北师大版高中数学必修一学案第二章 5 简单的幂函数二.docx
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北师大版高中数学必修一学案第二章5简单的幂函数二
学习目标
1.理解函数奇偶性的定义.2.掌握函数奇偶性的判断和证明方法.3.会应用奇、偶函数图像的对称性解决简单问题.
知识点一 函数奇偶性的几何特征
思考 下列函数图像中,关于y轴对称的有哪些?
关于原点对称的呢?
梳理 一般地,图像关于y轴对称的函数叫作________函数,图像关于原点对称的函数叫作________函数.
知识点二 函数奇偶性的定义
思考1 为什么不直接用图像关于y轴(原点)对称来定义函数的奇偶性?
思考2 利用点对称来刻画图像对称有什么好处?
梳理 函数奇偶性的概念
(1)偶函数:
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有________________,那么函数f(x)就叫作偶函数.其实质是函数f(x)上任一点(x,f(x))关于y轴的对称点(-x,f(x))也在f(x)图像上.
(2)奇函数:
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有________________,那么函数f(x)就叫作奇函数.其实质是函数f(x)上任一点(x,f(x))关于原点的对称点(-x,-f(x))也在f(x)图像上.
(3)由函数奇偶性定义,对于定义域内任一元素x,其相反数-x必须也在定义域内,所以判断函数奇偶性要注意定义域优先原则,即首先要看定义域是否关于原点对称.
知识点三 奇偶性与单调性
思考 观察偶函数y=x2与奇函数y=
在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性,你有何猜想?
梳理
(1)若奇函数f(x)在[a,b]上是增函数,且有最大值M,则f(x)在[-b,-a]上是________函数,且有最小值________.
(2)若偶函数f(x)在(-∞,0)上是减函数,则f(x)在(0,+∞)上是__________.
(3)知道了函数的奇偶性,我们可以先研究函数的一半,再利用对称性了解其另一半,从而减少工作量.
类型一 判断函数的奇偶性
例1 判断并证明下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=
;
(2)f(x)=(x+1)(x-1);
(3)f(x)=
+
.
反思与感悟 利用定义法判断函数是否具有奇偶性时,首先应看函数定义域是否关于原点对称,即对于定义域内的任意一个x,则-x也一定属于定义域.
跟踪训练1 判断并证明下列函数的奇偶性:
(1)f(x)=(x-2)
;
(2)f(x)=x|x|;
(3)f(x),g(x)是定义在R上的奇函数,试判断y=f(x)+g(x),y=f(x)g(x),y=f[g(x)]的奇偶性.
类型二 奇偶性的应用
例2 定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图像如图所示.
(1)画出f(x)的图像;
(2)解不等式xf(x)>0.
引申探究
把例2中的“奇函数”改为“偶函数”,重做该题.
反思与感悟 鉴于奇(偶)函数图像关于原点(y轴)对称,可以用这一特性去画图,求值,求解析式,研究单调性.
跟踪训练2 已知奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且在区间[0,5]上的图像如图所示.
(1)画出在区间[-5,0]上的图像;
(2)写出使f(x)<0的x的取值集合.
例3 函数f(x)是定义域为R的奇函数,当x>0时,f(x)=-x+1,求当x<0时,f(x)的解析式.
反思与感悟 利用函数的奇偶性求函数解析式
已知函数f(x)在区间[a,b]上的解析式,求函数f(x)在区间[-b,-a]上的解析式的一般方法:
(1)设:
设-b≤x≤-a,则a≤-x≤b.
(2)求f(-x):
根据已知条件f(x)在区间[a,b]上的解析式可求得f(-x)的解析式.
(3)求f(x):
根据函数f(x)的奇偶性来实现函数的解析式在f(x)与f(-x)之间的相互转化.
跟踪训练3 已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=2x-x2.求y=f(x)的解析式.
例4 设f(x)是偶函数,在区间[a,b]上是减函数,试证f(x)在区间[-b,-a]上是增函数.
反思与感悟 与求解析式一样,证哪个区间上的单调性,设x1,x2属于哪个区间.同样,求哪个区间上的最值,也设x属于哪个区间.
跟踪训练4 已知偶函数f(x)在[0,+∞)上单调递减,f
(2)=0.若f(x-1)>0,则x的取值范围是________.
1.下列函数为偶函数的是( )
A.f(x)=x-1
B.f(x)=x2+x
C.f(x)=2x-2-x
D.f(x)=2x+2-x
2.函数f(x)=x(-1 A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数 3.已知函数y=f(x)+x是偶函数,且f (2)=1,则f(-2)等于( ) A.-1B.1C.-5D.5 4.已知f(x)是奇函数,且x>0时,f(x)=x-1,则x<0时f(x)等于( ) A.x+1B.x-1 C.-x-1D.-x+1 5.定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数,若f(a) A.a C.|a|<|b|D.0≤ab≥0 1.两个定义: 对于f(x)定义域内的任意一个x,如果都有f(-x)=-f(x)⇔f(-x)+f(x)=0⇔f(x)为奇函数;如果都有f(-x)=f(x)⇔f(-x)-f(x)=0⇔f(x)为偶函数. 2.两个性质: 函数为奇函数⇔它的图像关于原点对称;函数为偶函数⇔它的图像关于y轴对称. 3.证明一个函数是奇函数,必须对f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x).而证明一个函数不是奇函数,只要能举出一个反例就可以了. 4. (1)根据奇函数的定义,如果一个奇函数在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数. (2)偶函数的一个重要性质: f(|x|)=f(x),它能使自变量化归到[0,+∞)上,避免分类讨论. 5.具有奇偶性的函数的单调性的特点: (1)奇函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相同的单调性. (2)偶函数在[a,b]和[-b,-a]上具有相反的单调性. 答案精析 问题导学 知识点一 思考 ①②关于y轴对称,③④关于原点对称. 梳理 偶 奇 知识点二 思考1 因为很多函数图像我们不知道,即使画出来,细微之处是否对称也难以精确判断. 思考2 好处有两点: (1)等价: 只要所有点均关于y轴(原点)对称,则图像关于y轴(原点)对称,反之亦然. (2)可操作: 要判断点是否关于y轴(原点)对称,只要代入解析式验证即可,不知道函数图像也能操作. 梳理 (1)f(-x)=f(x) (2)f(-x)=-f(x) 知识点三 思考 偶函数y=x2在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相反;奇函数y= 在(-∞,0)和(0,+∞)上的单调性相同. 梳理 (1)增 -M (2)增函数 题型探究 例1 证明 (1)因为函数的定义域为{x|x∈R且x≠1},∴对于定义域内的-1,其相反数1不在定义域内,故f(x)= 既非奇函数又非偶函数. (2)函数的定义域为R,因为函数f(x)=(x+1)(x-1)=x2-1,又f(-x)=(-x)2-1=x2-1=f(x),所以函数为偶函数. (3)函数的定义域为{-1,1},因为对定义域内的每一个x,都有f(x)=0,所以f(-x)=f(x),故函数f(x)= + 为偶函数.又f(-x)=-f(x),故函数f(x)= + 为奇函数.即该函数既是奇函数又是偶函数. 跟踪训练1 解 (1)由 ≥0,得定义域为[-2,2),关于原点不对称,故f(x)为非奇非偶函数. (2)函数的定义域为R,因为f(-x)=(-x)|-x|=-x|x|=-f(x),所以函数为奇函数. (3)∵f(x),g(x)是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)],y=f(x)+g(x)是奇函数. f(-x)g(-x)=[-f(x)][-g(x)]=f(x)g(x),y=f(x)g(x)是偶函数. f[g(-x)]=f[-g(x)]=-f[g(x)], y=f[g(x)]是奇函数. 例2 解 (1)先描出(1,1),(2,0)关于原点的对称点(-1,-1),(-2,0),连线可得f(x)的图像如图. (2)xf(x)>0即图像上横坐标、纵坐标同号.结合图像可知,xf(x)>0的解集是(-2,0)∪(0,2). 引申探究 解 (1)f(x)的图像如图所示: (2)xf(x)>0的解集是(-∞,-2)∪(0,2). 跟踪训练2 解 (1)如图,在[0,5]上的图像上选取5个关键点O,A,B,C,D. 分别描出它们关于原点的对称点O′,A′,B′,C′,D′, 再用光滑曲线连接即得. (2)由 (1)图可知,当且仅当x∈(-2,0)∪(2,5)时,f(x)<0. ∴使f(x)<0的x的取值集合为(-2,0)∪(2,5). 例3 解 设x<0,则-x>0, ∴f(-x)=-(-x)+1=x+1, 又∵函数f(x)是定义域为R的奇函数, ∴f(-x)=-f(x)=x+1, ∴当x<0时,f(x)=-x-1. 跟踪训练3 解 设x<0,则-x>0, 因为f(x)是奇函数, 所以f(x)=-f(-x) =-[2(-x)-(-x)2]=2x+x2. 因为y=f(x)是R上的奇函数, 所以f(0)=0. 所以f(x)= 例4 证明 设x1,x2是区间[-b,-a]上任意两个值,且有x1<x2. ∵-b≤x1<x2≤-a, ∴a≤-x2<-x1≤b. ∵f(x)在[a,b]上是减函数, ∴f(-x2)>f(-x1). ∵f(x)为偶函数,即f(-x)=f(x), ∴f(-x2)=f(x2),f(-x1)=f(x1). ∴f(x2)>f(x1),即f(x1)<f(x2). ∴函数f(x)在区间[-b,-a]上是增函数. 跟踪训练4 (-1,3) 解析 ∵f(x)为偶函数, ∴f(x-1)=f(|x-1|), 又f (2)=0,∴f(x-1)>0, 即f(|x-1|)>f (2), ∵|x-1|,2∈[0,+∞), 且f(x)在[0,+∞)上单调递减. ∴|x-1|<2,即-2 ∴x的取值范围为(-1,3). 当堂训练 1.D 2.C 3.D 4.A 5.C
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