天津大学研究生最优化方法复习题docx.docx
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《最优化方法》复习题
第一章概述(包括凸规划)
一、判断与填空题
1ar§max/(x)=argmin【一/(兀)]・7
xeRnxeRn
2max|/(x):
xgDo/?
n}=-min{/(x):
xe£>o/?
n}x
3设f.DjRJR・若x*g/?
\对于一切"R”恒有兀),贝称X为
最优化问题min/W的全局最优解.x
xeD
4设f:
D匸RJR.若x*gD,存在F的某邻域N3,使得对一切
xwNg恒有/(x*)(X),则称T为最优化问题min/E的严格局部最xeD
优解.X
5给定一个最优化问题,那么它的最优值是一个定值.V
6非空集合Do/?
"为凸集当且仅当D中任意两点连线段上任一点属于D.V
7非空集合Dc/?
"为凸集当且仅当D中任意有限个点的凸组合仍属于D.V
8任意两个凸集的并集为凸集.x
9函数f:
D匚RnT/?
为凸集D上的凸函数当且仅当—/为D上的凹函数.V
10设f:
DuR”TR为凸集D上的可微凸函数,ZeD.则対VxgD,有
/⑴-/(%*) 11若c(x)是凹函数,则D={xeRn\c(x)>0}是凸集。 V 12设{/}为由求解min/U)的算法a产生的迭代序列,假设算法a为下降算法,xeD 则对\/ke{0,1,2,•••},恒有(林). 13算法迭代时的终止准则(写击三种): 0 14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 V 15函数/: PoRnT/? 在点/沿着迭代方向d"\{()}进行精确一维线搜索的 步长则其搜索公式为. 16函数f・.D匸R”T/? 在点十•沿着迭代方向d*wR"\{0}进行精确一维线搜索的步长匕,则Vf(xk^akdkYdk=0. 17设dkeRn\{0}为点xkeD^Rn处关于区域D的一个下降方向,则对于 Va>0,3ctg(0,a)使得x'+adkeD.x 二、简述题 1写出Wolfc-Powcll非粘确一维线性搜索的公式。 2怎样判断一个函数是否为凸函数. (例如: 判断函数/(%)=时+2x1x2+2分-10坷+5兀2是否为凸函数) 三、证明题 1证明一个优化问题是否为凸规划.(例如 min/(x)=—xIGx+c1x-\-h 2 判断MAx=b(其中G是正定矩阵)是凸规划. x>0 2熟练掌握凸规划的性质及具证明. 第二章线性规划 考虑线性规划问题: (LP)minclx s.t.Ax=b,x>0, 其中,ceR\AwR": bgRm为给定的数据,>rankA=m,m 一、判断与选择题 1(LP)的基解个数是有限的.V 2若(LP)有最优解,则它一定有基可行解为最优解.V 3(LP)的解集是凸的.V 4对于标准型的(LP),设{*'}由单纯形算法产生,则对Rw{0,l,2,・・・},有cW>c“.X 5若/为(LP)的最优解,)「为(DP)的可行解,则cTx>bTy\V 6设是线性规划(LP)对应的基B=…几)的基可行解,与基变量 州,…竝对应的规范式屮,若存在qvO,则线性规划(LP)没有最优解。 X 7求解线性规划(LP)的初始基可行解的方法: . 8对于线性规划(LP),每次迭代都会使冃标函数值下降.X 二、简述题 1将以下线性规划问题化为标准型: max/(x)=兀]一2x2+3x3s.t.X]+兀2+兀3-6, %! +2兀2+4兀3'12, -x2+x3>2, x2>0,x3>0. 2写出以下线性规划的对偶线性规划: max/(x)=3x)+lx2+x3+4x4 s.t.2xl+4x2+3兀3+兀4=6, 一2x{+4兀2+3x3+x4>3, 兀],£,兀3,X4-0・ 三、计算题 熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法(包括大M法及二阶段法). 见书本: 例2.5.1 例261 例2.6.2 (利用单纯形表求解);(利用大M法求解);(利用二阶段法求解). 四、证明题 熟练掌握对偶理论(弱对偶理论、强对偶理论以及互补松弛条件)及利用对偶理论证明相关结论。 -、判断与选择题 1设GGRflXfl为正定矩阵,贝IJ关于G共轨的任意”+1向量必线性相关.J 2在牛顿法屮,每次的迭代方向都是下降方向.X 3经典Newton法在相继两次迭代中的迭代方向是正交的.X 4PRP共轨梯度法与BFGS算法都属于Broyden族拟Newton算法.X 5用DFP算法求解正定二次函数的无约束极小化问题,则算法中产生的迭代方向一定线性无关.V 6FR共辘梯度法、PRP共轨梯度法、DFP算法、及BFGS算法均具有二次收敛性.X 7共轨梯度法、共轨方向法、DFP算法以及BFGS算法都具有二次终止性.V 8函数f: RJR在*'处的最速下降方向为. 9求解min/W的经典Newton法在十处的迭代方向为pk=. xeRn 10若/(兀)在T的邻域内具有一阶连续的偏导数且V/(/)=0,则T为的局部极小点.x 11若.门兀)在T的某邻域内具有二阶连续的偏导数且/为几对的严格局部极小点,则G*正定.X 12求解min/")的最速下降法在十处的迭代方向为pk=. xeRn 13求解min/(x)的阻尼Newton法在*处的迭代方向为pk=. xeRn 14用牛顿法求解min丄xTGx+brx(bwR“,GeRHXn)时,至多迭代一次xwR”2 可达其极小点.X 15牛顿法具有二阶收敛性.V 16二次函数的共轨方向法具有二次终止性.X 17共饥梯度法的迭代方向为: . 二、证明题 1设f: R"IR为一阶连续可微的凸函数,x*gRn且巧(疋)=0,则F为 min/(兀)的全局极小点. xeRn 2给定bwR”和正定矩阵Ge耐”.如果x*Rn为求解 minfM=丄的迭代点,dke/? n\{o}为其迭代方向,且xeRn2 ake[0,+oo)为由精确一维搜索所的步长,则ak=~Vf^)Tf・ 3 试证: Newton法求解止定二次函数时至多一次迭代可达其极小点. 四、 简述题 1 简述牛顿法或者阻尼牛顿法的优缺点. 2 简述共轨梯度法的基木思想. 五、 计算题 1 利用最优性条件求解无约束最优化问题.例如: 求解minf(x)=—xf+丄卅-x{x2-2xl 2 用FR共轨梯度法无约束最优化问题. 见书本: 例3.4.1. 3 用PRP共饥梯度法无约束最优化问题. 见书本: 例3.4.1. 3] 例如: minf(x)=—x^+—x;-xlx2一2兀]其中兀。 =(0,0)r,e=0.01 考虑约束最优化问题: (NLP)min/(x) s.t.ct(x)=0,ieE={1,2,•••,/}, c.(%)>0,zg/={/+1,/+2,•••,m}, 其中,几q(心1,2,…,/n): R"tR 一、判断与选择题 1外罚函数法、内罚函数法、及乘子法均属于SUMT.X 2使用外罚函数法和内罚函数法求解(NLP)时,得到的近似最优解往往不是(NLP)的可行解.X 3在求解(NLP)的外罚函数法中,所解无约束问题的目标函数为• 4在(NLP)中/=0,则在求解该问题的内罚函数法中,常使用的罚函数为• 5在(NLP)+/=0,则在求解该问题的乘子法屮,乘子的迭代公式为 (血+])(=,对沁{1,•••,〃}• 6在(NLP)中m=I,则在求解该问题的乘了法中,增广的Lagrange函数为: 7对于(NLP)的KT条件为: 二、计算题 1利用最优性条件(KT条件)求解约束最优化问题. 2用外罚函数法求解约束最优化问题. 见书本: 例4.2.1; 例4.2.2. 3用内罚函数法求解约束最优化问题. 见书本: 例4.2.3. 4用乘子法求解约束最优化问题. 见书本: 例4.2.7; 例4.2.8. 三、简述题 1简述SUMT外点法的优缺点. 2简述SUMT内点法的优缺点. 四、证明题 利用最优性条件证明相关问题. 例如: 0设为正定矩阵,A为列满秩矩阵•试求规划 (P)min/(x)=—xtQx+c1x+a s.t.A7x=b 的最优解,并证明解是唯一的. 一、判断与选择题 1求解多目标最优化问题的评价函数法包括. 2通过使用评价函数,多忖标最优化问题能够转化为单忖标最优化问题.V 3设F: DuRJR'",则F在D上的一般多目标最优化问题的数学形式 为• 4对于规划V-minF(x)=(/,(%),...,/w(x))r,设TwD,若不存在兀 xeDqR11 使得F(x) 5一般多冃标最优化问题的绝对最优解必是有效解.V 6对-T规划V-minF(x)=(/心),…,九⑴V,设叱为相应于xwDuR" f-t(21,2,…皿)的权系数,则求解以上问题的线性加权和法屮所求解优 化的目标函数为. 7利用求解v-minf(q=(/;⑴,…,九⑴卩的线性加权和法所得到的 xeD^R0 解,或者为原问题的有效解,或者为原问题的弱有效解.V 二、简述题 1简单证明题 ☆绝对最优解、有效解、及弱有效解Z间的关系. •第5.2节中几个主要结论的证明. 2简单叙述题 ★简述求解一般多日标规划的评价函数法的基木思想. •简述求解一般多冃标规划的线性加权和法的基本思想. ★简述求解一般多目标规划的理想点法的基本思想. •简述在求解一般多目标规划的评价函数法屮,确定权系数方法的基本思想.
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