8年级数学将军饮马专题复习.docx
- 文档编号:28875046
- 上传时间:2023-07-20
- 格式:DOCX
- 页数:14
- 大小:217.89KB
8年级数学将军饮马专题复习.docx
《8年级数学将军饮马专题复习.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《8年级数学将军饮马专题复习.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
8年级数学将军饮马专题复习
八年级数学专题复习:
将军饮马
求线段和最值
❶(-)两定一动型
例1:
如图,AM丄EF,BN丄EF,垂足为M、N,
MN=12m,AM=5m,BN=4m,P是EF上
任意一点,则PA+PB的最小值是m・
分析:
是动点,
于两定一动将军饮马型,根据常见
这是最基本的将军饮马问题,A,B是定点,P
的“定点定线作对称笃可作点A关于EF的对称
点A',根据两点之间,线段最短,连接A'B,此时A'P+PB即为AB最短.而要求AB则
需要构造直角三角形,利用勾股定理解决.
解答:
作点A关于EF的对称点A',过点A'作A'C丄BN的延长线于C.易知A#M=AM=NC=5m,BC=9m,A'C=MN=12m,在RtAA^BC中,A'B=15m,即PA+PB的最小值是15m・
变式:
如图,在边长为2的正三角形ABC中,E,F,
G为各边中点,P为线段EF上一动点,则
△BPG周长的最小値为・
分析:
考虑到BG为定值是1,则△BPG的周长最小转化为求BP+PG的最小值,又是两定一动的将
军饮马型,考虑作点G关于EF的对称点,这里有些同学可能看不出来到底是哪个点,我们不妨连接AG,则AG丄BC,再连接EG,根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半S可得AE
=EG,则点A就是点G关于EF的对称点.最后
计算周长时,别忘了加上BG的长度.
❷
(二)一定两动型
分析:
这里的点C是定点,P,E杲动点,属于一定两动的将军饮马模型,由于AABC是等腰三角形,AD是BC中线,则AD垂直平分BC,点C关于AD的对称点是点B,PC+PE=PB+PE,显
然当B,P,E三点共纟戋时,BE更短.但此时还不是最短,根据“垂线段最短”只有当BE丄AC
时,BE最短.求BE时,用面积法即可.
解答:
作BE丄AC交于点E,交AD于点P,易知
AD-LBC,BD=3,BC=6,
则ADBC=BEAC,
4x6=BE・5,BE=4.8
BDC
分析:
这里的点C是定点,F,E是动点,属于一定两动的将军饮马模型,我们习惯于"定点定线作对称",但这题这样做,会出现问题.因为点C的对称点C'必然在AB上,但由于BC长度未知,BC'长度也未知,则C'相对的也是不确定点,因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点.
解答:
如图,作点E关于BD的对称点E',连接E'F,则EF+CF=ET+CF,当F,C三点共线时,E'F+CF=E'C,此时较短.过点C作CE”丄AB于E“,当点E'与点E"重合时,E“C最短,E"C为AB边上的高,E”C=5・
O(三)两定两动型
例3:
zTLAOB=30°,OC=5,OD=12,点E,F分別是射线OA,OB上的动点,求CF+EF-FDE的晟小值.
OEDB
分析:
这里的点C,点D建定点,F,E是动点,属于两定两动的将军仪马型,依旧可以用“定点定线作对称"来考虑.作点C关于OB的对称点,点。
关于OA的对称点・
作点C关于OB的对称点CT,点D关于oa的对称
点cr,涯按crcr.cf-fef-nde=ef-*-
D-E,当C',F,E,(T四点共纟戋时,CF+EF+DE=CD总垣・易知上D9U=90°,OD9=
12,OCf=5,CO=13,CF+EF+DE最小值为13.
解答:
作点E关于AD边的对称点E',作点F关于CD边的对称点F',连接E'F',交AD于点G,交CD于点H,则运动路线长为EG+GH+HF长度之和,即EF长,延长E'E交BC于N,交AD于M,易知E'M=EM=0.22m,E'N=1.78+0.22=2m,NF'=NC+CF'=1・4+0・1=1.5m,则RtAE,NF,中,E'F'=2.5rrb即白球运动路线的总长度为2.5m・
£qgd
BNFCF'
值问题,几乎都可以归结
以上求线段和
小结:
为“两定一动・"一定两动""两定两动“类的将军饮马型问题,基本方法还是”定点定线作对称“,利用“两点之间线段最癌”“垂线段最短“的2条重要性质,将线段和转化为直角三角形的斜边,或者一边上的高,借助勾股定理,或者面积法来求解.
当然,有时候,我们也需学会灵活变通,定点对称行不通时,尝试作动点对称.
(-)求角度
例1:
P为ZAOB内一定点,M,N分别为射线OA,0B上一点,当厶PMN周长最小时,ZMPN=80\
(1)ZAOB=0
(2)求证:
OP平分ZMPN
分析:
这又是一定两动型将军饮马问题,我们应该先将M,N的位置找到,再来思考ZAOB的度
数,显然作点P关于0A的对称点P',关于0B的对称点PS连接P'P”,其与0A交点即为M,0B交点即为N,如下图,易知ZDPC与ZAOB互补,则求出ZDPC的度数即可.
驱竺•
辨首•
(1)法1:
如图,Z1+Z2=100°,Z1=ZP,+Z3=2Z3,Z2=ZP°+Z4=2Z4,则Z3+Z4=50°,ZDPC=130°,ZAOB=50°.
再分析:
考虑到第二小问要证明OP平分ZMPN,我们就连接0P,则要证Z5=Z6,显然很困难,这时候,考虑到对称性,我们再连接0P',0P%则Z5=Z7,Z6=Z8,问题迎刃而解.
解答:
(1)法2:
易知0P'=OP”,Z7+/8=/5+Z6=80°,ZPOP"=100。
,由对称性知,Z9=Z11,Z10=^12,ZAOB=Z9+"0=50°
(2)
由OP'=0P",ZP'OP"=100。
知,Z7=Z8
=40°,Z5=Z6=40°,OP平分ZMPN・
A
变式:
如图,在五边形ABCDE中,ZBAE=136°,ZB=ZE=90°,在BC、DE上分别找一点M、N,使得AAMN的周长最小时,则ZAMN+ZANM的度数为・
分析:
这又是典型的一定两动型将军饮马问题,必然是作A点关于BC、DE的对称点AlA”,连接A7V,与BC、DE的交点即为AAMN周长最小时M、N的位置.
解答:
如图,
VZBAE=136°,/.ZMA,A+ZNA"A=44°
由对称性知,
ZMAA*=ZMA'A,ZNAAH=ZNAnA,
ZAMN+ZANM
=2ZMA,A+2ZNAHA=88°
本讲思考题:
1.(2017-安顺)如图所示,正方形ABCD的边长为6,ZkABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为・
本讲思考题:
2.(2017-安徽改编)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3.P为矩形ABCD内一点,若矩形
ABCD面积为APAB面积的4倍,则点P到A,B
两点距离之和PA+PB的最小值为
BC
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 年级 数学 将军 饮马 专题 复习