点和圆直线和圆的位置关系同步练习题含答案.docx
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点和圆直线和圆的位置关系同步练习题含答案
.-点和圆、直线和圆的位置关系(同步练习题)(-含答案)
————————————————————————————————作者:
————————————————————————————————日期:
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
1.如图,⊙O的半径为r.
(1)点A在⊙O外,则OA__>___r;点B在⊙O上,则OB__=___r;点C在⊙O内,则OC__<___r.
(2)若OA>r,则点A在⊙O__外___;若OB=r,则点B在⊙O__上___;若OC<r,则点C在⊙O__内___.
2.在同一平面内,经过一个点能作__无数___个圆;经过两个点可作__无数___个圆;经过__不在同一直线上___的三个点只能作一个圆.
3.三角形的外心是三角形外接圆的圆心,此点是__三边垂直平分线的交点___.
4.反证法首先假设命题的__结论___不成立,经过推理得出矛盾,由此判定假设__错误___,从而得到原命题成立.
知识点1:
点与圆的位置关系
1.已知点A在直径为8cm的⊙O内,则OA的长可能是(D)
A.8cm B.6cm C.4cm D.2cm
2.已知圆的半径为6cm,点P在圆外,则线段OP的长度的取值范围是__OP>6_cm___.
3.已知⊙O的半径为7cm,点A为线段OP的中点,当OP满足下列条件时,分别指出点A与⊙O的位置关系:
(1)OP=8cm;
(2)OP=14cm;(3)OP=16cm.
解:
(1)在圆内
(2)在圆上 (3)在圆外
知识点2:
三角形的外接圆
4.如图,点O是△ABC的外心,∠BAC=55°,则∠BOC=__110°___.
5.直角三角形外接圆的圆心在__斜边的中点___上.若直角三角形两直角边长为6和8,则该直角三角形外接圆的面积为__25π___.
6.一个三角形的外心在其内部,则这个三角形是(C)
A.任意三角形B.直角三角形
C.锐角三角形D.钝角三角形
7.如图,一只猫观察到一老鼠洞的三个洞口A,B,C,这三个洞口不在同一条直线上,请问这只猫应该在什么地方才能最省力地同时顾及三个洞口?
作出这个位置.
解:
图略.连接AB,BC,分别作线段AB,BC的垂直平分线,且相交于点O,点O即为所求
知识点3:
反证法
8.用反证法证明:
“垂直于同一条直线的两条直线平行”第一步先假设(D)
A.相交
B.两条直线不垂直
C.两条直线不垂直于同一条直线
D.垂直于同一条直线的两条直线相交
9.用反证法证明:
“△ABC中至少有两个锐角”,第一步假设为__△ABC中至多有一个锐角___.
10.用反证法证明:
两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.
已知:
如图,直线l1,l2被l3所截,∠1+∠2=180°,求证:
l1__∥___l2.
证明:
假设l1__不平行___l2,即l1与l2相交于一点P,
则∠1+∠2+∠P__=___180°(__三角形内角和定理___),
所以∠1+∠2__<___180°,
这与__已知___矛盾,
故__假设___不成立,
所以__l1∥l2___.
11.在数轴上,点A所表示的实数为3,点B所表示的实数为a,⊙A的半径为2.下列说法中,不正确的是(A)
A.当a<5时,点B在⊙A内
B.当1<a<5时,点B在⊙A内
C.当a<1时,点B在⊙A外
D.当a>5时,点B在⊙A外
12.如图,△ABC的外接圆圆心的坐标是__(-2,-1)___.
13.在平面直角坐标系中,⊙A的半径是4,圆心A的坐标是(2,0),则点P(-2,1)与⊙A的位置关系是__点P在⊙A外___.
14.若O为△ABC的外心,且∠BOC=60°,则∠BAC=__30°或150°___.
15.如图,△ABC中,AC=3,BC=4,∠C=90°,以点C为圆心作⊙C,半径为r.
(1)当r在什么范围时,点A,B在⊙C外?
(2)当r在什么范围时,点A在⊙C内,点B在⊙C外?
解:
(1)0<r<3
(2)3<r<4
16.如图,⊙O′过坐标原点,点O′的坐标为(1,1),试判断点P(-1,1),Q(1,0),R(2,2)与⊙O′的位置关系.
解:
点P在⊙O′外,点Q在⊙O′内,点R在⊙O′上
17.小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)若在△ABC中,AB=8米,AC=6米,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.
解:
(1)用尺规作出两边的垂直平分线,交于O点,以O为圆心,OA长为半径作出⊙O,⊙O即为所求作的花坛的位置(图略)
(2)25π平方米
18.如图①,在△ABC中,BA=BC,D是平面内不与点A,B,C重合的任意一点,∠ABC=∠DBE,BD=BE.
(1)求证:
△ABD≌△CBE;
(2)如图②,当点D是△ABC的外接圆圆心时,请判断四边形BECD的形状,并证明你的结论.
解:
(1)由SAS可证
(2)四边形BECD是菱形.证明:
∵△ABD≌△CBE,∴CE=AD.∵点D是△ABC的外接圆圆心,∴DA=DB=DC.又∵BD=BE,∴BD=BE=EC=CD,∴四边形BECD是菱形
24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
1.直线和圆有__相交___、__相切___、__相离___三种位置关系.
2.直线a与⊙O__有唯一___公共点,则直线a与⊙O相切;直线b与⊙O__有两个___公共点,则直线b与⊙O相交;直线c与⊙O__没有___公共点,则直线c与⊙O相离.
3.设⊙O的半径为r,直线到圆心的距离为d,则:
(1)直线l1与⊙O__相离___,则d__>___r;
(2)直线l2与⊙O__相切___,则d__=___r;
(3)直线l3与⊙O__相交___,则d__<___r.
知识点1:
直线与圆的位置关系的判定
1.(2014·白银)已知⊙O的半径是6cm,点O到同一平面内直线l的距离为5cm,则直线l与⊙O的位置关系是(A)
A.相交 B.相切 C.相离 D.无法判断
2.已知一条直线与圆有公共点,则这条直线与圆的位置关系是(D)
A.相离B.相切C.相交D.相切或相交
3.在平面直角坐标系xOy中,以点(-3,4)为圆心,4为半径的圆(C)
A.与x轴相交,与y轴相切
B.与x轴相离,与y轴相交
C.与x轴相切,与y轴相交
D.与x轴相切,与y轴相离
4.在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=4cm,BC=2cm,以C为圆心,r为半径的圆与AB有何种位置关系?
请你写出判断过程.
(1)r=1.5cm;
(2)r=
cm;(3)r=2cm.
解:
过点C作CD⊥AB,垂足为D,可求CD=
.
(1)r=1.5cm时,相离;
(2)r=
cm时,相切;
(3)r=2cm时,相交
知识点2:
直线与圆的位置关系的性质
5.直线l与半径为r的⊙O相交,且点O到直线l的距离为5,则半径r的取值范围是(A)
A.r>5B.r=5
C.0<r<5D.0<r≤5
6.如图,⊙O的半径OC=5cm,直线l⊥OC,垂足为H,且l交⊙O于A,B两点,AB=8cm,则l沿OC所在的直线向下平移,当l与⊙O相切时,平移的距离为(B)
A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm
7.已知⊙O的圆心O到直线l的距离为d,⊙O的半径为r,若d,r是方程x2-4x+m=0的两个根,且直线l与⊙O相切,则m的值为__4___.
8.在Rt△ABC中,∠A=90°,∠C=60°,BO=x,⊙O的半径为2,求当x在什么范围内取值时,AB所在的直线与⊙O相交、相切、相离?
解:
过点O作OD⊥AB于D,可得OD=
OB=
x.当AB所在的直线与⊙O相切时,OD=r=2,∴BO=4,∴0<x<4时,相交;x=4时,相切;x>4时,相离
9.已知⊙O的面积为9πcm2,若点O到直线l的距离为πcm,则直线l与⊙O的位置关系是(C)
A.相交B.相切C.相离D.无法确定
10.已知⊙O的半径为3,直线l上有一点P满足PO=3,则直线l与⊙O的位置关系是(D)
A.相切B.相离
C.相离或相切D.相切或相交
11.已知⊙O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d.若直线l与⊙O相切,则以d,r为根的一元二次方程可能为(B)
A.x2-3x=0B.x2-6x+9=0
C.x2-5x+4=0D.x2+4x+4=0
12.如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=3,⊙O是以AB为直径的圆,则直线DC与⊙O的位置关系是__相切___.
13.已知⊙O的半径是5,圆心O到直线AB的距离为2,则⊙O上有且只有__3___个点到直线AB的距离为3.
14.如图,⊙P的圆心P(-3,2),半径为3,直线MN过点M(5,0)且平行于y轴,点N在点M的上方.
(1)在图中作出⊙P关于y轴对称的⊙P′,根据作图直接写出⊙P′与直线MN的位置关系;
(2)若点N在
(1)中的⊙P′上,求PN的长.
解:
(1)图略,⊙P′与直线MN相交
(2)连接PP′并延长交MN于点Q,连接PN,P′N.由题意可知:
在Rt△P′QN中,P′Q=2,P′N=3,由勾股定理可求出QN=
;在Rt△PQN中,PQ=3+5=8,QN=
,由勾股定理可求出PN=
=
15.如图,半径为2的⊙P的圆心在直线y=2x-1上运动.
(1)当⊙P和x轴相切时,写出点P的坐标,并判断此时y轴与⊙P的位置关系;
(2)当⊙P和y轴相切时,写出点P的坐标,并判断此时x轴与⊙P的位置关系;
(3)⊙P是否能同时与x轴和y轴相切?
若能,写出点P的坐标;若不能,说明理由.
解:
∵⊙P的圆心在直线y=2x-1上,∴圆心坐标可设为(x,2x-1).
(1)当⊙P和x轴相切时,2x-1=2或2x-1=-2,解得x=1.5或x=-0.5,∴P1(1.5,2),P2(-0.5,-2).∵1.5<2,|-0.5|<2,∴y轴与⊙P相交
(2)当⊙P和y轴相切时,x=2或-2,得2x-1=3或2x-1=-5,∴P1(2,3),P2(-2,-5).∵|-5|>2,且|3|>2,∴x轴与⊙P相离 (3)不能.∵当x=2时,y=3,当x=-2时,y=-5,|-5|≠2,3≠2,∴⊙P不能同时与x轴和y轴相切
16.已知∠MAN=30°,O为边AN上一点,以O为圆心,2为半径作⊙O,交AN于D,E两点,设AD=x.
(1)如图①,当x取何值时,⊙O与AM相切?
(2)如图②,当x取何值时,⊙O与AM相交于B,C两点,且∠BOC=90°?
解:
(1)过O点作OF⊥AM于F,当OF=r=2时,⊙O与AM相切,此时OA=4,故x=AD=2
(2)过O点作OG⊥AM于G,∵OB=OC=2,∠BOC=90°,∴BC=2
,∴BG=CG=
,∴OG=
.∵∠A=30°,∴OA=2
,∴x=AD=2
-2
第2课时 切线的判定与性质
1.经过半径的__外端___,并且__垂直___于这条半径的直线是圆的切线.
2.圆的切线必__垂直___于过__切点___的半径.
知识点1:
切线的判定
1.下列说法中,正确的是(D)
A.AB垂直于⊙O的半径,则AB是⊙O的切线
B.经过半径外端的直线是圆的切线
C.经过切点的直线是圆的切线
D.圆心到直线的距离等于半径,那么这条直线是圆的切线
2.如图,△ABC的一边AB是⊙O的直径,请你添加一个条件,使BC是⊙O的切线,你所添加的条件为__∠ABC=90°___.
3.如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠D=30°.求证:
CD是⊙O的切线.
解:
连接OC.∵AC=CD,∠D=30°,∴∠A=∠D=30°.∵OA=OC,∴∠OCA=∠A=30°,∴∠COD=60°,∴∠OCD=90°,∴OC⊥CD,∴CD是⊙O的切线
4.(2014·孝感)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°.
(1)先作∠ABC的平分线交AC边于点O,再以点O为圆心,OC为半径作⊙O;(要求:
尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)请你判断
(1)中AB与⊙O的位置关系,并证明你的结论.
解:
(1)如图
(2)AB与⊙O相切.证明:
作OD⊥AB于点D,∵BO平分∠ABC,∠ACB=90°,OD⊥AB,∴OD=OC,∴AB与⊙O相切
知识点2:
切线的性质
5.(2014·邵阳)如图,△ABC的边AC与⊙O相交于C,D两点,且经过圆心O,边AB与⊙O相切,切点为B.已知∠A=30°,则∠C的大小是(A)
A.30° B.45° C.60° D.40°
第5题图)
第6题图)
第7题图)
6.如图,⊙O的半径为3,P是CB延长线上一点,PO=5,PA切⊙O于A点,则PA=__4___.
7.如图,已知△ABC内接于⊙O,BC是⊙O的直径,MN与⊙O相切于点A.若∠MAB=30°,则∠B=__60°___.
8.如图,等腰△OAB中,OA=OB,以点O为圆心作圆与底边AB相切于点C.求证:
AC=BC.
解:
∵AB切⊙O于点C,∴OC⊥AB.∵OA=OB,∴AC=BC
9.如图,AB为⊙O的直径,PD切⊙O于点C,交AB的延长线于点D,且CO=CD,则∠PCA=(D)
A.30° B.45° C.60° D.67.5°
第9题图)
第10题图)
第11题图)
10.如图,已知线段OA交⊙O于点B,且OB=AB,点P是⊙O上的一个动点,那么∠OAP的最大值是(A)
A.30°B.45°C.60°D.90°
11.如图,已知AB是⊙O的直径,AD切⊙O于点A,点C是
的中点,则下列结论不成立的是(D)
A.OC∥AEB.EC=BC
C.∠DAE=∠ABED.AC⊥OE
12.(2014·自贡)如图,一个边长为4cm的等边三角形ABC的高与⊙O的直径相等.⊙O与BC相切于点C,与AC相交于点E,则CE的长为__3___cm.
第12题图)
第13题图)
13.如图,直线PA过半圆的圆心O,交半圆于A,B两点,PC切半圆于点C,已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为__4___.
14.(2014·毕节)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以AC为直径作⊙O交AB于点D,连接CD.
(1)求证:
∠A=∠BCD.
(2)若M为线段BC上一点,试问当点M在什么位置时,直线DM与⊙O相切?
并说明理由.
解:
(1)∵AC为直径,∴∠ADC=90°,∴∠A+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°,∴∠BCD+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD
(2)当点M是BC的中点时,直线DM与⊙O相切.理由:
如图,连接DO.∵DO=CO,∴∠1=∠2.∵∠BDC=90°,点M是BC的中点,∴DM=CM,∴∠4=∠3.∵∠2+∠4=90°,∴∠1+∠3=90°,∴直线DM与⊙O相切
15.如图,已知AB是⊙O的直径,点P是AB延长线上的一个动点,过点P作⊙O的切线,切点为C,∠APC的平分线交AC于点D,求∠CDP的度数.
解:
∵PC是⊙O的切线,∴OC⊥OP,即∠OCP=90°.∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°,∴∠ACB-∠OCB=∠OCP-∠OCB,即∠ACO=∠BCP.又OA=OC,∴∠A=∠ACO,∴∠BCP=∠BAC.∵PD是∠APC的平分线,∴∠CPD=∠APD.∵∠ABC=∠CPD+∠APD+∠BCP,∠BAC+∠ABC=90°,∴∠BAC+∠CPD+∠APD+∠BCP=90°,∴∠CDP=∠APD+∠BAC=45°
16.(2014·德州)如图,⊙O的直径AB为10cm,弦BC为6cm,D,E分别是∠ACB的平分线与⊙O,AB的交点,P为AB延长线上一点,且PC=PE.
(1)求AC,AD的长;
(2)试判断直线PC与⊙O的位置关系,并说明理由.
解:
(1)连接BD.∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.在Rt△ABC中,AC=
=
=8(cm).∵CD平分∠ACB,∴
=
,∴AD=BD.在Rt△ABD中,AD2+BD2=AB2,∴AD=
AB=
×10=5
(cm)
(2)直线PC与⊙O相切.理由:
连接OC.∵OC=OA,∴∠CAO=∠OCA.∵PC=PE,∴∠PCE=∠PEC.∵∠PEC=∠CAE+∠ACE,∴∠PCB+∠ECB=∠CAE+∠ACE.∵CD平分∠ACB,∴∠ACE=∠ECB,∴∠PCB=∠CAE,∴∠PCB=∠ACO.∵∠ACB=90°,∴∠OCP=∠OCB+∠PCB=∠ACO+∠OCB=∠ACB=90°,∴OC⊥PC,∴直线PC与⊙O相切
第3课时 切线长定理
1.经过__圆外___一点作圆的切线,这点与切点之间__线段___的长,叫做这点到圆的切线长.
2.圆的切线长定理:
从圆外一点可以引圆的__两___条切线,它们的切线长__相等___,这一点和圆心的连线__平分___两条切线的夹角.
3.与三角形各边都__相切___的圆叫做三角形的内切圆,圆心叫做三角形的__内___心,它是三角形__三条角平分线___的交点.
知识点1:
切线长定理
1.如图,从⊙O外一点P引⊙O的两条切线PA,PB,切点分别为A,B.如果∠APB=60°,PA=8,那么弦AB的长是(B)
A.4 B.8 C.4
D.8
第1题图)
第2题图)
2.如图,半圆O与等腰直角三角形两腰CA,CB分别切于D,E两点,直径FG在AB上,若BG=
-1,则△ABC的周长为(A)
A.4+2
B.6
C.2+2
D.4
3.(2014·天水)如图,PA,PB分别切⊙O于点A,B,点C在⊙O上,且∠ACB=50°,则∠P=__80°___.
4.如图,PA,PB是⊙O的两条切线,A,B为切点,∠OAB=30°.
(1)求∠APB的度数;
(2)当OA=3时,求AP的长.
解:
(1)∠APB=60°
(2)AP=3
知识点2:
三角形的内切圆
5.如图,点O是△ABC的内切圆的圆心,若∠BAC=80°,则∠BOC=(A)
A.130°B.120°C.100°D.90°
6.已知△ABC的周长为24,若△ABC的内切圆半径为2,则△ABC的面积为__24___.
7.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,则△ABC的内切圆的半径为__2___.
8.如图,△ABC的内切圆⊙O与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,且AB=18cm,BC=28cm,CA=26cm,求AF,BD,CE的长.
解:
根据切线长定理得AE=AF,BF=BD,CE=CD.设AE=AF=xcm,则CE=CD=(26-x)cm,BF=BD=(18-x)cm.∵BC=28cm,∴(18-x)+(26-x)=28,解得x=8,∴AF=8cm,BD=10cm,CE=18cm
9.正三角形的内切圆半径为1,那么三角形的边长为(B)
A.2B.2
C.
D.3
10.如图,AB,AC与⊙O相切于点B,C,∠A=50°,点P是圆上异于B,C的一动点,则∠BPC的度数是(C)
A.65°B.115°
C.65°或115°D.130°或50°
第10题图)
第11题图)
11.(2014·泰安)如图,P为⊙O的直径BA延长线上的一点,PC与⊙O相切,切点为C,点D是⊙O上一点,连接PD.已知PC=PD=BC.下列结论:
(1)PD与⊙O相切;
(2)四边形PCBD是菱形;(3)PO=AB;(4)∠PDB=120°.
其中正确的个数为(A)
A.4B.3C.2D.1
12.如图,已知PA,PB分别切⊙O于点A,B,点C在⊙O上,∠BCA=65°,则∠P=__50°___.
第12题图)
第13题图)
13.如图,PA,PB分别与⊙O相切于点A,B,⊙O的切线EF分别交PA,PB于点E,F,切点C在
上,若PA长为2,则△PEF的周长是__4___.
14.如图,点I为△ABC的内心,点O为△ABC的外心,若∠BOC=140°,求∠BIC的度数.
解:
∵点O为△ABC的外心,∠BOC=140°,∴∠A=70°.又∵点I为△ABC的内心,∴∠BIC=180°-
(180°-∠A)=90°+
∠A=125°
15.如图,PA,PB是⊙O的切线,A,B为切点,AC是⊙O的直径,AC,PB的延长线相交于点D.
(1)若∠1=20°,求∠APB的度数;
(2)当∠1为多少度时,OP=OD?
并说明理由.
解:
(1)∵PA是⊙O的切线,∴∠BAP=90°-∠1=70°.又∵PA,PB是⊙O的切线,∴PA=PB,∴∠BAP=∠ABP=70°,∴∠APB=180°-70°×2=40°
(2)当∠1=30°时,OP=OD.理由:
当∠1=30°时,由
(1)知∠BAP=∠ABP=60°,∴∠APB=180°-60°×2=60°.∵PA,PB是⊙O的切线,∴∠OPB=
∠APB=30°.又∵∠D=∠ABP-∠1=60°-30°=30°,∴∠OPB=∠D,∴OP=OD
16.如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是它的两条切线,DE切⊙O于点E,交AM于点D,交BN于点C,F是CD的中点,连接OF.
(1)求证:
OD∥BE;
(2)猜想:
OF与CD有何数量关系?
并说明理由.
解:
(1)连接OE,∵AM,DE是⊙O的切线,OA,OE是⊙O的半径,∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°,∴∠AOD=∠EOD=
∠AOE.∵∠ABE=∠OEB,∠ABE+∠OEB=∠AOE,∴∠ABE=
∠AOE,∴∠AOD=∠ABE,∴OD∥BE
(2)OF=
CD,理由:
连接OC,∵BC,CE是⊙O的切线,∴∠OCB=∠OCE.同理:
∠ADO=∠EDO.∵AM∥BN,∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180°,∴∠EDO+∠OCE=90°,∴∠DOC=90°.在Rt△DOC中,∵F是DC的中点,∴OF=
CD
专题训练(七) 切线证明的方法
一、有交点,连半径,证垂直
(一)利用角度转换证垂直
1.如图,AB是⊙O的弦,OD⊥OB,交AB于E,且AD=ED.求证:
AD是⊙O的切线.
解:
连接OA.∵OA=OB,∴∠B=∠OAB.又∵AD=DE,∴∠DAE=∠DEA,而∠DEA=∠BEO,∠B+∠BEO=90°,∴∠DAE+∠OAB=90°,∴OA⊥AD,∴AD是⊙O的切线
2.如图,△ABC内接于⊙O,∠B=60°,CD是⊙O的直径,点P是CD延长线
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