第6章 不等式.docx
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第6章不等式
第6章不等式(组)
1、(2011海南省,3,3分)不等式x-2<0的解集是()
A、x>-2B、x<-2C、x>2D、x<2
【解题思路】由不等式的基本性质①,移项可得答案
【答案】D.
【点评】本题考查了运用不等式的基本性质①解不等式,移顶时要特别注意改变符号,属送分题,难度较小。
2.(2011山东烟台,4,4分)不等式4-3x≥2x-6的非负整数解有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
【解题思路】把不等式直接解出来,在数轴上画出不等式的解集后就很容易找到非负整数解了。
解不等式4-3x≥2x-6得,
,非负数有2、1、0,3个,选择C。
【答案】C
【点评】本题考查不等式的解法,注意的是,一个当未知数的系数是负数时,要改变不等号的方向,一个是非负整数要包括零。
本题难度较小。
3.(2011山东日照,6,3分)若不等式2x<4的解都能使关于x的一次不等式(a-1)x<a+5成立,则a的取值范围是
(A)1<a≤7(B)a≤7(C)a<1或a≥7(D)a=7
【解题思路】由不等式2x<4得:
x<2,且不等式2x<4的解都能使关于x的一次不等式(a-1)x<a+5成立,所以a-1>0,所以a>1,且
,解得:
a≤7,所以答案选A。
【答案】A
【点评】本题主要考查与不等式组有关的参数问题,这类题目是中考中的常见题型,难度和中等。
4.(2011山东菏泽,7,4分)某种商品的进价为800元,出售标价为1200元,后来由于该商品积压,商店准备打折销售,但要保证利润率不低于5%,则最多可打()
A.6折B.7折C.8折D.9折
【解题思路】设可打x折,则有
【答案】B
【点评】商品销售的利润率公式为
,难度中等。
5.(2011山东潍坊,5,3分)不等式组
的解集在数轴上表示正确的是()
【解题思路】解第①个不等式得解集为:
x>-3,解不等式②得其解集为:
x≤1,所以原不等式组解集为-3 【答案】A 【点拨】本题考查了不等式组的解法及其解集的表示.在数轴上表示不等式(组)的解集可按照下列口诀进行: “大于向右画,小于向左画,有等号的用实点,无等号的用圆圈”.难度较小. 6(山东临沂第8题3分)下等式组 的解集是() A.x≥8B.3<x≤8C.0<x≤2D.无解 解题思路: 先解第一个不等式得x≤8,解第二个不等式得x>3,结合数轴求得不等式组的解集是3<x≤8.故选B. 解答: 选B. 点评: 本题考查了解一元一次不等式组的相关知识.会解每一个不等式是基础,结合数轴求出不等式组的解集并正确书写出来是关键,在数轴表示不等式的解集时,空心点与实心点以及解集的方向是学生最容易出错的地方.本题的难度较小. 7.(2011广东省,12,6分)解不等式组: ,并把解集在数轴上表示出来. 【解题思路】解不等式①,得: x> 2;解不等式②,得: x 3,求两个不等式的公共部分即可 【答案】由①得: x>-2.由②得: x 3 ∴所以不等式组的解集为x 4,在在数轴上表示如图: 【点评】解不等式组是考查学生的基本计算能力,求不等式组解集的时候,可先分别求出组成不等式组的各个不等式的解集,然后借助数轴或口诀求出所有解集的公共部分,难度中等. 8.(2011山东菏泽,16 (2),6分)解不等式组 【解题思路】解第一个不等式得 ;解第二个不等式得 -1,所以原不等式组的解集为 。 【答案】解不等式①得 ,解不等式②得 -1,∴不等式组的解集为 。 【点评】解一元一次不等式组的一般步骤是: 先解各个不等式,然后求出它们的公共部分。 难度较小。 9.(山东临沂第17题3分)有3人携带会议材料乘坐电梯,这3人的体重共210kg,每捆材料重20kg,电梯最大负荷为1050kg,则该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载捆材料. 解题思路: 设能搭载x捆材料,根据题意得,210+20x≤1050,解得x≤42,因此该电梯在此3人乘坐的情况下最多还能搭载42捆材料,因此填42. 解答: 填42. 点评: 本题考查了不等式在实际生活中的应用,根据题目中的不等关系列出不等式是解答本题的关键,如果本题求得的结果不是正整数,应采用去尾法.本题难度较小. 10.(2011山东泰安,18,3分)不等式组 的最小整数解为() A.0B.1C.2D.-1 【解题思路】由3-x>0得x<3,由 得x>-1,所以不等式组的解集为-1 【答案】A 【点评】求一个不等式组的整数解的具体方法: 先求出不等式组的解集,再结合数轴求出其整数解.当不等式两边同乘以一个负数时,不等式的方向要改变,这是解不等式的最容易产生误区的地方.难度较小. 11.(山东省威,11,3分)如果不等式组 的解集是x<2,那么m的取值范围是(). A.m=2B.m>2C.m<2D.m≥2 【解题思路】先求出不等式组中每一个不等式的解集,再与x<2比较得出m的取值. 【答案】D. 【点评】本题涉及到不等式的解法、不等式组解集的确定,先求得第一个不等式的解集为x<2,第二个位x<m,根据同小取小的原则,这里去了x<2,因而m不应该比m小,这里注意m=2的情况,容易忽略.难度较小. 12.(2011四川眉山,18,3分)关于x的不等式3x-a≤0,只有两个正整数解,则a的取值范围是. 【解题思路】解不等式得x≤ ,由于只有两个正整数解,即1,2,故可判断 的取值范围,求出a的职权范围 【答案】原不等式解得x≤ , ∵解集中只有两个正整数解, 可知是1,2, ∴2≤ <3, 解得6≤a<9. 故答案为: 6≤a<9. 【点评】题考查了一元一次不等式的整数解.正确解不等式,求出正整数是解答本题的关键.解不等式应根据不等式的基本性质.对 的范围的把握是本题最易错的地方,也是学生最难理解之处.难度较难. 13.(本题满分6分)(2011山东德州,17,6分)解不等式组,并把解集在数轴上表示出来 【解题思路】解不等式组只要分别解不等式组里的每一个不等式,再取各解集的公共部分即可. ① ② 【答案】 解不等式①,得x 1,解不等式②,得x<4.所以,不等式组的解集为: 1 x<4,在数轴上表示为: 【点评】解一元一次不等式组,通常采用“分开解,集中判”的方法,即单独的解每一个不等式,而后集中找它们的解的“公共部分”.在找“公共部分”的过程中,可借助数轴或口诀以确定不等式组的解集.题目一般是不难,最主要是书写格式必须要注意. 14.(本题满分8分)(2011山东枣庄,22,8分)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”,计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本. (1)符合题意的组建方案有几种? 请你帮学校设计出来; (2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明 (1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元? 【解题思路】根据题意,由计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,列出不等式组,然后算出三种方案的费用,最后选择最低费用. 【答案】 (1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30-x)个.由题意,得 解这个不等式组,得18≤x≤20.由于x只能取整数,∴x的取值是18,19,20.当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10. 故有三种组建方案: 方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,中型图书 角19个,小型图书角11个;方案三,中型图书角20个,小型图书角10个. (2)方案一的费用是: 860×18+570×12=22320(元); 方案二的费用是: 860×19+570×11=22610(元); 方案三的费用是: 860×20+570×10=22900(元). 故方案一费用最低,最低费用是22320元. 【点评】本题主要考查学生运用不等式组解决实际问题的能力,解决这类问题的关键是理解题意的基础上发现不等关系是解决这类问题的关键,解题时还要注意分类讨论在解答此类问题的应用.难度中等. 15.(2010四川内江,加6,12分)某电脑经销商计划同时购进一批电脑机箱和液晶显示器,若购进电脑机箱10台和液晶显示器8台,共需资金7000元;若购进电脑机箱2台和液晶显示器5台,共需资金4120元. (1)每台电脑机箱和液晶显示器进价各多少元? (2)该经销商计划购进这两种商品共50台,而可用于购买这两种商品的资金不超过22240元.根据市场行情,电脑机箱液晶显示器销售一台获利分别为10元、160元.该经销商希望销售完这两种商品后,所获利润不少于4100元,试问: 该经销商有几种进货方案? 那种方案获利最大? 最大利润是多少? 【思路分析】 (1)每台电脑机箱和液晶显示器进价分别为x、y元,可列二元一次方程组求解; (2)设购进机箱z台,则购进显示器(50-x)台,根据题目中提示的不等量关系“不低于、不超过”可列一元一次不等式组确定购买方案. 【答案】解: 每台电脑机箱和液晶显示器进价分别为x、y元, (1) ,解得 ,所以每台电脑机箱和液晶显示器进价分别是60元、800元. (2)设购进机箱z台,则购进显示器(50-x)台, ,解得24≤x≤26, ∴可购买机箱24台、显示器26台或机箱25台、显示器25台或机箱26台、显示器24台,共三种方案; 24×10+160×26=4400(元), 25×10+160×25=4250(元), 26×10+160×24=4100(元), ∴购买机箱24台、显示器26台时利润最大,最大利润是4400元. 【点评】本题应用不等式、方程组的有效模型解决生活实际问题.问题中的“不低于、不超过”隐含着不等量关系,从而构建不等式.“方案获得的利润最大”可以列举符合问题中的方案进行利润比较,也可以建立可获得利润与x垄之间的一次函数关系,应用一次函数增减性确定最佳方案. 16.(2011四川眉山,24,9分)在眉山市开展城乡综合治理的活动中,需要将A、B、C三地的垃圾50立方米、40立方米、50立方米全部运往垃圾处理场D、E两地进行处理.已知运往D地的数量比运往E地的数量的2倍少10立方米. (1)求运往两地的数量各是多少立方米? (2)若A地运往D地a立方米(a为整数),B地运往D地30立方米,C地运往D地的数量小于A地运往D地的2倍.其余全部运往E地,且C地运往E地不超过12立方米,则A、C两地运往D、E两地哪几种方案? (3)已知从A、B、C三地把垃圾运往D、E两地处理所需费用如下表: A地 B地 C地 运往D地(元/立方米) 22 20 20 运往E地(元/立方米) 20 22 21 在 (2)的条件下,请说明哪种方案的总费用最少? 【解题思路】 (1)设运往E地x立方米,由题意可列出关于x的方程,求出x的值即可; (2)由题意列出关于a的一元一次不等式组,求出a的取值范围,再根据a是整数可得出a的值,进而可求出答案;(3)根据 (1)中的两种方案求出其费用即可. 【答案】 (1)设运往E地x立方米,由题意得,x+2x-10=140, 解得: x=50, ∴2x-10=90, 答: 共运往D地90立方米,运往E地50立方米; (2)由题意可得, , 解得: 20<a≤22, ∵a是整数, ∴a=21或22, ∴有如下两种方案: 第一种: A地运往D地21立方米,运往E地29立方米; C地运往D地39立方米,运往E地11立方米; 第二种: A地运往D地22立方米,运往E地28立方米; C地运往D地38立方米,运往E地12立方米; (3)第一种方案共需费用: 22×21+20×29+39×20+11×21=2053(元), 第二种方案共需费用: 22×22+28×20+38×20+12×21=2056(元), 所以,第一种方案的总费用最少. 【点评】本题考查的是一元一次不等式组及一元一次方程的应用,根据题意列出一元一次不等式组及一元一次方程是解答此题的关键.难度适中. 17.(2011内蒙古呼和浩特,23,6分)生活中,在分析研究比赛成绩时经常要考虑不等关系.例如: 一射击运动员在一次比赛中将进行10次射击,已知前7次射击共中61环,如果他要打破88环(每次射击以1到10的整数环计数)的记录,问第8次射击不能少于多少环? 我们可以按以下思路分析: 首先根据最后二次射击的总成绩可能出现的情况,来确定要打破88环的记录,第8次射击需要得到的成绩,并完成下表: 最后二次射击总成绩 第8次射击需得成绩 20环 19环 18环 根据以上分析可得如下解答: 解: 设第8次射击的成绩为x环,则可列出一个关于x的不等式: _______________________________________ 解得_______________ 所以第8次设计不能少于________环. 【解题思路】本题关键要审清题意,弄清各数据之间的关系,在此基础上填入表格中的数据,但要注意分类.根据题目中给出的不等量关系的信息“打破88环”,先按最后二次射击各10环计算,设出第8环为 再利用10次射击要打破88环这个条件,列出一次不等式,进而解答这个不等式. 【答案】8环或9环或10环…………………………………(1分) 9环或10环………………………………………………………(2分) 10环…………………………………………………………………(3分) …………………………………………………………(4分) ………………………………………………(5分) 8环……………………………………………………………………(6分) 【点评】本题以运动员射击比赛为背景,在公平的背景下考查了实际问题与一元一次不等式这个知识点,体现出数学来源于生活又服务于生活,试题从特殊到一般的过程中既降低了难度,又渗透分类讨论的数学思想方法.根据题意列出相应的不等式是本题的解题关键点,起着承上启下的作用.难度中等. 18.(2011内蒙古乌兰察布,23,10分)某园林部门决定利用现有的349盆甲种花卉和295盆乙种花卉搭配A、B两种园艺造型共50个,摆放在迎宾大道两侧.已知搭配一个A种造型需甲种花卉8盆,乙种花卉4盆;搭配一个B种造型需甲种花卉5盆,乙种花卉9盆. (l)某校九年级某班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计,问符合题意的搭配方案有几种? 请你帮助设计出来; (2)若搭配一个A种造型的成本是200元,搭配一个B种造型的成本是360元,试说明 (1)中哪种方案成本最低,最低成本是多少元? 【解题思路】⑴设搭配A、B两种园艺造型分别为 、 个( 、 均为正整数). 由题意: 解得: 17≤ ≤19且为正整数 所以 =17或18或19 答: 符合题意的搭配方案有三种: ①搭配A造型33个,搭配B造型17个;②搭配A造型32个,搭配B造型18个;③搭配A造型31个,搭配B造型19个. ⑵第①种设计需成本: (元) 第②种设计需成本: (元) 第③种设计需成本: (元) ∵12720<12880<13040 ∴第①种: 搭配A造型33个,搭配B造型17个设计成本最低为12720元. 【点评】本题主要考查了方程与不等式的混用来设计方案问题,这是中考中方案设计的常见问题,对于考生不难上手和得分,难度中等. 19.(2011广西桂林,24,8分)某校志愿者团队在重阳节购买了一批牛奶到“夕阳红”敬老院慰问孤寡老人,如果给每个老人分5盒,则剩下38盒,如果给每个老人分6盒,则最后一个老人不足5盒,但至少分得一盒. (1)设敬老院有 名老人,则这批牛奶共有多少盒? (用含 的代数式表示). (2)该敬老院至少有多少名老人? 最多有多少名老人? 【解题思路】 (1)由如果给每个老人分5盒,则剩下38盒,可得: 这批牛奶共有(5x+38)盒, (2)用牛奶总数(5x+38)减去前(x-1)名老人的得数6(x-1)即为最后一名老人的牛奶数 盒 【答案】解: (1)牛奶盒数: 盒…………1分 (2)根据题意得: …………4分 ∴不等式组的解集为: 39< ≤43…………6分 ∵ 为整数 ∴ 40,41,42,43 答: 该敬老院至少有40名老人,最多有43名老人.…………8分 【点评】本题考查了不等式的应用,关键是抓住题的不等量关系来列不等式(组),此题还有一个关键即: 有(x-1)名老人得到6盒,这是个易错点,有不少学生以为是x名老人分得6盒导致做错,难度中等. 20.(2011,天津,19,6分) 解不等式组 【解题思路】: 先分别解一元一次不等式,再求不等式组解集。 【答案】: 由2x+1>x-5得x>-6,由4x≤3x+2得x≤2, 所以原不等式组的解集为-6 【点评】: 本题考察了一元一次不等式组的基本解法。 难度较小。 21(2011山西,19 (2),6分)解不等式组: ,并把它的解集表示在数轴上。 【解题思路】分别求出每个不等式的解集,然后再求出其公共部分,第一个不等式的解集是x≥﹣1,第二个不等式的解集是x<2,所以不等式组的解集是﹣1≤x<2. 【答案】解: 解不等式①,得x≥﹣1 解不等式②,得x<2 ∴原不等式组的解集为﹣1≤x<2. 在数轴上表示不等式组的解集,如图 【点评】本题主要考察不等式组的解法,做此类题要先求出每个不等式的解集,然后再求出各个解集的公共部分。 难度较小。 22.(2011浙江衢州,18,6分) 解不等式x-1≤ 并把解在数轴上表示出来. 【解题思路】应先去分母,在移项,合并同类项,再把系数化为1,即可. 【答案】去分母,得3(x-1)≤1+x, 整理,得2x≤4,∴x≤2 【点评】本题考查的是不等式的解法,解不等式与一元一次方程一样,先去分母,去括号,合并同类项,系数化为1,当两边同除以负数时,不等号方向需要改变,而且在数轴上表示时,“>”“<”都用空心的圆圈,“≥”“≤”都用实心的圆点.难度较小. (2011浙江,17,4分)解不等式组: 并把他的解集在数轴上表示出来。 【解题思路】本题是解二元一次不等式组的基本题型。 答案: (2)解: 由 (1)可得x<4 由(2﹚可得x>- 所以原不等式组的解集为- 【点评】本题是基本知识,难度较小。 23.(2011浙江宁波,24,10分)我市某林场计划购买甲、乙两种树苗800株,甲各种树苗每株24元,乙种树苗每株30元.相关资料表明: 甲、乙两种树苗的成活率分别为85%,90%. (1)若购买这两种树苗共用去21000元,则甲、乙两种树苗各购买多少株? (2)若要使这批树苗的总成活率不低于88%,则甲种树苗至多购买多少株? (3)在 (2)的条件下,应如何选购树苗,使购买树苗的费用最低? 并求出最低费用. 【解题思路】 (1)设购买甲种树苗x株,乙种树苗y株,由题中两个相等关系可列方程组; (2)设出未知数,由题中条件可列不等式组;(3)树苗的费用与树苗的株数为一次函数关系,即求此一次函数的最大值. 【答案】 (1)设购买甲种树苗x株,乙种树苗y株,则列方程组 解得 答: 购买甲种树苗500株,乙种树苗300株. (2)设购买甲种树苗z株,乙种树苗(800-z)株,则列不等式 ,解得 . 答: 甲种树苗至多购买320株. (3)设甲种树苗购买m株,购买乙种树苗的费用为w元,则是 , ∵-6<0, ∴W随m的增大而减小. ∵ , ∴当m=320时,W有最小值. . 答: 当选购甲种树苗320株,乙种树苗480株时,总费用最低为22080元. 【点评】简单的方程组问题,结合实际,结合了不等式组的情境.对于最后求利润的最大值时,利用一次函数的增减性可以直接求出取得最值时的自变量的值.难度中等. 24.(2011浙江温州,23,12分)(本题12分)2011年5月20日是第22个中国学生营养日,某校社会实践小组在这天开展活动,调查了快餐营养情况.它们从食品安全监督部门获取了一份快餐的信息(如图).根据信息,解答下列问题. ⑴求这份快餐中所含脂肪质量; ⑵若碳水化合物占快餐总质量的40%,求这份快餐所含蛋白质的质量; ⑶若这份快餐中蛋白质和碳水化合物所占百分比的和不高于85%,求其中所含碳水化合物质量的最大值. 【解题思路】读取框表中中数据信息,结合题意,进行转换,借助注意关键字眼,构建不等式进行分析探究。 【答案】解: (1)400×5%=20.答: 这份快餐中所含脂肪质量为20克。 (2)设所含矿物质的质量为x克, 由题意得: x+4x+20+400×5%=400, ∴x=44,∴4x=176 答: 所含蛋白质的质量为176克。 (3)解法一: 设所含矿物质的质量为y克,则所含碳水化合物的质量为(380-5y)克, ∴4y+(380-5y)≤400×85%,∴y≥40, ∴380-5y≤180,∴所含碳水化合物的质量的最大值为180克. 解法二: 设所含矿物质的质量为n克,则n≥(1-85%-5%)×400, ∴n≥40,∴4n≥160,∴400×85%-4n≤180, ∴所含碳水化合物的质量的最大值为180克. 【点评】本题考察了用不等式解决实际问题,这类问题一是要结合题给条件或生活经验定义函数关系式,正确理解题意列出函数和不等式是关键,应注意“不高于”是表示“≤”,“不低于”是表示“≥”,最后利用所学的数学知识进行最佳方案的判断。
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