计算方法与实习第五版期末复习资料.docx
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计算方法与实习第五版期末复习资料
计算方法与实习(第五版)期末复习资料
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第三章方程组求解
1.消去法:
高斯消去法,列主元消去法,高斯-约当法,
消元因子
消元公式
回代公式
2.矩阵直接分解:
紧凑格式
3.追赶法
4.迭代法:
收敛条件
①雅可比法迭代格式:
②高斯-赛德尔法迭代格式:
第四章插值法
1.插值多项式
2.拉格朗日插值:
插值基函数
3.差商:
4.牛顿插值公式
f(x)=f(x0)+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+…
+f[x0,x1,…,xn](x-x0)(x-x1)…(x-xn-1)
5.差分(等间距节点)
6.牛顿前插公式
7.样条插值:
三次样条插值,要求光滑、连续
第五章曲线拟合
最小二乘原理
列表计算累加和如下
j
…
…
1
2
…
n
从正规方程组中解得拟合多项式的各个系数值ai(i=0,1,…,m)。
第六章数值积分、微分
1.积分的有限过程
a)插值型求积公式
用插值多项式代替被积函数,
从而在有两个求积节点时得到梯形公式
有三个等距求积节点时得到Simpson公式
2.柯特斯公式(等距节点情况):
①柯特斯系数
②柯特斯求积公式(有五个等距求积节点时)
3.复化求积
①复化梯形公式
②复化Simpson公式
③复化柯特斯公式
4.步长自适应
5.龙贝格求积公式
6.数值微分
①二点公式
②三点公式
第七章常微分方程的数值解法
1.边值问题和初值问题
①边值问题
②初值问题
求解满足上述两式的近似值yi,即在a≤x0≤x1≤…≤xn≤b上的y(xi)的近似值yi(i=0,1,2,…,n)。
通常取等距节点,即h=xi+1-xi,有xi=x0+ih(i=0,1,2,…,n)。
初值问题的数值解法特点:
按节点顺序依次推进,由已知的y0,y1,…,yi,求出yi+1,这可以通过递推公式得到。
2.单步法
①欧拉折线法
②改进欧拉法
③四阶龙格-库塔法
3.多步法:
阿当姆斯内插、外推预测校正公式
4.一阶微分方程组求解
5.高阶微分方程求解
例1.求解超越方程
在区间〔0,1〕内的根,要求有二位有效数字。
解:
设f(x)=
该函数是连续的,且f(0)=1,f
(1)=e-1-1<0,
因f(0)×f
(1)<0,
f’(x)=-e-x-π/2cos(πx/2)=-(e-x+π/2cos(πx/2))<0〔0,1〕,
单调递减,所以方程在〔0,1〕内只有1个根。
用二分法求解,先求二分次数
要求满足
1/2k+1(1-0)<10-2/2
则解得k后整k=6,用二分法求解过程如下:
kakbkxkf(xk)
0010.5-0.100576
100.50.250.396117
20.250.50.3750.131719
30.3750.50.43750.011255
40.43750.50.46875-0.045775
50.43750.468750.4453125-0.003208
60.43750.44531250.44140625
最后求得根为0.44。
例2.用牛顿迭代法求出f(x)=x41+x3+1=0在x0=-1附近的实根,要求迭代至
|xk+1-xk|<0.001时停止。
解:
迭代是否收敛可用f(x0)f’’(x0)>0判断,
f(x0)=f(-1)=(-1)41+(-1)3+1=-1<0
f’(x)=41x40+3x2,f’’(x)=41*40x39+3*2x,
f’’(x0)=41*40*(-1)39+3*2*(-1)<0,
所以f(x0)f’’(x0)>0,迭代是收敛的。
牛顿迭代格式为
,取x0=-1,计算如下
kxk
0-1
1-0.9773
2-0.9605
3-0.9534
4-0.9525
5-0.9525
方程在x0=-1附近的实根为-0.9525。
例3.用高斯消去法解下列线性方程组:
2X1+2X2+3X3=3
4X1+7X2+7X3=1
-2X1+4X2+5X3=-7
解:
将线性方程组写成增广矩阵的形式:
例4.用高斯-赛得尔迭代解方程组
解:
考察收敛性,收敛条件
,
10>|-1|+|-2|=3
10>|-1|+|-2|=3
5>|-1|+|-1|=2
因此满足收敛条件,有相应迭代格式
取方程组初值为
,计算如下:
k
0000
10.72000.90201.1644
21.04311.16721.2821
31.09311.19571.2928
41.09911.19951.2997
51.09991.19991.2997
61.10001.20001.3000
所以方程组的解为X1=1.1,X2=1.2,X3=1.3
例5.对f(x)=e-x给出四点函数值
x
0.1
0.15
0.25
0.30
e-x
0.904837
0.860708
0.778801
0.740818
用插值法求e-x在x=0.20处的近似值。
解:
构造拉格朗日插值多项式通过四个节点(n=3),
在x=0.20处对应的插值基函数为
所以
=0.81873
例6.已知实验数据如下
Xj
-3
-2
-1
0
1
2
3
Yj
-0.71
-0.01
0.51
0.82
0.88
0.81
0.49
试拟合成
的形式。
解:
要拟合的多项式次数m=2,n=7,有正规方程组
列表计算累加和如下
j
1
-3
9
-27
81
-0.71
2.13
-6.30
2
-2
4
-8
16
0.01
0.02
-0.04
3
-1
1
-1
1
0.51
0.51
0.51
4
0
0
0
0
0.82
0
0
5
1
1
1
1
0.88
0.88
0.88
6
2
4
8
16
0.81
1.62
3.24
7
3
9
27
81
0.49
1.47
4.41
0
28
0
196
2.79
5.61
2.61
得到正规方程组
解得方程组,a0=0.806,a1=0.200,a2=-0.102,所以拟合式为
例7.用四阶龙格-库塔法计算
取h=0.2。
解:
有四阶龙格—库塔法公式
计算如下
xiyik1k2k3k4
011.0000.918180.908640.84324
0.21.183230.845170.794470.787500.74404
0.41.341670.745400.710100.704810.67326
0.61.483290.674280.647910.643740.61950
0.81.612530.620300.599650.596260.57690
1.01.73276
所以y(0.2)=1.18323,y(0.4)=1.34167,y(0.6)=1.48329,
y(0.8)=1.61253,y(1.0)=1.73276
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