线性代数知识点总结汇总.docx

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线性代数知识点总结汇总

线性代数知识点总结

1行列式

〔一〕行列式概念和性质

1、逆序数：

所有的逆序的总数

2、行列式定义：

不同行不同列元素乘积代数和

3、行列式性质：

〔用于化简行列式〕

〔1〕行列互换〔转置〕，行列式的值不变

〔2〕两行〔列〕互换，行列式变号

〔3〕提公因式：

行列式的某一行〔列〕的所有元素都乘以同一数k，等于用数k乘此行列式

〔4〕拆列分配：

行列式中假如某一行〔列〕的元素都是两组数之和，那么这个行列式就等于两个行列式之和。

〔5〕一行〔列〕乘k加到另一行〔列〕，行列式的值不变。

〔6〕两行成比例，行列式的值为0。

〔二〕重要行列式

4、上〔下〕三角〔主对角线〕行列式的值等于主对角线元素的乘积

5、副对角线行列式的值等于副对角线元素的乘积乘

6、Laplace展开式：

〔A是m阶矩阵，B是n阶矩阵〕，那么

7、n阶〔n≥2〕范德蒙德行列式

数学归纳法证明

★8、对角线的元素为a，其余元素为b的行列式的值：

〔三〕按行〔列〕展开

9、按行展开定理：

〔1〕任一行〔列〕的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值

〔2〕行列式中某一行〔列〕各个元素与另一行〔列〕对应元素的代数余子式乘积之和等于0

〔四〕行列式公式

10、行列式七大公式：

〔1〕|kA|=kn|A|

〔2〕|AB|=|A|·|B|

〔3〕|AT|=|A|

〔4〕|A-1|=|A|-1

〔5〕|A*|=|A|n-1

〔6〕假设A的特征值λ1、λ2、……λn，那么

〔7〕假设A与B相似，那么|A|=|B|

〔五〕克莱姆法那么

11、克莱姆法那么：

〔1〕非齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么方程为唯一解

〔2〕假如非齐次线性方程组无解或有两个不同解，那么它的系数行列式必为0

〔3〕假设齐次线性方程组的系数行列式不为0，那么齐次线性方程组只有0解；假如方程组有非零解，那么必有D=0。

2矩阵

〔一〕矩阵的运算

1、矩阵乘法考前须知：

〔1〕矩阵乘法要求前列后行一致；

〔2〕矩阵乘法不满足交换律；〔因式分解的公式对矩阵不适用，但假设B=E,O,A-1，A*,f（A）时，可以用交换律〕

〔3〕AB=O不能推出A=O或B=O。

2、转置的性质〔5条〕

〔1〕〔A+B〕T=AT+BT

〔2〕〔kA〕T=kAT

〔3〕〔AB〕T=BTAT

〔4〕|A|T=|A|

〔5〕〔AT〕T=A

〔二〕矩阵的逆

3、逆的定义：

AB=E或BA=E成立，称A可逆，B是A的逆矩阵，记为B=A-1

注：

A可逆的充要条件是|A|≠0

4、逆的性质：

〔5条〕

〔1〕〔kA〕-1=1/k·A-1（k≠0）

〔2〕〔AB〕-1=B-1·A-1

〔3〕|A-1|=|A|-1

〔4〕〔AT〕-1=〔A-1〕T

〔5〕〔A-1〕-1=A

5、逆的求法：

〔1〕A为抽象矩阵：

由定义或性质求解

〔2〕A为数字矩阵：

〔A|E〕→初等行变换→〔E|A-1〕

〔三〕矩阵的初等变换

6、初等行〔列〕变换定义：

〔1〕两行〔列〕互换；

〔2〕一行〔列〕乘非零常数c

〔3〕一行〔列〕乘k加到另一行〔列〕

7、初等矩阵：

单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵。

8、初等变换与初等矩阵的性质：

〔1〕初等行〔列〕变换相当于左〔右〕乘相应的初等矩阵

〔2〕初等矩阵均为可逆矩阵，且Eij-1=Eij〔i，j两行互换〕；

Ei-1〔c〕=Ei〔1/c〕〔第i行〔列〕乘c〕

Eij-1〔k〕=Eij〔-k〕〔第i行乘k加到j〕

★〔四〕矩阵的秩

9、秩的定义：

非零子式的最高阶数

注：

〔1〕r〔A〕=0意味着所有元素为0，即A=O

〔2〕r〔An×n〕=n〔满秩〕←→|A|≠0←→A可逆；

r〔A〕＜n←→|A|=0←→A不可逆；

〔3〕r〔A〕=r〔r=1、2、…、n-1〕←→r阶子式非零且所有r+1子式均为0。

10、秩的性质：

〔7条〕

〔1〕A为m×n阶矩阵，那么r〔A〕≤min〔m,n〕

〔2〕r〔A±B〕≤r〔A〕±〔B〕

〔3〕r〔AB〕≤min{r〔A〕，r〔B〕}

〔4〕r〔kA〕=r〔A〕〔k≠0〕

〔5〕r〔A〕=r〔AC〕〔C是一个可逆矩阵〕

〔6〕r〔A〕=r〔AT〕=r〔ATA〕=r〔AAT〕

〔7〕设A是m×n阶矩阵，B是n×s矩阵，AB=O，那么r〔A〕+r〔B〕≤n

11、秩的求法：

〔1〕A为抽象矩阵：

由定义或性质求解；

〔2〕A为数字矩阵：

A→初等行变换→阶梯型〔每行第一个非零元素下面的元素均为0〕，那么r〔A〕=非零行的行数

〔五〕伴随矩阵

12、伴随矩阵的性质：

〔8条〕

〔1〕AA*=A*A=|A|E→★A*=|A|A-1

〔2〕〔kA〕*=kn-1A*

〔3〕〔AB〕*=B*A*

〔4〕|A*|=|A|n-1

〔5〕〔AT〕*=〔A*〕T

〔6〕〔A-1〕*=〔A*〕-1=A|A|-1

〔7〕〔A*〕*=|A|n-2·A

★〔8〕r〔A*〕=n〔r〔A〕=n〕；

r〔A*〕=1〔r〔A〕=n-1〕；

r〔A*〕=0〔r〔A〕＜n-1〕

〔六〕分块矩阵

13、分块矩阵的乘法：

要求前列后行分法一样。

14、分块矩阵求逆：

3向量

〔一〕向量的概念及运算

1、向量的内积：

〔α，β〕=αTβ=βTα

2、长度定义：

||α||=

3、正交定义：

〔α，β〕=αTβ=βTα=a1b1+a2b2+…+anbn=0

4、正交矩阵的定义：

A为n阶矩阵，AAT=E←→A-1=AT←→ATA=E→|A|=±1

〔二〕线性组合和线性表示

5、线性表示的充要条件：

非零列向量β可由α1，α2，…，αs线性表示

（1）←→非齐次线性方程组〔α1，α2，…，αs〕〔x1，x2，…，xs〕T=β有解。

★

（2）←→r〔α1，α2，…，αs〕=r〔α1，α2，…，αs，β〕〔系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，用于大题第一步的检验〕

6、线性表示的充分条件：

〔理解即可〕

假设α1，α2，…，αs线性无关，α1，α2，…，αs，β线性相关，那么β可由α1，α2，…，αs线性表示。

7、线性表示的求法：

〔大题第二步〕

设α1，α2，…，αs线性无关，β可由其线性表示。

〔α1，α2，…，αs|β〕→初等行变换→〔行最简形|系数〕

行最简形：

每行第一个非0的数为1，其余元素均为0

〔三〕线性相关和线性无关

8、线性相关考前须知：

〔1〕α线性相关←→α=0

〔2〕α1，α2线性相关←→α1，α2成比例

9、线性相关的充要条件：

向量组α1，α2，…，αs线性相关

〔1〕←→有个向量可由其余向量线性表示；

〔2〕←→齐次方程〔α1，α2，…，αs〕〔x1，x2，…，xs〕T=0有非零解；

★〔3〕←→r〔α1，α2，…，αs〕＜s即秩小于个数

特别地，n个n维列向量α1，α2，…，αn线性相关

〔1〕←→r〔α1，α2，…，αn〕＜n

〔2〕←→|α1，α2，…，αn|=0

〔3〕←→〔α1，α2，…，αn〕不可逆

10、线性相关的充分条件：

〔1〕向量组含有零向量或成比例的向量必相关

〔2〕局部相关，那么整体相关

〔3〕高维相关，那么低维相关

〔4〕以少表多，多必相关

★推论：

n+1个n维向量一定线性相关

11、线性无关的充要条件

向量组α1，α2，…，αs线性无关

〔1〕←→任意向量均不能由其余向量线性表示；

〔2〕←→齐次方程〔α1，α2，…，αs〕〔x1，x2，…，xs〕T=0只有零解

〔3〕←→r〔α1，α2，…，αs〕=s

特别地，n个n维向量α1，α2，…，αn线性无关

←→r〔α1，α2，…，αn〕=n←→|α1，α2，…，αn|≠0←→矩阵可逆

12、线性无关的充分条件：

〔1〕整体无关，局部无关

〔2〕低维无关，高维无关

〔3〕正交的非零向量组线性无关

〔4〕不同特征值的特征向量无关

13、线性相关、线性无关断定

〔1〕定义法

★〔2〕秩：

假设小于阶数，线性相关；假设等于阶数，线性无关

【专业知识补充】

〔1〕在矩阵左边乘列满秩矩阵〔秩=列数〕，矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满秩矩阵，矩阵的秩不变。

〔2〕假设n维列向量α1，α2，α3线性无关，β1，β2，β3可以由其线性表示，即〔β1，β2，β3〕=〔α1，α2，α3〕C，那么r〔β1，β2，β3〕=r〔C〕，从而线性无关。

←→r〔β1，β2，β3〕=3←→r〔C〕=3←→|C|≠0

〔四〕极大线性无关组与向量组的秩

14、极大线性无关组不唯一

15、向量组的秩:

极大无关组中向量的个数成为向量组的秩

比照：

矩阵的秩:

非零子式的最高阶数

★注:

向量组α1，α2，…，αs的秩与矩阵A=〔α1，α2，…，αs〕的秩相等

★16、极大线性无关组的求法

〔1〕α1，α2，…，αs为抽象的：

定义法

〔2〕α1，α2，…，αs为数字的：

〔α1，α2，…，αs〕→初等行变换→阶梯型矩阵

那么每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组

〔五〕向量空间

17、基〔就是极大线性无关组〕变换公式：

假设α1，α2，…，αn与β1，β2，…，βn是n维向量空间V的两组基，那么基变换公式为〔β1，β2，…，βn〕=〔α1，α2，…，αn〕Cn×n

其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。

C=〔α1，α2，…，αn〕-1〔β1，β2，…，βn〕

18、坐标变换公式：

向量γ在基α1，α2，…，αn与基β1，β2，…，βn的坐标分别为x=〔x1，x2，…，xn〕T，y=〔y1，y2，…，yn〕T，，即γ=x1α1+x2α2+…+xnαn=y1β1+y2β2+…+ynβn，那么坐标变换公式为x=Cy或y=C-1x。

其中，C是从基α1，α2，…，αn到β1，β2，…，βn的过渡矩阵。

C=〔α1，α2，…，αn〕-1〔β1，β2，…，βn〕

〔六〕Schmidt正交化

19、Schmidt正交化

设α1，α2，α3线性无关

〔1〕正交化

令β1=α1

〔2〕单位化

4线性方程组

〔一〕方程组的表达形与解向量

1、解的形式：

（1）一般形式

（2）矩阵形式：

Ax=b；

（3）向量形式：

A=〔α1，α2，…，αn〕

2、解的定义：

假设η=〔c1，c2，…，cn〕T满足方程组Ax=b，即Aη=b，称η是Ax=b的一个解〔向量〕

〔二〕解的断定与性质

3、齐次方程组：

〔1〕只有零解←→r〔A〕=n〔n为A的列数或是未知数x的个数〕

〔2〕有非零解←→r〔A〕＜n

4、非齐次方程组：

〔1〕无解←→r〔A〕＜r〔A|b〕←→r〔A〕=r〔A〕-1

〔2〕唯一解←→r〔A〕=r〔A|b〕=n

〔3〕无穷多解←→r〔A〕=r〔A|b〕＜n

5、解的性质：

〔1〕假设ξ1，ξ2是Ax=0的解，那么k1ξ1+k2ξ2是Ax=0的解

〔2〕假设ξ是Ax=0的解，η是Ax=b的解，那么ξ+η是Ax=b的解

〔3〕假设η1，η2是Ax=b的解，那么η1-η2是Ax=0的解

【推广】

〔1〕设η1，η2，…，ηs是Ax=b的解，那么k1η1+k2η2+…+ksηs为

Ax=b的解〔当Σki=1〕

Ax=0的解〔当Σki=0〕

〔2〕设η1，η2，…，ηs是Ax=b的s个线性无关的解，那么η2-η1，η3-η1，…，ηs-η1为Ax=0的s-1个线性无关的解。

变式：

①η1-η2，η3-η2，…，ηs-η2

②η2-η1，η3-η2，…，ηs-ηs-1

〔三〕根底解系

6、根底解系定义：

〔1〕ξ1，ξ2，…，ξs是Ax=0的解

〔2〕ξ1，ξ2，…，ξs线性相关

〔3〕Ax=0的所有解均可由其线性表示

→根底解系即所有解的极大无关组

注：

根底解系不唯一。

任意n-r〔A〕个线性无关的解均可作为根底解系。

★7、重要结论：

〔证明也很重要〕

设A施m×n阶矩阵，B是n×s阶矩阵，AB=O

〔1〕B的列向量均为方程Ax=0的解

〔2〕r〔A〕+r〔B〕≤n〔第2章，秩〕

8、总结：

根底解系的求法

〔1〕A为抽象的：

由定义或性质凑n-r〔A〕个线性无关的解

〔2〕A为数字的：

A→初等行变换→阶梯型

自由未知量分别取1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到根底解系

〔四〕解的构造〔通解〕

9、齐次线性方程组的通解〔所有解〕

设r〔A〕=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的根底解系，

那么Ax=0的通解为k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r〔其中k1，k2，…，kn-r为任意常数〕

10、非齐次线性方程组的通解

设r〔A〕=r，ξ1，ξ2，…，ξn-r为Ax=0的根底解系，η为Ax=b的特解，

那么Ax=b的通解为η+k1η1+k2η2+…+kn-rηn-r〔其中k1，k2，…，kn-r为任意常数〕

〔五〕公共解与同解

11、公共解定义：

假如α既是方程组Ax=0的解，又是方程组Bx=0的解，那么称α为其公共解

12、非零公共解的充要条件：

方程组Ax=0与Bx=0有非零公共解

←→

有非零解←→

13、重要结论〔需要掌握证明〕

〔1〕设A是m×n阶矩阵，那么齐次方程ATAx=0与Ax=0同解，r〔ATA〕=r〔A〕

〔2〕设A是m×n阶矩阵，r〔A〕=n，B是n×s阶矩阵，那么齐次方程ABx=0与Bx=0同解，r〔AB〕=r〔B〕

5特征值与特征向量

〔一〕矩阵的特征值与特征向量

1、特征值、特征向量的定义：

设A为n阶矩阵，假如存在数λ及非零列向量α，使得Aα=λα，称α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。

2、特征多项式、特征方程的定义：

|λE-A|称为矩阵A的特征多项式〔λ的n次多项式〕。

|λE-A|=0称为矩阵A的特征方程〔λ的n次方程〕。

注:

特征方程可以写为|A-λE|=0

3、重要结论：

〔1〕假设α为齐次方程Ax=0的非零解，那么Aα=0·α，即α为矩阵A特征值λ=0的特征向量

〔2〕A的各行元素和为k，那么（1，1，…，1）T为特征值为k的特征向量。

〔3〕上〔下〕三角或主对角的矩阵的特征值为主对角线各元素。

△4、总结：

特征值与特征向量的求法

〔1〕A为抽象的：

由定义或性质凑

〔2〕A为数字的：

由特征方程法求解

5、特征方程法：

〔1〕解特征方程|λE-A|=0，得矩阵A的n个特征值λ1，λ2，…，λn

注：

n次方程必须有n个根（可有多重根，写作λ1=λ2=…=λs=实数，不能省略）

〔2〕解齐次方程〔λiE-A〕=0，得属于特征值λi的线性无关的特征向量，即其根底解系〔共n-r〔λiE-A〕个解〕

6、性质：

〔1〕不同特征值的特征向量线性无关

〔2〕k重特征值最多k个线性无关的特征向量

1≤n-r〔λiE-A〕≤ki

〔3〕设A的特征值为λ1，λ2，…，λn，那么|A|=Πλi，Σλi=Σaii

〔4〕当r〔A〕=1，即A=αβT，其中α，β均为n维非零列向量，那么A的特征值为λ1=Σaii=αTβ=βTα，λ2=…=λn=0

〔5〕设α是矩阵A属于特征值λ的特征向量，那么

A

f〔A〕

AT

A-1

A*

P-1AP〔相似〕

λ

f〔λ〕

λ

λ-1

|A|λ-1

λ

α

α

/

α

α

P-1α

〔二〕相似矩阵

7、相似矩阵的定义：

设A、B均为n阶矩阵，假如存在可逆矩阵P使得B=P-1AP，称A与B相似，记作A~B

8、相似矩阵的性质

〔1〕假设A与B相似，那么f〔A〕与f〔B〕相似

〔2〕假设A与B相似，B与C相似，那么A与C相似

〔3〕相似矩阵有一样的行列式、秩、特征多项式、特征方程、特征值、迹〔即主对角线元素之和〕

【推广】

〔4〕假设A与B相似，那么AB与BA相似，AT与BT相似，A-1与B-1相似，A*与B*也相似

〔三〕矩阵的相似对角化

9、相似对角化定义：

假如A与对角矩阵相似，即存在可逆矩阵P，使得P-1AP=Λ=

，

称A可相似对角化。

注：

Aαi=λiαi〔αi≠0，由于P可逆〕，故P的每一列均为矩阵A的特征值λi的特征向量

10、相似对角化的充要条件

〔1〕A有n个线性无关的特征向量

〔2〕A的k重特征值有k个线性无关的特征向量

11、相似对角化的充分条件：

〔1〕A有n个不同的特征值〔不同特征值的特征向量线性无关〕

〔2〕A为实对称矩阵

12、重要结论：

〔1〕假设A可相似对角化，那么r〔A〕为非零特征值的个数，n-r〔A〕为零特征值的个数

〔2〕假设A不可相似对角化，r〔A〕不一定为非零特征值的个数

〔四〕实对称矩阵

13、性质

〔1〕特征值全为实数

〔2〕不同特征值的特征向量正交

〔3〕A可相似对角化，即存在可逆矩阵P使得P-1AP=Λ

〔4〕A可正交相似对角化，即存在正交矩阵Q，使得Q-1AQ=QTAQ=Λ

6二次型

〔一〕二次型及其标准形

1、二次型：

〔1〕一般形式

〔2〕矩阵形式〔常用〕

2、标准形：

假如二次型只含平方项，即f〔x1，x2，…，xn〕=d1x12+d2x22+…+dnxn2

这样的二次型称为标准形〔对角线〕

3、二次型化为标准形的方法：

〔1〕配方法：

通过可逆线性变换x=Cy〔C可逆〕，将二次型化为标准形。

其中，可逆线性变换及标准形通过先配方再换元得到。

★〔2〕正交变换法：

通过正交变换x=Qy，将二次型化为标准形λ1y12+λ2y22+…+λnyn2

其中，λ1，λ2，…，λn是A的n个特征值，Q为A的正交矩阵

注:

正交矩阵Q不唯一，γi与λi对应即可。

〔二〕惯性定理及标准形

4、定义：

正惯性指数：

标准形中正平方项的个数称为正惯性指数，记为p；

负惯性指数：

标准形中负平方项的个数称为负惯性指数，记为q；

标准形：

f=z12+…zp2-zp+12-…-zp+q2称为二次型的标准形。

5、惯性定理：

二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形，其正负惯性指数不变。

注：

〔1〕由于正负惯性指数不变，所以标准形唯一。

〔2〕p=正特征值的个数，q=负特征值的个数，p+q=非零特征值的个数=r〔A〕

〔三〕合同矩阵

6、定义：

A、B均为n阶实对称矩阵，假设存在可逆矩阵C，使得B=CTAC，称A与B合同

△7、总结：

n阶实对称矩阵A、B的关系

〔1〕A、B相似〔B=P-1AP〕←→一样的特征值

〔2〕A、B合同〔B=CTAC〕←→一样的正负惯性指数←→一样的正负特征值的个数

〔3〕A、B等价〔B=PAQ〕←→r〔A〕=r〔B〕

注：

实对称矩阵相似必合同，合同必等价

〔四〕正定二次型与正定矩阵

8、正定的定义

二次型xTAx，假如任意x≠0，恒有xTAx＞0，那么称二次型正定，并称实对称矩阵A是正定矩阵。

9、n元二次型xTAx正定充要条件：

〔1〕A的正惯性指数为n

〔2〕A与E合同，即存在可逆矩阵C，使得A=CTC或CTAC=E

〔3〕A的特征值均大于0

〔4〕A的顺序主子式均大于0〔k阶顺序主子式为前k行前k列的行列式〕

10、n元二次型xTAx正定必要条件：

〔1〕aii＞0

〔2〕|A|＞0

11、总结：

二次型xTAx正定断定〔大题〕

〔1〕A为数字：

顺序主子式均大于0

〔2〕A为抽象：

①证A为实对称矩阵：

AT=A；②再由定义或特征值断定

12、重要结论：

〔1〕假设A是正定矩阵，那么kA〔k＞0〕，Ak，AT，A-1，A*正定

〔2〕假设A、B均为正定矩阵，那么A+B正定