中已知8个数,根据已知数之间的关系,求出未知的项。
此种类型的观察角度为横向、纵向、对角线,考查最多的是横向,一般考查三个数之间的线性关系,可从大数入手考虑。
有时,会整体考,比如行列各个数之和的关系。
1.
A.7B.5C.3D.9
【答案】C。
解析:
每行三个数字之和依次是20,(30),40,是等差数列。
2.
A.27B.8C.21D.18
【答案】D。
解析:
每行前两个数字之差除以3等于第三个数。
(63-9)÷3=(18)。
3.
A.14.2B.16.4C.18.6D.15
【答案】A。
解析:
每行第一个数字加1等于后两个数字之和。
4.
A.6.1B.5.3C.4D.2
【答案】D。
解析:
从每行来看,第一个数字加2,再乘以第三个数字等于中间数字。
5.
A.20.4B.18.6C.1
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