三角形全等单元测试7.docx
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三角形全等单元测试7
1.下列命题:
①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等;②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等;③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等.其中正确的是( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
2.如图所示,∠1=∠2,AE⊥OB于E,BD⊥OA于D,交点为C,则图中全等三角形共有( )
A.2对B.3对C.4对D.5对
3.下列说法中,正确的有( )
①三角对应相等的2个三角形全等;②三边对应相等的2个三角形全等;
③两角、一边相等的2个三角形全等;④两边、一角对应相等的2个三角形全等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图,D在AB上,E在AC上,且∠B=∠C,则在下列条件:
①AB=AC;②AD=AE;③BE=CD.其中能判定△ABE≌△ACD的有( )A.0个B.1个C.2个D.3个
5.△ABC中,AB=AC,三条高AD,BE,CF相交于O,
那么图中全等的三角形有( )
A.5对B.6对C.7对D.8对
6.有以下四个说法:
①两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等;②两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等;③两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等;( )
A.1个B.2个C.3个D.0个
7.如图,在△ABC与△ADE中,∠BAD=∠CAE,BC=DE,且点C在DE上,若添加一个条件,能判定△ABC≌△ADE,这个条件是( )A.∠BAC=∠DAEB.∠B=∠DC.AB=ADD.AC=AE
8.给出下列各命题:
①有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等;
②有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等;
③有两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等;④有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等;
其中假命题共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个
9.不能判断△ABC≌△DEF的条件是( )
A.∠A=∠F,BA=EF,AC=FDB.∠B=∠E,BC=EF,高AH=DG
C.∠C=∠F=90°∠A=60°,∠E=30°,AC=DFD.∠A=∠D,AB=DE,AC=DF
10.如图,已知AB=AC,D是BC的中点,E是AD上的一点,图中全等三角形有几对( )
A.1B.2C.3D.4
11.如图,FD⊥AO于D,FE⊥BO于E,下列条件:
①OF是∠AOB的平分线;
②DF=EF;③DO=EO;④∠OFD=OFE.其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
12.下列说法中,正确的个数是( )
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等;
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等;④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
13.对于条件:
①两条直角边对应相等;②斜边和一锐角对应相等;③斜边和一直角边对应相等;④直角边和一锐角对应相等;以上能断定两直角三角形全等的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
14.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,
计算图中实线所围成的图形的面积S是( )
A.50B.62C.65D.68
15.如图,AB=AC,AD=AE,∠B=50°,∠AEC=120°,则∠DAC的度数等于( )
A.120°B.70°C.60°D.50°
16.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等,
那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是( )A.相等B.互余C.互补或相等D.不相等
17.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD=DC,则下列结论中一定错误的是( )
A.∠BAC=∠BB.∠1=∠2C.AD=ACD.∠B=∠C
18.如图,AB.CD相交于O,O是AB的中点,∠A=∠B=80°,
若∠D=40°,则∠C=( )
A.80°B.40°C.60°D.无法确定
19.如图,AB∥FC,DE=EF,AB=15,CF=8,则BD等于( )
A.8B.7C.6D.5
20.如图,在△ABC中,AD是∠A的外角平分线,P是AD上异于A的任意一点,
设PB=m,PC=n,AB=c,AC=b,则(m+n)与(b+c)的大小关系是( )
A.m+n>b+cB.m+n<b+cC.m+n=b+cD.无法确定
21.已知△ABC中,AB=BC≠AC,作与△ABC只有一条公共边,且与△ABC全等的三角形,这样的三角形一共能作出 个.
24.如图是用七巧板拼成的一艘帆船,其中全等的三角形共有 对.
25.在△ABC和△DEF中,①AB=DE,②BC=EF,③AC=DF,④∠A=∠D,从这四个条件中选取三个条件能判定△ABC≌△DEF的方法共有 种.
26.如图,∠B=∠D=90°,BC=DC,∠1=40°,则∠2= 度.
27.如图所示,在四边形ABCD中,CB=CD,∠ABC=∠ADC=90°,∠BAC=35°,则∠BCD的度数为 度.
28.△ABC中,∠C=90°,AC=BC,分别过A、B向过C的直线CD作垂线,垂足分别为E、F,若AE=5,BF=3,则EF= .
第11章《全等三角形》易错题集(02):
11.2三角形全等的判定
参考答案与试题解析
选择题
1.下列命题:
①有两个角和第三个角的平分线对应相等的两个三角形全等;②有两条边和第三条边上的中线对应相等的两个三角形全等;③有两条边和第三条边上的高对应相等的两个三角形全等.其中正确的是( )
A.①②B.②③C.①③D.①②③
【分析】结合已知条件与全等三角形的判定方法进行思考,要综合运用判定方法求解.注意高的位置的讨论.
【解答】解:
①正确.可以用AAS或者ASA判定两个三角形全等;
②正确.可以用“倍长中线法”,用SAS定理,判断两个三角形全等;
如图,分别延长AD,A′D′到E,E′,使得AD=DE,A′D′=D′E′,
∴△ADC≌△EDB,
∴BE=AC,
同理:
B′E′=A′C′,
∴BE=B′E′,AE=A′E′,
∴△ABE≌△A′B′E′,
∴∠BAE=∠B′A′E′,∠E=∠E′,
∴∠CAD=∠C′A′D′,
∴∠BAC=∠B′A′C′,
∴△BAC≌△B′A′C′.
③不正确.因为这个高可能在三角形的内部,也有可能在三角形的外部,也就是说,这两个三角形可能一个是锐角三角形,一个是钝角三角形,所以就不全等了.
故选A.
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法;要根据选项提供的已知条件逐个分析,分析时看是否符合全等三角形的判定方法,注意SSA是不能判得三角形全等的.
2.如图所示,∠1=∠2,AE⊥OB于E,BD⊥OA于D,交点为C,则图中全等三角形共有( )
A.2对B.3对C.4对D.5对
【分析】根据已知条件可以找出题目中有哪些相等的角以及线段,然后猜想可能全等的三角形,然后一一进行验证,做题时要由易到难,循序渐进.
【解答】解:
①△ODC≌△OEC
∵BD⊥AO于点D,AE⊥OB于点E,OC平分∠AOB
∴∠ODC=∠OEC=90°,∠1=∠2
∵OC=OC
∴△ODC≌△OEC(AAS)
∴OE=OD,CD=CE;
②△ADC≌△BEC
∵∠CDA=∠CEB=90°,∠3=∠4,CD=CE
∴△OBE≌△OCD(AAS)
∴AC=BC,AD=BE,∠B=∠A;
③△OAC≌△OBC
∵OD=OE
∴OA=OB
∵OA=OB,OC=OC,AC=BC
∴△ABO≌△ACO(SSS);
④△OAE≌△OBD
∵∠ODB=∠OEA=90°,OA=OB,OD=OE
∴△AEC≌△ADB(HL).
故选C.
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法;全等三角形的判定方法一般有:
AAS、SAS、ASA、SSS、HL.应该对每一种方法熟练掌握做到灵活运用,做题时要做到不重不漏.提出猜想,证明猜想是解决几何问题的基本方法.
3.下列说法中,正确的有( )
①三角对应相等的2个三角形全等;②三边对应相等的2个三角形全等;③两角、一边相等的2个三角形全等;④两边、一角对应相等的2个三角形全等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】本题主要考查全等三角形的判定,可根据全等三角形判定方法进行求解.
【解答】解:
①AAA不能判定两三角形全等,故不正确;
③必须是两角、一边对应相等的2个三角形全等,所以③的结论错误;
④必须是两边和一夹角对应相等的2个三角形全等,故④的结论也错误;
根据SSS可知②能证明两个三角形全等.
故选A.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、HL.注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.对应而字是非常重要的,做题时要十分小心.
4.如图,D在AB上,E在AC上,且∠B=∠C,则在下列条件:
①AB=AC;②AD=AE;③BE=CD.其中能判定△ABE≌△ACD的有( )
A.0个B.1个C.2个D.3个
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等.
【解答】解:
∵∠B=∠C,∠A=∠A,
若添加AB=AC,可用ASA判定两个三角形全等;
若添加AD=AE,可用AAS判定两个三角形全等;
若添加BE=CD,可用AAS判定两个三角形全等.
故选D.
【点评】重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理.
5.△ABC中,AB=AC,三条高AD,BE,CF相交于O,那么图中全等的三角形有( )
A.5对B.6对C.7对D.8对
【分析】首先根据已知条件应用HL证明△ADB≌△ADC,进而依次根据SAS、ASA、SAS、SSS、SAS证明其它三角形全等,共6对;注意要做到不重不漏.
【解答】解:
∵AB=AC,AD是高,
∴BD=CD,又AD=AD,∠ADB=∠ADC=90°,
∴△ADB≌△ADC,
∴△ODC≌△ODB
同理有:
△COE≌△BOF、△AOC≌△AOB、△AOE≌△AOF、△CBE≌△BCF、△ACF≌△ABE.
共7对.
故选C.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、ASA、AAS、HL.做题时要从已知结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找.
6.有以下四个说法:
①两边和其中一边上的中线(或第三边上的中线)对应相等的两个三角形全等;②两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等的两个三角形全等;③两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等的两个三角形全等;④刘徽计算过π的值,认为其为
.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据三角形全等的判定,利用排除法求解.
【解答】解:
①第三边上的中线对应相等时,可利用“SSS”证明全等,故本选项正确;
②没两角和其中一角的角平分线(或第三角的角平分线)对应相等,可利用“AAS”或“ASA”证明全等,故本选项正确;
③两边和其中一边上的高(或第三边上的高)对应相等,不能运用“SSA”证明两个三角形全等,故本选项错误;
④刘徽计算过π的值,认为其为
,错误.
所以有①②两项正确.
故选B.
【点评】本题主要考查三角形全等的判定,根据三角形全等判定的方法找寻条件,如果符合就全等,否则就不全等.
7.如图,在△ABC与△ADE中,∠BAD=∠CAE,BC=DE,且点C在DE上,若添加一个条件,能判定△ABC≌△ADE,这个条件是( )
A.∠BAC=∠DAEB.∠B=∠DC.AB=ADD.AC=AE
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等.做题时要按判定全等的方法逐个验证.
【解答】解:
∵∠BAD=∠CAE,∴∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC
∴∠BAC=∠DAE,又有BC=DE,A选项中的条件与上述证出的∠BAC=∠DAE是重复的,
即使添加A选项中的条件,也不能判定△ABC≌△ADE.
添加B选项中的条件可根据AAS判定△ABC≌△ADE.
添加C选项中的条件以后是SSA,无法证明三角形全等.
添加D选项中的条件以后是SSA,无法证明三角形全等.
故选B.
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理,但AAA、SSA,无法证明三角形全等,本题是一道较为简单的题目.
8.给出下列各命题:
①有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形一定全等;
②有两边和一角对应相等的两个三角形一定全等;
③有两条直角边对应相等的两个直角三角形一定全等;
④有两条边分别相等的两个直角三角形一定全等;
其中假命题共有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据三角形全等的判定方法即可解得,做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证.
【解答】解:
①符合SAS,成立;
②SSA不符合三角形全等的条件;
③符合SAS,是真命题;
④有两条边相等,要么是两条直角边,要么是一条直角边和一条斜边对应相等的两个直角三角形全等,
才可以利用sss或HL,是假命题.
则假命题是②④,共2个.
故选B.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、SSA、HL.
注意:
AAA、SSA不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角.
9.不能判断△ABC≌△DEF的条件是( )
A.∠A=∠F,BA=EF,AC=FD
B.∠B=∠E,BC=EF,高AH=DG
C.∠C=∠F=90°∠A=60°,∠E=30°,AC=DF
D.∠A=∠D,AB=DE,AC=DF
【分析】三角形全等条件中必须是三个元素,并且一定有一组对应边相等,要满足全等三角形所要求的条件.
【解答】解:
A中可用SAS定理可判定△ABC≌△FED,而不能判定△ABC≌△DEF;
B中可首先根据AAS定理判定△AHB≌△DGE,再根据SAS定理判定△ABC≌△DEF;
C中,∵∠F=90°,∠E=30°,∴∠D=60°,可根据ASA定理判定△ABC≌△DEF;
D中可根据SAS定理判定△ABC≌△DEF.
故选A.
【点评】本题重点考查了三角形全等的判定定理,普通两个三角形全等共有四个定理,即AAS、ASA、SAS、SSS,直角三角形可用HL定理.
10.如图,已知AB=AC,D是BC的中点,E是AD上的一点,图中全等三角形有几对( )
A.1B.2C.3D.4
【分析】根据AB=AC,D是BC的中点,可知中线AD是BC边上的高,即AD为BC边上的中垂线,再根据中垂线的性质及全等三角形的判定定理进行判定.
【解答】解:
∵AB=AC,D是BC的中点,
∴AD垂直平分线段BC,
根据垂直平分线的性质可得,EB=EC
∴△ABD≌△ACD,△EBD≌△ECD,△ABE≌△ACE,(SSS)
故选C.
【点评】本题考查了等腰三角形底边上中线的性质,用“SSS”判定三角形全等的方法.做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找.
11.如图,FD⊥AO于D,FE⊥BO于E,下列条件:
①OF是∠AOB的平分线;②DF=EF;③DO=EO;④∠OFD=OFE.其中能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】要证三角形全等,则需运用全等三角形的判定.我们可以把给出的条件一一进行验证,从而确定正确答案.
【解答】解:
(1)∵OF是∠AOB的平分线,
∴∠DOF=∠EOF.
又∵FD⊥AO于D,FE⊥BO于E,OF=OF,
∴△DOF≌△EOF.(AAS)
(2)∵FD⊥AO于D,FE⊥BO于E,DF=EF,OF=OF,
∴OD=OE.
∴△DOF≌△EOF.(SSS)
(3)∵FD⊥AO于D,FE⊥BO于E,DO=EO,OF=OF,
∴△DOF≌△EOF.(HL)
(4)∵FD⊥AO于D,FE⊥BO于E,∠OFD=OFE,OF=OF,
∴△DOF≌△EOF.(AAS)
∴能够证明△DOF≌△EOF的条件的个数有四个.
故选D.
【点评】此题主要考查全等三角形的判定.常用的判定方法有SSS,SAS,AAS,HL等.在做题时要注意灵活运用.做题时根据已知条件,结合全等的判定方法逐一验证.
12.下列说法中,正确的个数是( )
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等;
②有两边和它们的对应夹角相等的两个直角三角形全等;
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等;
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等.
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据HL可得①正确;如果一直角边和一斜边对应相等,这两个直角三角形不全等;由AAS或ASA可得③正确;三个角相等的两个直角三角形不一定全等.
【解答】解:
①斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等,正确;
②有两边和它们的夹角对应相等的两个直角三角形全等,正确;
③一锐角和斜边对应相等的两个直角三角形全等,正确;
④两个锐角对应相等的两个直角三角形全等,错误;
故选C.
【点评】本题考查了直角三角形全等的判定,除了HL外,还有一般三角形全等的四个判定定理,要找准对应关系.
13.对于条件:
①两条直角边对应相等;②斜边和一锐角对应相等;③斜边和一直角边对应相等;④直角边和一锐角对应相等;以上能断定两直角三角形全等的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
【分析】根据直角三角形的判定定理进行选择即可.
【解答】解:
①两条直角边对应相等,根据“SAS”,正确;
②斜边和一锐角对应相等,根据“AAS”,正确;
③斜边和一直角边对应相等,根据“HL”,正确;
④直角边和一锐角对应相等,根据“ASA”或“AAS”,正确;
故选D.
【点评】本题考查了直角三角形的判定定理,除HL外,一般三角形的全等有四种方法,做题时要结合已知条件与全等的判定方法逐一验证.
14.如图,已知△ABC中,∠ABC=45°,AC=4,H是高AD和BE的交点,则线段BH的长度为( )
A.
B.4C.
D.5
【分析】由∠ABC=45°,AD是高,得出BD=AD后,证△ADC≌△BDH后求解.
【解答】解:
∵∠ABC=45°,AD⊥BC,
∴AD=BD,∠ADC=∠BDH,
∵∠AHE+∠DAC=90°,∠DAC+∠C=90°,
∴∠AHE=∠BHD=∠C,
∴△ADC≌△BDH,
∴BH=AC=4.
故选B.
【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:
SSS、SAS、SSA、HL.由∠ABC=45°,AD是高,得出BD=AD是正确解答本题的关键.
15.如图,AE⊥AB且AE=AB,BC⊥CD且BC=CD,请按照图中所标注的数据,计算图中实线所围成的图形的面积S是( )
A.50B.62C.65D.68
【分析】由AE⊥AB,EF⊥FH,BG⊥AG,可以得到∠EAF=∠ABG,而AE=AB,∠EFA=∠AGB,由此可以证明△EFA≌△ABG,所以AF=BG,AG=EF;
同理证得△BGC≌△DHC,GC=DH,CH=BG.
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16,然后利用面积的割补法和面积公式即可求出图形的面积.
【解答】解:
∵AE⊥AB且AE=AB,EF⊥FH,BG⊥FH⇒∠EAB=∠EFA=∠BGA=90°,
∠EAF+∠BAG=90°,∠ABG+∠BAG=90°⇒∠EAF=∠ABG,
∴AE=AB,∠EFA=∠AGB,∠EAF=∠ABG⇒△EFA≌△ABG
∴AF=BG,AG=EF.
同理证得△BGC≌△DHC得GC=DH,CH=BG.
故FH=FA+AG+GC+CH=3+6+4+3=16
故S=
(6+4)×16﹣3×4﹣6×3=50.
故选A.
【点评】本题考查的是全等三角形的判定的相关知识,是中考常见题型.
16.如图,AB=AC,AD=AE,∠B=50°,∠AEC=120°,则∠DAC的度数等于( )
A.120°B.70°C.60°D.50°
【分析】∠DAC=∠DAE+∠EAC.根据内角和定理求∠DAE;根据外角的性质求∠EAC.
【解答】解:
∵AB=AC,AD=AE,∠B=50°,∠AEC=120°,
∴∠AED=∠ADE=60°,∠EAC=60°﹣∠C=60°﹣50°=10°,
∴∠DAC=60°+10°=70°.
故选:
B.
【点评】主要考查了三角形中内角与外角之间的关系.此题主要运用了外角等于两个不相邻的内角和与等边对等角的性质.
17.如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等,那么这两个三角形的第三条边所对的角的关系是( )
A.相等B.互余C.互补或相等D.不相等
【分析】第三边所对的角即为前两边的夹角.分两种情况,一种是两个锐角或两个钝角三角形,另一种是一个钝角三角形和一个锐角三角形.
【解答】解:
第一种情况,当两个三角形全等时,是相等关系,
第二种情况,如图,AC=AC′,高CD=C′D′,
∴∠ADC=∠AD′C′,
在Rt△ACD和Rt△AC′D′中,
Rt△ACD≌Rt△AC′D′(HL),
∴∠CAD=∠C′AD′,
此时,∠CAB+∠C′AB=180°,
是互补关系,
所以选“相等或互补”.
故选C.
【点评】本题考查全等三角形的性质,应注意的是,两边相等不一定角相等,解题时要多方面考虑.
18.如图,已知△ABC中,AB=AC,BD=DC,则下列结论中一定错误的是( )
A.∠BAC=∠BB.∠1=∠2C.AD=ACD.∠B=∠C
【分析】由条件易证得,△ABD≌△ACD,可得两个三角形对应角和边的关系,再判断各选项正误即可.
【解答】解:
∵AB=AC,BD=DC,AD为公共边,
∴△ABD≌△ACD,
∴∠1=∠2,∠B=∠C;故B、D正确.
当△ABC为等边三角形时,AD为斜边边上的高时,原题条件都成立,则∠B=∠C=∠BAC=60°.故A也有可能正确.
但AD=AC,是斜边与直角边的关系,无论何时都相等.
故选C.
【点评】本题考查了三角形全等的性质,注意特殊三角形全等的判定及性质.
19.如图,AB.CD相交于O,O是AB的中点,∠A=∠B=80°,若∠D=40°,则∠C=( )
A.80°B.40°C.60°D.无法确定
【分析】先根据平行线的判定定理得出AD∥BC,再根据平行线的性质即可求解.
【解答】解:
∵∠A=∠B,
∴AD∥BC,
∴∠C
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