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静力学第三章
静力学
第三章空间力系
空间力系是各力的作用线不在同一平面内的力系。
这是力系中最一般的情形。
许多工程结构和机械构件都受空间力系的作用,例如车床主轴、桅式起重机、闸门等。
对它们进行静力分析时都要应用空间力系的简化和平衡理论。
本章研究空间力系的简化和平衡问题,并介绍物体重心的概念和确定重心位置的方法。
与研究平面力系相似,空间力系的简化与平衡问题也采用力系向一点简化的方法进行研究。
第一节 空间力的分解与投影
一、空间力的分解
如图3-1所示,设力F沿直角坐标轴的分力分别为Fx、Fy、Fz,则
(3-1)
图3-1
力F的三个分力可以用它在三个相应轴上的投影来表示:
(3-2)
则
(3-3)
其中i、j、k分别是x、y、z轴的正向单位矢量。
二、空间力的投影
1.直接投影法
如图3-2所示,若已知力F与空间直角坐标轴x、y、z正向之间夹角分别为α、β、γ,以Fx、Fy、Fz表示力F在x、y、z三轴上的投影,则
(3-4)
力在坐标轴上的投影为代数量。
在式(3-4)中,当α、β、γ为锐角时,投影为正,反之为负。
图3-2
2.二次投影法
若力F在空间的方位用图3-3所示的形式来表示,其中γ为力F与z轴的夹角,φ为力F所在铅垂平面与x轴的夹角,则可用二次投影法计算力F在三个坐标轴上的投影。
先将力F向z轴和xy平面投影,得
注意:
力在平面上的投影Fxy为矢量。
再将Fxy向x、y轴投影,得
因此
(3-5)
图3-3
反之,若已知力在直角坐标轴上的投影,则可以确定该力的大小和方向。
(3-6)
其中α、β、γ为力F分别与x、y、z轴正向的夹角。
静力学
第三章空间力系第二节 力对点之矩与力对轴之矩
一、力对点之矩
在平面问题中,力F与矩心O在同一平面内,用代数量MO(F)就足以概括力对O点之矩的全部要素。
但在空间问题中,由于各力与矩心O所决定的平面可能不同,这就导致各力使刚体绕同一点转动的方位也可能不同。
为了反映转动效应的方位,力对点之矩必须用矢量表示。
如图3-5所示,设力F沿作用线AB,O点为矩心,则力对一点之矩可用矢量表示,称为力矩矢,用MO(F)表示,力矩矢MO(F)的始端为O点,它的模(即大小)等于力与力臂d的乘积,方位垂直于力F与矩心O所确定的平面,指向可按右手法则来确定。
由图3-5可见
(3-7)
式中,
表示三角形OAB的面积。
图3-5
由以上定义可见,力矩矢MO(F)的大小和方向与矩心O的位置有关,即力矩矢MO(F)是一个定位矢量。
力矩矢MO(F)还可以用另一种数学形式来表示。
如图3-5所示,如用r表示O点到力F作用点A的矢径,则r与F的矢量积r×F也是一个矢量,按矢量积的定义,其大小等于三角形OAB面积的两倍,其方位垂直于r与F所决定的平面,指向也符合右手法则。
可见,矢积r×F与力矩矢MO(F)两者大小相等,方向相同,于是
MO(F)=r×F(3-8)
即力矩矢MO(F)等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。
二、力对轴之矩
在空间力系问题中,除了用力对点之矩来描述力对刚体的转动效应外,还要用到力对轴之矩的概念。
这里从用手推门的实例来引入力对轴之矩的定义。
如图3-6a所示,在门边上的A点作用一力F,为了研究力F使门绕z轴转动的效应,可将力分解为两个分力Fz和Fxy,其中Fz与z轴平行,Fxy与z轴垂直。
实践证明,分力Fz不可能使门转动,只有分力Fxy才能使门绕z轴转动。
过A点作平面P与z轴垂直,并与z轴相交于O点。
分力Fxy产生使门绕z轴转动的效应,相当于在平面问题中力Fxy使平面P绕矩心O转动的效应。
这个效应的强度可用力的大小Fxy与O点到力Fxy的作用线的距离d(力臂)的乘积来度量,其转向可用正负号加以区分。
于是,力F对z轴之矩MZ(F)定义为
MZ(F)=±Fxyd(3-9)
式(3-9)可叙述为:
力对轴之矩是力使刚体绕某轴转动效应的度量,它是一个代数量,其大小等于力在垂直于轴的平面内的分力的大小与力臂(轴与其垂直平面的交点到分力作用线的距离)的乘积。
正负号按右手法则确定:
即以右手四指表示力F使刚体绕轴的转动方向,若大拇指指向与轴的正向一致,则取正号,反之取负号。
也可按下述法则来确定其正负号:
从轴的正向看,逆时针转向为正,顺时针转向为负。
如图3-6a所示的力F,它对z轴之矩MZ(F)为正值。
图3-6
从力对轴之矩的定义容易看出:
当力的作用线与轴平行(Fxy=0)或相交(d=0)时,力对该轴的矩都必为零。
即,当力的作用线与轴线共面时,力对该轴之矩必然为零。
图3-6b中的力F1、F2都与z轴共面,因此它们对z轴之矩都为零,这两个力都不可能使门绕z轴转动。
从图3-6c不难看出,在平面问题中所定义的力对平面内某点O之矩,实际上就是力对通过此点且与平面垂直的轴之矩。
因此平面力系的合力矩定理,也可以推广到空间情形。
可叙述为:
若以FR表示空间力系F1、F2、…、Fn的合力,则合力FR对某轴之矩,等于各分力对同一轴之矩的代数和,即
(3-10)
在计算力对某轴之矩时,经常应用合力矩定理,将力分解为三个方向的分力,然后分别计算各分力对这个轴之矩,求其代数和,即得力对该轴之矩。
如图3-7所示,将力F沿坐标轴方向分解为Fx、Fy、Fz三个互相垂直的分力,以Fx、Fy、Fz分别表示F在三个坐标轴上的投影。
图3-7
由合力矩定理得
同理可求出My(F)和MZ(F)。
因此有
(3-11)
式(3-11)为求力对坐标轴之矩的公式。
只要知道力F的作用点的坐标x、y、z和力F在三个坐标轴上的投影,则由式(3-11)即可算出Mx(F)、My(F)和MZ(F)。
应当指出,式(3-11)中x、y、z、Fx、Fy、Fz都是代数量,在计算力对轴之矩时,要注意各量的正负号。
三、力对点之矩与力对轴之矩的关系
下面,我们来建立力对点之矩与力对通过该点的轴之矩的关系。
设刚体上作用有力F,其矢径为r,它们的解析表达式分别为
根据式(3-8)有
将上式向x、y、z轴投影,并根据式(3-11),可得
(3-12)
上式表明:
力对某点的力矩矢在通过该点的任意轴上的投影,等于此力对该轴之矩。
这就是力矩关系定理。
求出了力F对三个坐标轴的矩之后,根据式(3-12),即可得MO(F)的大小和方向。
(3-13)
其中α、β、γ为力矩矢与x、y、z轴正向的夹角。
静力学
第三章空间力系第三节 力偶矩矢
一、空间力偶的等效条件
由平面力偶理论可知,在同一平面内,力偶矩相等的两力偶等效。
实践经验还表明,力偶的作用面也可以平移。
例如,用螺丝刀拧螺钉时,只要力偶矩的大小和力偶的转向保持不变,则力偶的作用面可以沿垂直于螺丝刀的轴线平行移动,而并不影响拧螺钉的效果。
由此可知,空间力偶的作用面可以平行移动,而不改变力偶对刚体的作用效果。
反之,如果两个力偶的作用面不相互平行(即作用面的法线不相互平行),即使它们的力偶矩大小相等,这两个力偶对刚体的作用效果也不同。
如图3-9所示的三个力偶,分别作用在三个同样的物块上,力偶矩都等于200N·m。
因为图3-9a、3-9b中两力偶的转向相同,作用面又相互平行,因此,这两个力偶对物块的作用效果相同,它们使静止物块绕x轴转动;如果力偶作用在图3-9c所示的平面上,虽然力偶矩的大小未变,但是它使物块绕y轴转动,可见与前两个力偶对物块的作用效果不同。
图3-9
综上所述,空间力偶的等效条件是:
作用在同一刚体的两平行平面内的两个力偶,若它们的力偶矩的大小相等且力偶的转向相同,则两力偶等效。
可见力偶对刚体的作用与力偶作用面的位置无关,而仅与作用面的方位有关。
由此可知,空间力偶对刚体的作用效果取决于下列三个要素:
(1)力偶矩的大小;
(2)力偶的转向;
(3)力偶作用面的方位。
二、力偶矩矢
空间力偶的三个要素可以用一个矢量来表示,称为力偶矩矢,记作M。
表示的方法如下:
矢量M的长度表示力偶矩的大小,方位与力偶作用面的法线方位相同,其指向与力偶转向的关系服从右手螺旋法则。
即如以力偶的转向为右手螺旋的转动方向,则螺旋前进的方向即为力偶矢的指向,或从力偶矩矢的末端看去,应看到力偶的转向是逆时针转向,如图3-10所示。
由此可知,力偶对刚体的作用完全由力偶矩矢所决定。
图3-10
由于力偶可以在同平面内任意移转,并可搬移到平行平面内,而不改变它对刚体的作用效果,即力偶矩矢可以平行搬移,因此力偶矩矢是自由矢量。
应用力偶矩矢的概念,力偶的等效条件可叙述为:
力偶矩矢相等的两个力偶等效。
静力学
第三章空间力系第四节 空间力系的简化
一、空间力的平移定理
设有一力F,其作用点为A,在空间中任取一点B,如图3-11a所示。
在B点上加上两个互成平衡的力F'、F",且取F'=-F"=F,如图3-11b所示。
不难看出F、F"组成一力偶,其力偶矩矢等于力F对B点的力矩矢MB(F),如图3-11c所示。
可见,原作用在A点的力F,与力F'和力偶(F、F")等效。
由此可得空间力的平移定理如下:
作用在刚体上的一个力,可平行移至刚体中任意一指定点,但必须同时附加一力偶,其力偶矩矢等于原力对于指定点的力矩矢。
图3-11
二、空间力系向一点的简化主矢和主矩
现在研究空间力系的简化。
设有一空间力系F1、F2、…、Fn,如图3-12a所示,任选一点O为简化中心,将各力平移到O点,由力的平移定理可知,各力移到O点时,都必须同时附加一个力偶,其力偶矩矢等于该力对简化中心O之矩,如图3-12b所示。
于是可得到作用于O点的一个空间汇交力系F1'、F2'、…、Fn'和一个附加力偶系,这个力偶系中各力偶的力偶矩矢为M1、M2、…、Mn,它们分别等于MO(F1)、MO(F2)、…、MO(Fn)。
图3-12
对于作用于O点的空间汇交力系,可以进一步将其合成为一个合力FR',即
(3-14)
称为原空间力系的主矢,如图3-12c所示。
它是原力系中各力的矢量和,因此主矢FR'与简化中心的选取无关。
由式(3-6)可得
(3-15)
对于附加力偶系,可以进一步将其合成为一个合力偶,其合力偶矩矢MO为
(3-16)
MO称为原力系对简化中心O的主矩,如图3-12c所示,它等于原力系中各力对简化中心O之矩的矢量和。
可见主矩MO一般与简化中心的选取有关。
以简化中心O为原点取坐标系,将式(3-16)向坐标轴投影,然后将式(3-12)代入,得
(3-17)
上式表明:
主矩MO在某坐标轴上的投影,等于原力系中各力对该轴之矩的代数和。
于是,MO的大小和方向余弦为
(3-18)
三、空间力系的简化结果合力矩定理
空间力系向一点简化,可能出现下列四种情况,即
(1)FR'=0,MO=0;
(2)FR'=0,MO≠0;(3)FR'≠0,MO=0;(4)FR'≠0,MO≠0。
现分别加以讨论。
1.空间力系平衡的情形
若主矢FR'=0,主矩MO=0,这时,该空间力系平衡。
这种情形将在下节进行讨论。
2.空间力系简化为一合力偶的情形
若主矢FR'=0,主矩MO≠0,这时得一力偶。
显然,这力偶与原力系等效,即空间力系合成为一力偶,力偶矩矢等于原力系对简化中心的主矩。
在这种情况下,主矩与简化中心的位置无关。
3.空间力系简化为一合力的情形合力矩定理
若主矢FR'≠0,而主矩MO=0,这时得一力。
显然,这力与原力系等效,即空间力系合成为一合力,合力的作用线通过简化中心O,合力矢等于原力系的主矢。
若主矢FR'≠0,主矩MO≠0,且FR'⊥MO,如图3-13a所示。
这时,力FR'和力偶(FR",FR)在同一平面内,如图3-13b所示。
故可将力FR'和力偶(FR",FR)进一步合成,得作用于O'的一个力FR,如图3-13c所示。
此力与原力系等效,即为原力系的合力,其大小和方向等于原力系的主矢,即,
,其作用线离简化中心O的距离为
图3-13
由图3-13b可知,力偶(FR",FR)的矩MO等于合力FR对O点之矩。
即
又根据式(3-16),有
得
(3-19)
根据力对点之矩与力对轴之矩的关系,把上式投影到通过点O的任一轴上,可得
(3-20)
式(3-19)和式(3-20)表明:
空间力系的合力对于任一点(或轴)之矩等于各分力对同一点(或轴)之矩的矢量(或代数)和。
这就是空间力系对点(或轴)之矩的合力矩定理。
4.空间力系简化为力螺旋的情形
若主矢FR'≠0,主矩MO≠0,但FR'∥MO,这种结果称为力螺旋,如图3-14所示。
所谓力螺旋,就是由一力和一力偶组成的力系,其中的力垂直于力偶的作用面。
例如,钻孔时的钻头和攻螺丝的丝锥对工件的作用就是力螺旋。
图3-14
力螺旋是由静力学的两个基本要素(力和力偶)组成的最简单的力系,不能进一步合成。
力偶的转向和力的指向符合右手螺旋法则的称为右螺旋,如图3-14a所示;否则称为左螺旋,如图3-14b所示。
力螺旋的力作用线称为该力系的中心轴。
在上述情形中,中心轴通过简化中心。
若主矢FR'≠0,主矩MO≠0,且两者既不平行,又不垂直,如图3-15a所示。
则可将MO分解为两个分力偶M'O和M"O,它们分别垂直于FR'和平行于FR',如图3-15b所示,因M"O⊥FR',故它们可用作用于点O'的力FR'来代替。
由于力偶矩矢是自由矢量,因此可将M'O平行移动,使之与FR共线。
这样便得一力螺旋,其中心轴不在简化中心O,而是通过另一点O',如图3-15c所示。
O、O'两点的距离为
可见,一般情形下空间力系可简化为力螺旋。
图3-15
静力学
第三章空间力系第五节 空间力系的平衡
一、空间力系的平衡条件和平衡方程
空间力系平衡的充要条件是:
力系的主矢和对任一点的主矩都等于零,即:
FR'=0,MO=0。
根据式(3-15)和(3-18),可将上述条件写成空间力系的平衡方程为
(3-21)
于是,空间力系平衡的充要条件是:
所有各力在空间直角坐标系中每个轴上的投影的代数和等于零,以及这些力对于每个坐标轴之矩的代数和也等于零。
式(3-21)包含六个方程式。
由于它们是空间力系平衡的充要条件,当六个方程式都能满足,则刚体必处于平衡,因此如再加写更多的方程式,都是不独立的。
空间力系只有六个独立的平衡方程,可求解六个未知量。
如同平面力系的平衡方程还可以写成二矩式或三矩式一样,空间力系的平衡方程也可以写成其它形式。
例如,写四个至六个力矩式而少写或不写投影式。
二、空间汇交力系、平行力系、力偶系的平衡方程
由空间力系平衡方程式(3-21)经简化,可得到几种特殊力系的平衡方程。
1.空间汇交力系的平衡方程
由于空间汇交力系对汇交点的主矩恒为零(MO≡0),故其平衡方程为
2.空间平行力系的平衡方程
设z轴与力系中各力平行,则
。
因此平衡方程为
3.空间力偶系的平衡方程
对空间力偶系,因为力偶在任意轴上的投影恒为零,即
,因此其平衡方程为
由以上讨论可知,空间汇交力系、空间平行力系和空间力偶系都只有三个独立的平衡方程,只能解三个未知量。
三、空间约束的类型
在空间力系问题中,物体所受的约束类型,有一些与平面力系中常见的约束类型不同。
表3-1列出了一些常见的空间约束类型及其简化画法和可能作用于物体上的约束力与约束力偶。
约束类型
简图
约束反力
径向轴承
螺形铰链
圆柱铰链
球形铰
推力轴承
空间固定端
四、空间力系的平衡问题
在应用空间力系的平衡方程解题时,其方法和步骤与平面力系相似,即先确定研究对象,进行受力分析,作出受力图,然后选取适当的坐标系,列出平衡方程并解出待求的未知量。
第三章第六节 重心
重心在工程中具有重要的意义。
例如,水坝的重心位置关系到坝体在水压力作用下能否维持平衡;飞机的重心位置设计不当就不能安全稳定地飞行;构件截面的重心(形心)位置将影响构件在载荷作用下的内力分布规律,与构件受力后能否安全工作有着紧密的联系。
总之,重心与物体的平衡、物体的运动以及构件的内力分布是密切相关的。
本节介绍物体重心的概念和确定重心位置的方法。
一、重心的概念及其坐标公式
地球表面附近的物体,都受到地球引力的作用。
地球对其表面附近物体的引力称为物体的重力,重力的大小称为物体的重量。
重力作用在物体的每一微小部分上,为一分布力系,这些分布的重力实际组成一个空间汇交力系,力系的汇交点在地心处。
可以算出,在地球表面相距30m的两点上,重力之间的夹角也不超过1"。
因此,工程上把物体各微小部分的重力视为空间平行力系是足够精确的,一般所说的重力,就是这个空间平行力系的合力。
一个不变形的物体(即刚体)在地球表面无论如何放置,其平行分布的重力的合力作用线,都通过该物体上一个确定的点,这一点就称为物体的重心。
所以,物体的重心就是物体重力合力的作用点。
一个物体的重心,相对于物体本身来说就是一个确定的几何点,重心相对于物体的位置是固定不变的。
下面根据合力矩定理建立重心的坐标公式。
如图3-20所示,取直角坐标系Oxyz,其中z轴平行于物体的重力,将物体分割成许多微小部分,其中某一微小部分Mi的重力为Wi,其作用点的坐标为xi、yi、zi,设物体的重心以C表示,重心的坐标为xC、yC、zC。
图3-20
物体的重力为
应用合力矩定理,分别求物体的重力对x、y轴的矩,有
(1)
由式
(1)即可求得重心的坐标xC、yC。
为了求坐标zC,可将物体固结在坐标系中,随坐标系一起绕x轴旋转90°,使y轴铅垂向下。
这时,重力W与Wi都平行于y轴,并与y轴同向,如图3-20中带箭头的虚线所示。
然后对x轴应用合力矩定理,有
(2)
由式
(1)和
(2)得到物体重心C的坐标公式为
(3-22)
如果物体是均质的,这时,单位体积的重量γ=常量。
以ΔVi表示微小部分Mi的体积,以V=∑ΔVi表示整个物体的体积,则有
和
,代入式(3-22),得
(3-23)
这说明,均质物体重心的位置与物体的重量无关,完全取决于物体的大小和形状。
所以,均质物体的重心又称为形心。
确切地说:
由式(3-22)所确定的点称为物体的重心;由式(3-23)所确定的点称为几何形体的形心。
对于均质物体,其重心和形心重合在一点上。
非均质物体的重心与形心一般是不重合的。
如果将物体分割的份数为无限多,且每份的体积无限小,在极限情况下,式(3-23)可改写成积分形式
(3-24)
一些简单几何形状的均质物体的重心(形心),都可由积分公式(3-24)求得。
表3-2列出了几种常用物体的重心(形心),可供查用。
工程中常用的型钢(如工字钢、角钢、槽钢等)的截面的形心,可从机械设计手册中查得。
名称
图形
形心坐标
线长、面积、体积
三角形
在三中线交点
面积
梯形
在上、下底边中线连线上
面积
圆弧
弧长
扇形
面积
弓形
面积
抛物线面
面积
抛物线面
面积
半球形体
面积
二、质心的概念及其坐标公式
如图3-21所示,设质点系由n个质点组成,第i个质点Mi的质量为mi,相对于固定点O的矢径为ri,整个质点系的质量为
,则质点系的质量中心(简称质心)C的矢径为
(3-25)
图3-21
质心反映了质点系质量分布的一种特征,它是质点系中一个特定的点。
当质点系中各质点的相对位置发生变化时,质点系质心的位置也随之改变。
而刚体是由无限多个质点组成的不变质点系,其内各质点的相对位置是固定的,因此刚体的质心是刚体内某一确定点。
质心的概念及其运动在动力学中具有重要地位。
式(3-25)的矢量式一般用于理论推导,而在实际计算质心位置时,常用直角坐标形式。
如图3-21所示,取直角坐标系Oxyz,第i个质点Mi的坐标为xi、yi、zi,质心的坐标为xC、yC、zC。
由式(3-25)分别向x、y、z轴投影,得
(3-26)
式(3-26)为质点系质心的坐标计算公式。
对于质量均匀分布的刚体,单位体积的质量(密度)ρ=常量。
以ΔVi表示微小部分Mi的体积,以V=∑ΔVi表示整个物体的体积,将
代入式(3-26),可得式(3-23)。
可见,均质刚体的质心和形心的位置是重合的。
在地球表面附近,重力与质量成正比,将
代入式(3-22),可得式(3-26),因此,在重力场中,物体的重心和质心的位置是重合的。
应当注意,质心和重心是两个不同的概念。
重心是地球对物体作用的平行引力的合力(物体重力)的作用点,它只在重力场中才有意义,一旦物体离开重力场,重心就没有任何意义;而质心是反映质点系质量分布情况的一个几何点,它与作用力无关,无论质点系是否在重力场中,质心总是存在的。
三、确定物体重心位置的方法
前面所述的重心和形心坐标公式,是确定重心或形心位置的基本公式。
在实际问题中,可视具体情况灵活应用。
对于均质物体,如在几何形体上具有对称面、对称轴或对称中心,则该物体的重心或形心必在此对称面、对称轴或对称中心上。
下面介绍几种工程中常用的确定重心位置的方法。
1.组合法
工程中有些形体虽然比较复杂,但往往是由一些简单形体组成的,这些简单形体的重心通常是已知的或易求的,这样整个组合形体的重心就可用式(3-23)直接求得。
2.负面积法
如果在规则形体上切去一部分,例如钻一个孔等,则在求这类形体的重心时,可以认为原形体是完整的,只是把切去的部分视为负值(负体积或负面积),仍可利用式(3-23)来求形体的重心。
3.实验法(平衡法)
如物体的形状不是由基本形体组成,过于复杂或质量分布不均匀,其重心常用实验方法来确定。
(1)悬挂法 对于形状复杂的薄平板,确定重心位置时,可将板悬挂于任一点A,如图3-24a所示。
根据二力平
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