矢量分析与场论谢树艺习题答案清晰版docx.docx

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矢量分析与场论谢树艺习题答案清晰版docx

习题1解答

1.写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。

（1）x=acost,y=bsint

（2）x=3sin?

j=4sin"z=3cos?

解：

（1）r=acos巾+Z>sin〃，其图形是xOy平面上之椭圆。

（2）r=3sin"+4sin"+3cos设，其图形是平面4x-3y=0与圆柱面

x2+z2=32之交线，为一椭圆。

2.设有定圆0与动圆C,半径均为。

，动圆在定圆外相切而滚动，求动圆上一定点肱所描曲线的矢量方程。

解：

设M点的矢径为OM=r=xi+yj,ZAOC=0,©讦与x轴的夹角为

2。

-〃；因OM=OC+CM^

r=xi+yj=2acosOi+lasin^j+acos（20-^）i+asin（2^-^）j

则x=lacos0-acos20,y=2asin0-asin20.

故尸=（2acos0-acos20）i+（2asinH—asin20）j

2

4.求曲线x=t,y=t2,z=~t3的一个切向单位矢量7。

2

解：

曲线的矢量方程为r=ti+t"+qt3k

则其切向矢量为S+2〃+"k

at

模为I—1=Vl+4/2+4/4=1+2/2

dt

drdri+2tj+2t2k

于是切向单位矢量为—/I—1=1,>2

atat1+2/

6.求曲线x=asin2^,j=asin2t,z=acost,在l=改处的一个切向矢量。

解：

曲线矢量方程为r=ttsin2Z/+«sin2^+«cosZfc

dr

切向矢量为£=一=a^n2ti+2acos2ij-asmtk

也

7.求曲线x=t2+l,y=4t-3,z=2t2-6t在对应于f=2的点M处的切线方程和法平面方程。

解：

由题意得M（5,5,-4）,曲线矢量方程为尸=（尸+项+（劣一3"+。

2一&*,

于是切线方程为Y=N=£±i,即q=B=士

442221

于是法平面方程为2（x一5）+2顷一5）+（z+4）=0,即

8.求曲线「="+

dr

解：

曲线切向矢量为T=—=i+2tj+3t2]i,

（1）

dt

平面的法矢量为n=i+2j+k,由题知

花=（，+2〃+3"左）（，+2/+Jl）=1+41+3"=0

得t=—l9——。

将此依次代入⑴式，得

—iH/k

3927

/=-i=-i+j-k\it=

3

故所求点为（—1,1—1）,—三,6，—万

习题2

Isyl/

解答

1.说出下列数量场所在的空间区域，并求出其等值面。

⑴“=scq；

（2）u=arcsin

解：

（1）场所在的空间区域是除Ax+By+Cz+D=O外的空间。

等值面为

=C^Ax+By+Cz+D——=0（C。

。

为任意常数），这是与Ax+By+Cz+D11

平面Ax+By+Cz+D=O平行的空间。

（2）场所在的空间区域是除原点以外的z2

等值面为々2=尸+丁2sjn2c,（

W+）2莉），

当sineA0时，是顶点在坐标原点的一族圆锥面（除顶点外）;

当sinc=0时，是除原点外的xOy平面。

2.求数量场u=X+y经过点沮（1,1,2）的等值面方程。

Z

解：

经过点肱（1,1,2）等值面方程为

x2+j212+12,

z2

即z=x2+y\是除去原点的旋转抛物面。

3,已知数量场u=xy,求场中与直线x+2y-4=0相切的等值线方程。

解：

设切点为（工0，为），等值面方程为xy=c=xoyo,因相切，则斜率为

k=—=,即X。

=2_yn

X。

2'

点（工0，丁0）在所给直线上，有

W2%—4=0

解之得％=1,x0=2

故xy=2

4.求矢量A=xy2i+x2yj+zy2k的矢量线方程。

解矢量线满足的微分方程为

Axdr=0,

vdxdydz

或==

次222

xyxyzy

土/.dxdz

有xdx=yay,——=—・

xz

解之得'一”（G，G为任意常数）

z=C2x

5.求矢量场A=x2i+y2j+（x+y）zk通过点M（2,1,1）的矢量线方程。

解矢量线满足的微分方程为%=%=——x2j2（x+y）z

rdxdx11八

由「■=r得一=—+，

XyXy

按等比定理有"=即虹*=隹.解得X-7=C2Z.x2-y2（x+y）zx-yz

故矢量线方程为｛xy又M（2,l,l）求得G=-一,C2=1

2

x-y=C2z

故所求矢量线方程为=J~2.

x-y=z

习题3解答

1.求数量场u=x2z3+2y2z在点M（2,0,-1）处沿l=2xi-xy2j+3zX的方向导数。

解：

因4m=（2x'—xy"+3z%）L=4，+3A,其方向余弦为

4o3

cosa=—,cosp=0,cos/=—.

在点M（2,0,-l）处有票=2^3=—4,掌=4兴=0,华=3/々2+2殳=12,

oxoyoz

所以—=-•（-4）+0»0+-»12=4ol55

2.求数量场"=3x2z-xy+z2在点M（1,-1,1）处沿曲线x=t,y=-t2,z=t3朝，

增大一方的方向导数。

解：

所求方向导数，等于函数"在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。

曲线上点

M所对应的参数为t=l,从而在点M处沿所取方向，曲线的切向方向导数为

其方向余弦为cos（x=.——,cosB=—-^=,cosy=一-j=.

V14V14V14

dudun_1,一2_324

——=（—cosoc+■——cosp+—-cosy）=7x—~^=+（—1）x--^=+5x--^==—-^=

3/m3/dzmV14J14V14J14

3.求数量场"=x2jz3在点M（2,1,-1）处沿哪个方向的方向导数最大?

4.画出平面场"=-（x2-y2）中"=0,二1,1,2的等值线，并画出场在MX（2,V2）与点

222

M2（3,V7）处的梯度矢量，看其是否符合下面事实:

（1）梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小；

（2）在每一点处，梯度垂直于该点的等值线，并指向"增大的方向。

22n221

X-y=0,x-y=1,

解：

所述等值线的方程为：

x2-y2=2,x2-y2=3,其中第一个又可以写为

x2-y2=4,

x-j=O,x+j=0为二直线，其余的都是以Qx轴为实轴的等轴双曲线

（如下图,

图中G]=graduh/

G2=gradu|M,）

由于gradu=xi-yj^

故

gradual=2i-41j,

gradu"=3i-

由图可见，其图形都符合所论之事实。

5.用以下二法求数量场iz=xy+yz+zx在点P（l,2,3）处沿其矢径方向的方向导数。

（1）直接应用方向导数公式；

（2）作为梯度在该方向上的投影。

解：

（1）点P的矢径r=i+2j+3上，其模|r|=应.其方向余弦为

1o23„

cosa=-~i=,cosp=—=,cosy=—；=.x.

714714V14

客=（y+z）|=5,手=（*+z）|=4,竺=U+j）|=3dxPdypdzP

dudun、

—-=（—cosa+cosp+—-cos/）

所以叭a、力&

1,2,322

5x-.—+4x-.—+3x-.—=-.—o

V14V14V14V14

⑵^U\p=（-i+-j+-k）=5i+4j+3k,

6,求数量场w=x+2j+3z+xy+3x-2j-6z在点0（0,0,0）与点4（1,1,1）处梯度的大小和方向余弦。

又问在哪些点上梯度为0?

解：

gradu=（2x+y+3）i+（4j+x-2）j+（6z一6）心

gradu|^=3i-2j-6A;,gradu|A=6/+3J+0A;,

其模依次为：

02+（—2）2+（—6）2=7,a/62+32+02=3Ji

326

于是gradu＞的方向余弦为cosa=_、cos0=——,cosr=——

I。

777

2x+y+3=0,

求使grarfu=0之点，即求坐标满足＜4y+x-2=0,之点，由此解得

6z—6=0

x=-2,j=l,z=l故所求之点为（一2,1,1）.

7.通过梯度求曲面工2丁+2xz=4上一点M（1-2,3）处的法线方程。

解：

所给曲面可视为数量场u=x2y+2xz的一张等值面，因此，场“在点肱处的梯度，就是曲面在该点的法矢量，即

gradu|M=（2xj+2z）i+x2j+=2i+j+2k,

故所求的法线方程为日=al=日.

212

8.求数量场"=3x2+5y2-2z在点M（1,1,3）处等值面朝Oz轴正向一方的法线方

向导数乎。

On

3"3"du

解：

因gradu=—i+—j+—A：

=6xi+10yj-2koxoydz

gradu=61+lOj-

M

梯度与z夹角为钝角，所以沿等值面朝Oz轴正向一方的法线方向导数为

票■=-Igradu\=-2-^35an

习题4

1.设S为上半球面*2+j2+z2=a2（z>0）,求矢量场r=xi+yj+zk向上穿过S的通量

中。

【提示：

注意S的法矢量n与r同指向】

解0=\\rdS=\\rndS=^S=a\\dS=alm\

SSSS

2.设S为曲面*2+y2+z2=。

2（0《z《龙）,求流速场v=（x+y+Z）k在单位时间内下

侧穿S的流量Q。

解：

。

=jj（x+y+z）dxdy=-jj（x+y+x2+y2）dxdy,其中d为s在xOy面上的投

SD

影区域：

『+心/Z.用极坐标计算，有Q=-JJrco破+rsW+r2）rd洒

4h矽lj2

——+一座=——油•

342

D

=_『（r2cos^+r2sin^+r3Vr=-「［（co前+sin0

3.设S是锥面z=《『+）2在平面々=4的下方部分，求矢量场A=4xzi+yy+3zk向下穿出S的通量①。

解：

4.求下面矢量场A的散度。

（1）A=（x3+yz）i+（y2+xz）j+（z3+xy）k;

（2）A=（2z-3y）i+（3x-z）j+（y-2x）k;

（3）A=（1+jsinx）z+（xcosy+y）j.

解：

（1）divA=3x2+2y+3z2

（2）divA=0

（3）divA=ycosx-xsinj+1

5.求divA在给定点处的值：

（1）A=x3i+y3j+z3k在点M（l,0,-l）处；

（2）A=4xi-2xyj+z2k在点M（l,l,3）处；

（3）A=xyzr（r=xi+W+zA在点M（l,3,2）处；

解：

（1）divA.=（3x：

+3^2+3z：

）L=6

（2）divA|M=（4-2x+2z）|M=8

（3）divA=xyzdivr+graJ（xyz）•r=3xyz+（jzi+x^/+xyk）（xi+yj+zk）

=6xyz,故divA|m=6xy^\M=36。

6.已知"=xy2z3,A=x2i+xtJ-2yzk^求div（uA）。

解：

7.求矢量场A从内穿出所给闭曲面S的通量中：

（1）A=x3i+y3j+z3k,S^j^^x2+y2+z2=a2;

222

（2）4=（x-_y+z），+3-々+珈+（々-工+小,，为椭球面二+号+二=

a'b-c-

解：

（1）O=JS=JJJdivAdV=jjj3（x2+j2+z2）JV

s。

。

其中Q为S所围之球域『+y2+Z2今用极坐标

x=rsinOcos^,y=rsinOsin但z=rcos^计算，有

C>=3JJF.r2s\n6drd6d（p=3d（p^r4dr=—7H5q5

（2）①顼AdS=jjjdivAdV=3JjpV=3x-mbc=4mibc.

SQ.Q3

习题五

1.求一质点在力场尸=-yi-zj+xk的作用下沿闭曲线/:

x=〃cos"y=asinr,

x=a（l-cost）从t=0到，=In运动一周时所做的功。

解：

功W=（^Fdl=（^-ydx-zdy+xdz

1i

=。

伊sin2^-a2（l-cos^）cos^+a2cossin

2F"2

=aI（1-cost+costsint）dt=2m

2.求矢量场A=-yi+xj+Ck（C为常数）沿下列曲线的环量：

（1）圆周x2+y2=R2=0；

（2）圆周（x—2）2+j2=/?

2,z=0o

解：

（1）令x=Rcosff,则圆周x2+y2==0的方程成为x=RcosG^y=Rsinff^z=0,于是环量

寸一ydx+xdy+Cdz=（7?

2sin2If2cos0）d0=2冗R・

r=寸A•dl=

i

（2）令x—2=Acos。

，则圆周（x-2）2+j2=/f\z=O的方程成为

x=cos^+=RsinG^z=0,于是环量

r=寸A•"/='-ydx+xdy+Cdz=£^[7?

2sin20+（Acos04-2）1?

cosCM。

ii

=,（R2+2RcosO）d0=2就2

3.用以下两种方法求矢量场A=x（z-y）i+j（x-z）j+z（y-x）k在点M（1,2,3）处沿方

向n=i+2j+2k的环量面密度。

（1）直接应用环量面密度的计算公式；

（2）作为旋度在该方向上的投影。

“〃122122

解：

（1）n=7-1=—i+—j+—ky故〃的方向余弦为cosq=—,cos/=—,cos/=一・

333333

又P=x（z一y\Q=y（x-z\R=z（j一x）根据公式，环量面密度

A，L=^Ry~Qz）cosa+（Pz-Rx）cos^+（Qx-Py）cosy]M

rz、1,、2,、2、58619

=[U+?

）-+U+z）-+（x+y）-]M=-+-+-=—

J。

。

。

。

。

J

⑵rotA\m=[（z+y）i+（x+z）j+（x+y）k]M=5i+4j+3k,于是

[22

A,|m=rotA|m•n0=（5i+4j+3k）^（-i+-j+-k）

58619

=—I1—=——

3333

4.用雅可比矩阵求下列矢量场的散度和旋度。

（1）A=（3x2j+z）i+（j3-xz2）j+2xyzk;

（2）A=yz2i+zx2j+xy2k;

（3）A=P（x）i+Q（y）j+R（

6xy3x21

解：

⑴DA=-z23y2-2xz•，故有divA=Qj^3y2+边=（&+3/加2yz2xz2xyJ

rotA=4rz4（l-羽/-（z2+3X比

0z22_yz]

（2）DA=>2xz0x2，，故有divA=0+0+0=0,

J22xy0

rot\=x（2y-x）i+y（2z-y）j+z（2x-z）k.

p（x）0o]

（3）DA=0Q'（y）0，，故有divA=P（x）+0（j）+7?

（z）.

00R（z）

rotA=o。

5.已知u=exyz,A=z2i+x2j+y2k,求尸0,11A

解：

rotuA=wrotAbgraduxA,

002z

da=2xoo»,有rotA=2yi+2^j+2xk,urot^=exyz（2yi+2^+2xl^,

02y0

gradu=exyz（yzi+x^j+xyk）,graduxA

1jk

=exyzyzxzxy=exyz[（xy2z-x3y）i+（xyz2-y3z）j+（x2yz-xz3）k],

222

zXy

6.已知A=3yi+2z2j+xyk,B=x2i-4k,求尸0,（AxB）.

00-16z

D（AxB）=-3x2yx3+120

-4xz20-4x2z

故有rot（AxB）=Oi+（4xz2-16z）j+3x2jA:

=4z（xz-4）j+3x2yk.

习题六

L证明下列矢量场为有势场，并用公式法和不定积分法求其势函数。

（1）A=ycosxyi+xcosxyj+sinzk;

（2）A=（2xcosj-j2sinx）i+（2jcosx-x2sinj）j.

解：

（1）iBP=jcosxy,2=xcosxy,7f=sinz.

所以A为有势场。

下面用两种方法求势函数y：

1°公式法：

v=-「P（x,0,0）dx-gQ（x,y,0）dy-£A（x,y,z）tfc+G

=-JOdx-gxcosxydy-£sinzdz+G=0-sinxy+cosz-1+Cx=cosz-sinxy+C.

2°不定积分法：

因势函数u满足A=-gradv,即有

vx=-ycosxy^vy=-xcosxy,vz=-sinz,

将第一个方程对*积分，得^=-sinxy+0（）必）,

对y求导，得vy=-xcosxy+,与第二个方程比较，知

（Py（y9z）=0,于是。

顷必）="（z）,从而u=-sinxy+^（z）.

再对z求导，得七="（z）,与第三个方程比较，知（z）=-sinz,故”（z）=cosz+C.

所以y=cosz-sinxy+C.

（2）记P=2xcosy-y2sinx^Q=2ycosx-x2siny^R=0.

则

所以A为有势场。

下面用两种方法求势函数v：

1°公式法：

v=-£p（x,0,0）rfx-£fi（x,j,0）dy-^R（x,y,z）dz+C

=一「2xdx一.（2ycosx-x2sin-£Odz+C

=-x2-y2cosx-x2cosy+x2+C=-y2cosx-x2cosy+C.

2°不定积分法：

因势函数v满足A=-gradv,即有

vx=-2xcosj+y2sinXjV^,=-2ycosx+x2sinjjV.=0,

将第一个方程对X积分，得V=-x2cosy-y2cosx+^?

（y,z）,

对y求导，得vy=x2siny-2ycosx+^>\（y,z）,与第二个方程比较，知

再对z求导，得L=-'（z）,与第三个方程比较，知"（z）=0,故y/0）=c.

所以v=-x2cosy-y2cosx+C.

2.下列矢量场A是否保守场？

若是，计算曲线积分\Adl:

I

（1）A=（6xy+z2）i+（3x2-z）j+（3xz2-y）k,Z的起点为4（4,0,1）,终点为

（2）A=2xzi+2yz2j+（x2+2y2z-l）k,Z的起点为4（3,0,1）,终点为B（5,—l,3）.

6y6x3z2

解：

（1）DA=<6x0-1，，有

3z2-16xz

r^A=[（-l）-（-l）J+（3^2-3z2）j+（6x-6x）k=0,故4为保守场。

因此，存在

A•以的原函数"。

按公式

"=jP（x,0,0）rfx+j+gR（x,y,z）dz

\Adl=（3x2j+xz3—yz）\A《I=7o

i''

2z02x

（2）DA=02z24yz有尸。

，人=（4丫2—4}^），+（&—&）/+感=0,故4为保

2x4兴2y\

守场。

因此，存在A»dl的原函数"。

按公式

w=-JP（x,0,0）rfx-£Q（x^y^）dy-f必）tfc

=£Odx+jOdy+£（x2+2y2z-l）dz=x2z+y2z2-z,于是

3.求下列全微分的原函数":

（1）du=（x2一2yz）dx+（y2一2xz）dy+（z2-2xy）rfe;

（2）du=（3x2+6xy2）dx+（6x2y+4y3）dy.

（1）u=

[x2dx+gy2dy+£（z2-2xy）dz+C

I3I3I3X333

=5*+A+X-2xyz+C=-（x+y+z）-2xyz+C；

（2）"=j3x2dx+£（6