高中数学第一章三角函数122同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修40608299.docx
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高中数学第一章三角函数122同角三角函数的基本关系学案新人教A版必修40608299
1.2.2 同角三角函数的基本关系
预习课本P18~20,思考并完成以下问题
(1)同角三角函数的基本关系式有哪两种?
(2)已知sinα,cosα和tanα其中的一个值,如何求其余两个值?
同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系:
sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:
tan_α=.
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.
[点睛] 同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律,这里“同角”有两层含义:
一是“角相同”,二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下).关系式成立与角的表达形式无关,如sin23α+cos23α=1.
1.判断下列命题是否正确.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)对任意角α,sin2+cos2=1都成立.( )
(2)对任意角α,=tan2α都成立.( )
(3)若cosα=0,则sinα=1.( )
答案:
(1)√
(2)× (3)×
2.已知α∈,sinα=,则cosα=( )
A. B.-
C.-D.
答案:
A
3.已知cosα=,且α是第四象限角,则sinα=( )
A.±B.±
C.-D.-
答案:
C
4.已知sinα=,α∈,则tanα=________.
答案:
-
利用同角基本关系式求值
[典例]
(1)已知sinα=,并且α是第二象限角,求cosα和tanα.
(2)已知sinα+2cosα=0,求2sinαcosα-cos2α的值.
[解]
(1)cos2α=1-sin2α=1-2=2,又α是第二象限角,所以cosα<0,cosα=-,tanα==-.
(2)由sinα+2cosα=0,得tanα=-2.
所以2sinαcosα-cos2α====-1.
1.求三角函数值的方法
(1)已知sinθ(或cosθ)求tanθ常用以下方式求解
(2)已知tanθ求sinθ(或cosθ)常用以下方式求解
当角θ的范围不确定且涉及开方时,常因三角函数值的符号问题而对角θ分区间(象限)讨论.
2.已知角α的正切求关于sinα,cosα的齐次式的方法
(1)关于sinα,cosα的齐次式就是式子中的每一项都是关于sinα,cosα的式子且它们的次数之和相同,设为n次,将分子、分母同除以cosα的n次幂,其式子可化为关于tanα的式子,再代入求值.
(2)若无分母时,把分母看作1,并将1用sin2α+cos2α来代换,将分子、分母同除以cos2α,可化为关于tanα的式子,再代入求值.
[活学活用]
(1)已知cosα=-,求sinα和tanα.
(2)已知tanα=2,试求的值.
解:
(1)sin2α=1-cos2α=1-2=2,
因为cosα=-<0,所以α是第二或第三象限角,
当α是第二象限角时,sinα=,tanα==-;
当α是第三象限角时,sinα=-,tanα==.
(2)由tanα=2可得sinα=2cosα,
故===.
三角函数式的化简
[典例]
(1)化简:
.
(2)若角α是第二象限角,化简:
tanα.
[解]
(1)原式=
=
==1.
(2)原式=tanα=tanα=×,因为α是第二象限角,所以sinα>0,cosα<0,
所以原式=×=×=-1.
三角函数式的化简技巧
(1)化切为弦,即把正切函数都化为正、余弦函数,从而减少函数名称,达到化繁为简的目的.
(2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去根号达到化简的目的.
(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.
[活学活用]
化简:
(1)·;
(2).
解:
(1)原式=·
=·
=·=±1.
(2)原式=
=
==1.
证明简单的三角恒等式
[典例] 求证:
=.
[证明] 法一:
左边=
=
=
=
==右边,
∴原等式成立.
法二:
右边=
=
==
==左边,
∴原等式成立.
法三:
左边==,
右边==
===,
∴左边=右边,原等式成立.
法四:
∵-
=
=
=
=
=
=0,
∴=.
法五:
∵(tanα-sinα)(tanα+sinα)
=tan2α-sin2α
=tan2α-tan2α·cos2α
=tan2α(1-cos2α)
=tan2α·sin2α,
∴=.
证明三角恒等式常用的方法
(1)从一边开始,证得它等于另一边,一般是由比较复杂的一边开始化简到另一边,其依据是相等关系的传递性.
(2)左右归一法:
即证明左右两边都等于同一个式子,其依据是等于同一个量的两个量相等.
(3)综合法:
即由一个已知成立的等式(如公式等)恒等变形得到所要证明的等式,其依据是等价转化的思想.
(4)比较法:
即证左边-右边=0或证=1.
[活学活用]
求证:
2(1-sinα)(1+cosα)=(1-sinα+cosα)2.
证明:
法一:
左边=2-2sinα+2cosα-2sinαcosα
=1+sin2α+cos2α-2sinαcosα+2(cosα-sinα)
=1+2(cosα-sinα)+(cosα-sinα)2
=(1-sinα+cosα)2=右边.
法二:
∵左边=2-2sinα+2cosα-2sinαcosα,
右边=1+sin2α+cos2α-2sinα+2cosα-2sinαcosα=2-2sinα+2cosα-2sinαcosα,
∴左边=右边.
sinα±cosα型求值
[典例] 已知sinθ+cosθ=(0<θ<π),求sinθcosθ和sinθ-cosθ的值.
[解] 因为sinθ+cosθ=(0<θ<π),
所以(sinθ+cosθ)2=,
即sin2θ+2sinθcosθ+cos2θ=,
所以sinθcosθ=-.
由上知,θ为第二象限的角,
所以sinθ-cosθ>0,
所以sinθ-cosθ
=
==.
已知sinα±cosα,sinαcosα求值问题,一般利用三角恒等式,采用整体代入的方法求解.涉及的三角恒等式有:
①(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ;
②(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ;
③(sinθ+cosθ)2+(sinθ-cosθ)2=2;
④(sinθ-cosθ)2=(sinθ+cosθ)2-4sinθcosθ.
上述三角恒等式告诉我们,已知sinθ+cosθ,sinθ-cosθ,sinθcosθ中的任何一个,则另两个式子的值均可求出.
[活学活用]
1.已知0<θ<π,且sinθ-cosθ=,求sinθ+cosθ,tanθ的值.
解:
∵sinθ-cosθ=,∴(sinθ-cosθ)2=.
解得sinθcosθ=.
∵0<θ<π,且sinθ·cosθ=>0,
∴sinθ>0,cosθ>0.
∴sinθ+cosθ==
==.
由得
∴tanθ==.
2.若0<θ<π,sinθcosθ=-,求sinθ-cosθ.
解:
∵0<θ<π,sinθcosθ=-<0,
∴sinθ>0,cosθ<0.∴sinθ-cosθ>0.
∴sinθ-cosθ=====.
层级一 学业水平达标
1.(福建高考)若sinα=-,且α为第四象限角,则tanα的值等于( )
A. B.-
C.D.-
解析:
选D 因为sinα=-,且α为第四象限角,
所以cosα=,所以tanα=-,故选D.
2.若α为第三象限角,则+的值为( )
A.3B.-3
C.1D.-1
解析:
选B ∵α为第三象限角,
∴原式=+=-3.
3.下列四个结论中可能成立的是( )
A.sinα=且cosα=
B.sinα=0且cosα=-1
C.tanα=1且cosα=-1
D.α是第二象限角时,tanα=-
解析:
选B 根据同角三角函数的基本关系进行验证,因为当α=π时,sinα=0且cosα=-1,故B成立,而A、C、D都不成立.
4.已知sinα=,则sin4α-cos4α的值为( )
A.-B.-
C.D.
解析:
选A sin4α-cos4α=(sin2α+cos2α)(sin2α-cos2α)=sin2α-(1-sin2α)=2sin2α-1=2×2-1=-.
5.若α是三角形的最大内角,且sinα-cosα=,则三角形是( )
A.钝角三角形B.锐角三角形
C.直角三角形D.等腰三角形
解析:
选B 将sinα-cosα=两边平方,得1-2sinαcosα=,即2sinαcosα=.又α是三角形的内角,∴sinα>0,cosα>0,∴α为锐角.
6.若sinθ=-,tanθ>0,则cosθ=________.
解析:
由已知得θ是第三象限角,
所以cosθ=-=-=-.
答案:
-
7.化简:
=________.
解析:
原式=
==|cos40°-sin40°|
=cos40°-sin40°.
答案:
cos40°-sin40°
8.已知tanα=-,则=________.
解析:
=
=====-.
答案:
-
9.化简:
(1);
(2).
解:
(1)原式=
=
=
==1.
(2)原式===cosθ.
10.已知sinα+cosα=,求tanα+及sinα-cosα的值.
解:
将sinα+cosα=两边平方,得sinαcosα=-.
∴tanα+==-3,
(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα=1+=,
∴sinα-cosα=±.
层级二 应试能力达标
1.已知tanα=,且α∈,则sinα的值是( )
A.- B.
C.D.-
解析:
选A ∵α∈,∴sinα<0.
由tanα==,sin2α+cos2α=1,
得sinα=-.
2.化简(1-cosα)的结果是( )
A.sinαB.cosα
C.1+sinαD.1+cosα
解析:
选A (1-cosα)=·(1-cosα)=·(1-cosα)===sinα.
3.已知θ是第三象限角,且sin4θ+cos4θ=,则sinθcosθ的值为( )
A.B.-
C.D.-
解析:
选A 由sin4θ+cos4θ=,得
(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=.
∴sin2θcos2θ=.∵θ是第三象限角,
∴sinθ<0,cosθ<0,∴sinθcosθ=.
4.已知=2,则sinθcosθ的值是( )
A.B.±
C.D.-
解析:
选C 由条件得sinθ+cosθ=2sinθ-2cosθ,
即3cosθ=sinθ,tanθ=3,
∴sinθcosθ====.
5.已知sinαcosα=,且π<α<,则cosα-sinα=________.
解析:
因为π<α<,所以cosα<0,sinα<0.利用三角函数线,知cosα 答案: - 6.若sinα+cosα=1,则sinnα+cosnα(n∈Z)的值为________. 解析: ∵sinα+cosα=1, ∴(sinα+cosα)2=1,又sin2α+cos2α=1, ∴sinαcosα=0,∴sinα=0或cosα=0, 当sinα=0时,cosα=1,此时有sinnα+cosnα=1; 当cosα=0时,sinα=1,也有sinnα+cosnα=1, ∴sinnα+cosnα=1. 答案: 1 7.已知=,α∈. (1)求tanα的值; (2)求的值. 解: (1)由=,得3tan2α-2tanα-1=0, 即(3tanα+1)(tanα-1)=0, 解得tanα=-或tanα=1. 因为α∈,所以tanα<0,所以tanα=-. (2)由 (1),得tanα=-,所以===. 8.求证: -=. 证明: 左边= = = = ==右边. 所以原等式成立. 精美句子 1、善思则能“从无字句处读书”。 读沙漠,读出了它坦荡豪放的胸怀;读太阳,读出了它普照万物的无私;读春雨,读出了它润物无声的柔情。 读大海,读出了它气势磅礴的豪情。 读石灰,读出了它粉身碎骨不变色的清白。 2、幸福幸福是“临行密密缝,意恐迟迟归”的牵挂;幸福是“春种一粒粟,秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下,悠然见南山”的闲适;幸福是“奇闻共欣赏,疑义相与析”的愉悦。 幸福是“随风潜入夜,润物细无声”的奉献;幸福是“夜来风雨声,花落知多少”的恬淡。 幸福是“零落成泥碾作尘,只有香如故”的圣洁。 幸福是“壮志饥餐胡虏肉,笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。 幸福是“先天下之忧而忧,后天下之乐而乐”的胸怀。 幸福是“人生自古谁无死,留取丹心照汗青”的气节。 3、大自然的语言丰富多彩: 从秋叶的飘零中,我们读出了季节的变换;从归雁的行列中,我读出了集体的力量;从冰雪的消融中,我们读出了春天的脚步;从穿石的滴水中,我们读出了坚持的可贵;从蜂蜜的浓香中,我们读出了勤劳的甜美。 4、成功与失败种子,如果害怕埋没,那它永远不能发芽。 鲜花,如果害怕凋谢,那它永远不能开放。 矿石,如果害怕焚烧(熔炉),那它永远不能成钢(炼成金子)。 蜡烛,如果害怕熄灭(燃烧),那它永远不能发光。 航船,如果害怕风浪,那它永远不能到达彼岸。 5、墙角的花,当你孤芳自赏时,天地便小了。 井底的蛙,当你自我欢唱时,视野便窄了。 笼中的鸟,当你安于供养时,自由便没了。 山中的石! 当你背靠群峰时,意志就坚了。 水中的萍! 当你随波逐流后,根基就没了。 空中的鸟! 当你展翅蓝天中,宇宙就大了。 空中的雁! 当你离开队伍时,危险就大了。 地下的煤! 你燃烧自己后,贡献就大了 6、朋友是什么? 朋友是快乐日子里的一把吉它,尽情地为你弹奏生活的愉悦;朋友是忧伤日子里的一股春风,轻轻地为你拂去心中的愁云。 朋友是成功道路上的一位良师,热情的将你引向阳光的地带;朋友是失败苦闷中的一盏明灯,默默地为你驱赶心灵的阴霾。 7、一粒种子,可以无声无息地在泥土里腐烂掉,也可以长成参天的大树。 一块铀块,可以平庸无奇地在石头里沉睡下去,也可以产生惊天动地的力量。 一个人,可以碌碌无为地在世上厮混日子,也可以让生命发出耀眼的光芒。 8、青春是一首歌,她拨动着我们年轻的心弦;青春是一团火,她点燃了我们沸腾的热血; 青春是一面旗帜,她召唤着我们勇敢前行;青春是一本教科书,她启迪着我们的智慧和心灵。
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