期末复习四边形.docx
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期末复习四边形
期末复习——四边形
课前小测:
1、点A、B、C、D在同一平面内,从①AB//CD;②AB=CD;③BC//AD;④BC=AD四个条件中任意选两个,能使四边形ABCD是平行四边形的选法有( )
A.①② B.②③C.①③D.③④
2、在平行四边形ABCD中,∠A:
∠B:
∠C:
∠D的值可以是()
A.1:
2:
3:
4B.3:
4:
4:
3C.3:
3:
4:
4D.3:
4:
3:
4
3、矩形、菱形、正方形都具有的性质是()
A、对角线相等B、对角线互相平分C、对角线互相垂直D、对角线平分对角
4、顺次连接任意四边形四边中点所得的四边形一定是( )
A.平行四边形B.矩形C.菱形D.正方形
5、下列说法中错误的是( )
A.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形; B.两条对角线相等的四边形是矩形;
C.两条对角线互相垂直的矩形是正方形; D.两条对角线相等的菱形是正方形.
6、已知ABCD是平行四边形,下列结论中不一定正确的是()
A.AB=CDB.AC=BD
C.当AC⊥BD时,它是菱形D.当∠ABC=90°时,它是矩形
7、已知:
如图,菱形ABCD对角线AC与BD相交于点O,
E为BC的中点E,AD=6cm,则OE的长为( )
A.6cmB.4cmC.3cmD.2cm
8、如图,把矩形
沿
对折后使两部分重合,若
,
则
=()
A.110°B.115°C.120°D.130°
9、如图,EF过矩形ABCD对角线的交点O,且分别交AB,CD于点E,F,那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的().
A.
B.
C.
D.
10、如图,将一边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E,
使DE=5,折痕为PQ,则PQ的长为()
A.12B.13C.14D.15
例题选讲:
例1.如图1,在正方形ABCD中,点E为BC上一点,连接DE,把△DEC沿DE折叠得到△DEF,延长EF交AB于G,连接DG.
(1)求∠EDG的度数.
(2)如图2,E为BC的中点,连接BF.
①求证:
BF∥DE;
②若正方形边长为6,求线段AG的长.
例2.如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,BC=26cm,动点P从点A出发沿AD方向向点D以1cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿着CB方向向点B以3cm/s的速度运动.点P、Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点随之停止运动.
(1)经过多长时间,四边形PQCD是平行四边形?
(2)经过多长时间,四边形PQBA是矩形?
(3)经过多长时间,当PQ不平行于CD时,有PQ=CD.
课堂练习:
1、平行四边形ABCD中,∠A=500,AB=30cm,则∠B=____,DC=____cm。
2、在□ABCD中,若添加一个条件________,则四边形ABCD是矩形;若添加一个条件_______,则四边形ABCD是菱形.
3、已知菱形的两条对角线长为12
和6
那么这个菱形的面积为
.
4、四边形ABCD为菱形,∠A=60°,对角线BD长度为10cm,则此菱形的周长cm.
5、矩形的两条对角线的夹角为
较短的边长为12
则对角线长为
.
6、一个平行四边形的周长为70cm,两边的差是10cm,则平行四边形各边长为
分别为_______________、___________________、______________、_____________。
7、如图,在正方形ABCD的外侧,作等边△ADE,则∠AEB=_____________.
8、直角三角形中,两直角边长是3和4,则斜边上的中线长是.
9、黑板上画有一个图形,学生甲说它是多边形,学生乙说它是平行四边形,学生丙说它是菱形,学生丁说它是矩形,老师说这四名同学的答案都正确,则黑板上画的图形是___________________.
10、如图,在⊿ABC中,AD⊥BC于D,E、F分别是AB、AC的中点,
当⊿ABC满足条件时,AEDF是菱形;
三、解答题
11、如图,E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点,AF=CE,DF=BE,DF∥BE.
求证:
(1)⊿AFD≌⊿CEB.
(2)四边形ABCD是平行四边形.
12.、已知:
菱形ABCD的周长为16cm,∠ABC=60°,对角线AC和BD相交于点O。
求:
(1)两条对角线AC、BD的长度;
(2)菱形ABCD的面积.
13、如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的角平分线,点O为AB的中点,连接DO并延长到点E,使OE=OD,连接AE,BE.
(1)求证:
四边形AEBD是矩形;
(2)当△ABC满足什么条件时,矩形AEBD是正方形,并说明理由.
14.如图,点A、F、C、D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.
(1)求证:
四边形BCEF是平行四边形;
(2)若∠ABC=900,AB=4,BC=3,当AF为何值时,四边形BCEF是菱形。
15.如图11,四边形ABCD是矩形,E是BD上的一点,∠BAE=∠BCE,∠AED=∠CED,点G是BC、AE延长线的交点,AG与CD相交于点F.
(1)求证:
四边形ABCD是正方形;
(2)当AE=2EF时,判断FG与EF有何数量关系?
并证明你的结论.
16.如图,矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O,过点D作DP∥OC,且DP=OC,连结CP。
(1)求证四边形CODP为菱形(图一).
C
(2)如果题目中的矩形变为菱形(图二),结论应变为什么?
请说明理由。
(3)如果题目中的矩形变为正方形(图三),结论又应变为什么?
请说明理由。
17.如图①,在正方形ABCD中,F是对角线AC上的一点,点E在BC的延长线上,且BF=EF.
(1)求证:
BF=DF;
(2)求证:
∠DFE=90°;
(3)如果把正方形ABCD改为菱形,其他条件不变(如图②),当∠ABC=50°时,∠DFE= 度.
18、如图,矩形纸片ABCD中,AB=8,将纸片折叠,使顶点B落在边AD的E点上,折痕的一端G点在边BC上,BG=10.
(1)当折痕的另一端F在AB边上时,如图
(1),求△EFG的面积;
(2)当折痕的另一端F在AD边上时,如图
(2),证明四边形BGEF为菱形,并求出折痕GF的长.
19.已知正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于O.
①如图1,若E是AC上的点,过A作AG⊥BE于G,AG、BD交于F,求证:
OE=OF
②如图2,若点E在AC的延长线上,AG⊥EB交EB的延长线于G,AG延长DB延长线于点F,其它条件不变,OE=OF还成立吗?
20.如图,点M是矩形ABCD的边AD的中点,点P是BC边上一动点,PE⊥MC,PF⊥BM,垂足为E、F.
(1)当矩形ABCD的长与宽满足什么条件时,四边形PEMF为矩形?
猜想并证明你的结论.
(2)在
(1)中,当点P运动到什么位置时,矩形PEMF变为正方形,为什么?
21.某校数学兴趣小组开展了一次课外活动,过程如下:
如图①,正方形ABCD中,AB=4,将三角板放在正方形ABCD上,使三角板的直角顶点与D点重合.三角板的一边交AB于点P,另一边交BC的延长线于点Q.
(1)求证:
AP=CQ;
(2)如图②,小明在图1的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E,连接PE,他发现PE和QE存在一定的数量关系,请猜测他的结论并予以证明;
(3)在
(2)的条件下,若AP=1,求PE的长.
22.如图,已知Rt△ABD≌Rt△FEC,且B、D、C、E在同一直线上,连接BF、AE.
(1)求证:
四边形ABFE是平行四边形.
(2)若∠ABD=60°,AB=2cm,DC=4cm,将△ABD沿着BE方向以1cm/s的速度运动,设△ABD运动的时间为t,在△ABD运动过程中,试解决以下问题:
(1)当四边形ABEF是菱形时,求t的值;
(2)是否存在四边形ABFE是矩形的情形?
如果存在,求出t的值,如果不存在,请说明理由.
课后练习题
1.能判定四边形ABCD是平行四边形的条件是:
∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值为().
(A)1∶2∶3∶4 (B)1∶4∶2∶3 (C)1∶2∶2∶1(D)1∶2∶1∶2
2.如图(3),在梯形ABCD中AD∥BC,对角线AC⊥BD,
且AC=12,BD=9,则AD+BC=()
A.20B.21C.15D.24
3.四边形ABCD,仅从下列条件中任取两个加以组合,使得ABCD是平行四边形,一共有多少种不同的组合?
()
AB∥CDBC∥ADAB=CDBC=AD
(A)2组(B)3组(C)4组(D)6组
4.下列图形:
平行四边形、矩形、菱形、等腰梯形、正方形中是轴对称图形的有()个
A、1B、2C、3D、4
5.若O是四边形ABCD对角线的交点且OA=OB=OC=OD,则四边形ABCD是()
A、等腰梯形B、矩形C、正方形D、菱形
6.已知菱形的两条对角线长分别是4和8,则菱形的面积是()
(A)32B、64C、16D、32
7.等腰梯形的腰长为13cm,两底差为10cm,则等腰梯形高为()
A、12cmB、
cmC、69cmD、144cm
6.如图3,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线
AC于点F,E为垂足,连接DF.则∠CDF等于()。
A.80°B.70°C.65°D.60°
8.如图7,任意四边形ABCD各边中点分别是E、F、G、H,
若对角线AC、BD的长都为20cm,则四边形EFGH的周长是()。
A.80cmB.40cmC.20cmD.10cm
9.菱形具有而矩形不具有的性质是()
A.对角相等B.四边相等
C.对角线互相平D.四角相等
10.如图,在一个由4×4个小正方形
组成的正方形网格中,阴影部分面积
与正方形ABCD的面积比是()
A.3:
4B.5:
8C.9:
16D.1:
2
二、填空题
11.ABCD的周长为60cm,对角线交于O,AOB的周长比BOC
的周长长8cm,则AB、BC的长是。
12.若边长为4cm的菱形的两邻角度数之比为1∶2,
则该菱形的面积为cm2。
13.如右图,若梯形的两底长分别为4cm和9cm,
两条对角线长分别为5cm和12cm,则该梯形的面积为cm2。
14.若菱形的周长为16cm,一个内角为60°,则菱形的面积为______cm2。
15.□ABCD中,AB=2,BC=3,∠B,∠C的平分线交AD于E、F,则EF=.
16.延长△ABC的中线AD到E,使DE=AD,则四边形ABEC是四边形.
17.已知等腰三角形ABC的一腰,AB=9cm,过底边上任一点P作两腰的平行线分别交AB于M,交AC于N,则AM+PN=.
18.已知四边形ABCD中,AD∥BC,分别添加下列条件,①AB∥CD,②AB=DC,③AD=BC,④∠A=∠C,⑤∠B=∠C,能使四边形ABCD成为平行四边形的条件的序号是.
19.已知平行四边形的面积是144cm2,相邻两边上的高分别为8cm和9cm,则这个平行四边形的周长为________.
20.如图,P是四边形ABCD的DC边上的一个动点.当四边形ABCD满足条件______时,△PBA的面积始终保持不变(注:
只需填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形).
三、解答题
21.如图,已知AD是Rt△ABC斜边BC上的高,∠B的平分线交AD于M交AC于E,∠DAC的平分线交CD于N.证明:
四边形AMNE是菱形.
22.如图所示,.四边形ABCD、DEFG都是正方形,连接AE、CG.
(1)求证:
AE=CG;
(2)观察图形,猜想AE与CG之间的位置关系,
23.把正方形
绕着点
,按顺时针方向旋转
得到正方形
,边
与
交于点
(如图).试问线段
与线段
相等吗?
请先观察猜想,然后再证明你的猜想.
24.如图,已知四边形ABCD是等腰梯形,CD//BA,将△ABD沿AB对折得到△ABE,求证:
四边形AEBC是平行四边形。
25.如图,在
中,
,D、E、F分别是
、
、
边上的中点.
(1)
求证:
四边形
是菱形;
(2)若
cm,求菱形
的周长.
26.(本小题满分8分)
在正方形ABCD的边AB上任取一点E,作EF⊥AB交BD于点F,取FD的中点G,连结EG、CG,如图
(1),易证EG=CG且EG⊥CG.
(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°,如图
(2),则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系?
请直接写出你的猜想.
(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°,如图(3),则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系?
请写出你的猜想,并加以证明.
27、如图①,小明在研究正方形ABCD的有关问题时,得出:
“在正方形ABCD中,如果点E是CD的中点,
点F是BC边上的一点,且∠FAE=∠EAD,那么EF⊥AE”。
他又将“正方形”改为“矩形”、“菱形”和“任意平行四形”(如图②、图③、图④),其它条件不变,发现仍然有“EF⊥AE”结论。
你同意小明的观点吗?
若同意,请结合图④加以证明;若不同意,请说明理由。
26.已知Rt△ABC中,AC=BC,∠C=90°,D为AB边的中点,∠EDF=90°,∠EDF绕D点旋转,它的两边分别交AC、CB(或它们的延长线)于E、F.
当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC于E时(如图1),易证
.当∠EDF绕D点旋转到DE和AC不垂直时,在图2和图3这两种情况下,上述结论是否成立?
若成立,请给予证明;若不成立,
,
,
又有怎样的数量关系?
请写出你的猜想,不需证明.
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