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皮亚杰认知发展理论
數學結構
一、認識「合成」、「分解」
1.「分解」與「合成」是數系統中的兩種基本運作。
2.「合成」—加的概念;兩個數可以合成一個新的數。
(如2和5是7)
「分解」—減的概念;一個數可以分為兩個數。
(如7是2和5)
3.以具體物的合成、分解等問題情境,進行10以內的數的分解與合成活動,增加學童對數的理解,作為學習加減計算的基礎。
2、認識「+」、「-」、及「=」符號
1.「+」運算符號
a併加型(合成):
媽媽買了2個紅蘋果和3個青蘋果,媽媽一共買了多少個蘋果?
例如
和
共有5個蘋果。
(法1)全數:
由1數到5。
(法2)續數:
由2個紅蘋果繼續往上數3,4,5。
(法3)數字事實(numberfact):
學生已掌握數目的組合,明白5是由2和3組成的。
b添加型(增加):
弟弟有3個蘋果,媽媽再給他3個蘋果,現在弟弟有幾個蘋果?
例如
再加
是多少呢?
2.「-」運算符號
a拿去型:
弟弟有5個蘋果,吃了2個還剩多少個?
例如
移(拿)去
還有
b比較型:
哥哥有6個蘋果,弟弟有4個,哥哥比弟弟多幾個?
例如
比
多了
3.透過數數具體物的問題活動,轉移至運作與「+」、「-」、及「=」符號的聯
結,獲得運算符號的具體意義。
三、「合十」、「拆十」、兩步驟合成分解問題
1.以一百以內的加減引入兩步驟的問題,進行「合十」、「拆十」、「兩步驟合成問
題」、「兩步驟分解問題」以及「兩步驟合成分解混合問題」等活動,擴展學童解題的能力。
2.「合十」
例如:
「7和8是10和多少﹖」
「拆十」
例如:
「10和5是6和多少﹖」
3.進行兩步驟合成分解問題活動時,教材應限制於「併加型」、「添加型」及「拿走型」等學童熟悉的問題類型範圍內,讓學童同時進行分解與合成活動外,並做為將來進退位算則學習的基礎。
4.算式填充題的問題類型
增加減數未知的算式填充題、運算符號未知的算式填充題,一方面擴展問題類型,一方面繼續加強基本加減事實的熟練。
四、「被比較量未知」、「全體已知,求部分未知型」類型問題
1.「被比較量未知型」:
使用較小的數量,將比較的差距,限制在20以內,方便學童使用各種方式來解題。
例如:
「小玲有24枝筆,小玉比小玲多8枝筆,小玉有幾枝筆﹖」
2.「全體已知,求部分未知型」:
使用數學符號(算式)來紀錄其解題過程,並將兩步驟文字題的解題過程,使用兩個算式來進行記錄。
例如:
「籃子裡有15個蘋果,7個是青蘋果,其他的是紅蘋果,紅蘋果有幾個﹖」
五、加法交換律的經驗
1.透過比對運算的結果,要求學童注意到加法中交換律的現象,引導學童運用交換律的經驗,發展簡化計算過程的策略。
2.學童在「併加型」問題情境下,最容易接受交換律的現象,
例如「5朵紅花和17朵黃花,一共是幾朵花﹖」
3.在教學過程中,先採用「和數」較小的問題,來觀察交換律的現象,再使用「和數」較大的問題,提高需要,引導學童使用符合交換律概念的簡化計算策略。
六、倍數概念
1.藉由量的倍數活動引入數的倍數活動,建立「倍」這個名詞的意義。
採用日常生活中的事項為集聚單位的事物,來進行解題活動。
量的倍數活動
例如:
「5隻青蛙有幾條腿﹖」的解題活動,引入「有幾個4﹖」的溝通方式;
數的倍數活動
進行「x個4是多少﹖」的解題活動;在活動後,我們也予以定義:
「幾個4,亦可說成4的幾倍」,建立「倍」這個名詞的意義。
七、乘法
1.了解"倍"的現象與概念
日常生活中直觀的倍數現象,一個人有兩條腿、一隻鴨子有4隻腳…等,導
入"倍"的概念,讓學生有乘法的基本初步概念。
2.認識『幾個幾』進而引入「幾的幾倍」的語言轉換
例如:
一頭牛2隻角,三頭牛有幾隻角?
學生能知道"三個2"是2的三倍。
3.乘法與連加的關係:
學生藉著等量連加的情境,取得"倍"的概念。
承上題:
三個2相加2+2+2=6;
三頭牛有2×3=6隻角。
八、除法
1.等分除
a例如:
「小明有35顆彈珠,想要平分到7個盒子裡,1個盒子可以分到幾個彈珠?
」
35
?
?
?
?
?
?
?
b以「÷」表示和計算「等分」問題
35÷7=5(個)
c
(1)被除數必須大於除數。
(2)除數必須是一個正整數。
(3)商必小於被除數。
(亦即產生所謂的「除會變小」)
2.包含除
a.例如:
「小明有35顆彈珠,想裝在小盒子裡,一盒裝5顆,全部裝完,可以裝成多少盒?
」
35
5、5、5……
b.以「÷」表示和計算「包含」問題
35÷5=7(盒)
c.包含除:
(1)被除數必須大於除數(這是包含除僅有的一個限制)。
3.除法與連減的關係:
學生藉著等量連減的情境,取得"除"的概念。
承上題:
35-5-5-5-5-5-5-5=0,可分成七個5;
35÷5=7(盒)
認知結構
皮亞傑認知發展理論:
期別
年齡
特徵
感覺動作期
SensorimotorStage
0~2歲
1.憑感覺與動作以發揮其基模功能
2.由本能性的反射動作到目的性的活動
3.對物體認識具有物體恆存性概念
前運思期
PeoperationalStage
2~7歲
1.能使用語言表達概念,但有自我中心傾向
2.能使用符號代表實物
3.能思維但不合邏輯,不能見及事物的全面
具體運思期
Concrete-operationStage
7~11歲
1.能根據具體經驗思維以解決問題
2.能理解可逆性的道理
3.能理解守恆的道理
形式運思期
Formal-operationalStage
11歲以上
1.能作抽象思維
2.能按假設驗證的科學法則解決問題
3.能按形式邏輯的法則思維問題
(參考GaryD.Borich&MartinL.Tombari,1997;張春興,1997)
根據皮亞傑認知發展階段與數學教學之關係:
〈一〉感覺動作期主要完成任務──物體恆存
§物體恆存觀念:
未直接接觸到物體,但仍知其存在的心理作用,不會將物體與
感官功能結合在一起,知道物體可獨立存在。
§延宕的模仿:
憑事後的記憶就可以模仿出來的能力。
數學教學需注意之處:
此階段兒童須藉由具體的事物來引發其操作思考,也就是必須要以實體的教具或圖片〈花片、積木或算式卡片〉,讓兒童實際動手操作,累積其經驗。
〈二〉前運思期主要完成任務─守恆觀念
§具體及知覺集中:
指能注意到某一各向度,無法思考各個面向。
例:
將A杯的水倒到B杯,兒童會認為B杯的水多。
§狀態對於轉換:
只注意靜態而忽略動態過程。
例:
只能看到B杯的水位較高,而忽略從A杯倒至B杯的過程。
§不可逆:
無法進行回到原點的思考。
例:
只知道5+4=9,但卻無法明白9-5=4。
小明的哥哥是小華,問小華的弟弟是誰卻不知道。
§自我中心主義:
以為全世界的觀點都和自己一樣。
§直接推理:
可由特殊到特殊,但不能觸及普遍,也就是小朋友只依據自己的需
求和經驗來進行推理。
數學教學需注意之處:
在此階段的學習中,當學童開始學習數數活動時,他們需要將注意力集中在:
(一)維持標準數詞序列的順序;
(二)保持數詞與物體的一對一對應關係,來完成正確的數數活動,單純的情境將有助於活動的進行(例如:
可移動的具體物;個體排列整齊的圖卡)。
〈三〉具體運思期主要完成任務──對眼前所見具體事物可進行邏輯思考
§表象異於實質:
表面所建與實質是不一定是相同的。
例:
把紅色的車子放在綠色的玻璃紙後面,雖然眼睛所看到的
是灰黑色,但是仍知道實際上車子是紅色的。
§類包含概念:
此階段的小朋友不僅能分類且具有類包含概念。
例:
紅花7朵,白花3朵,是紅花多還是花多?
→→花多。
前運思期的兒童的回答→→紅花多,
但在具體運思期的兒童已經知道類包含,因此是花多。
§守恆概念:
任何物質不管其形狀或外表的改變,其本質還是不變的。
例:
數的守恆──不會因為雞蛋畫得較長,而認為雞蛋比冰棒多。
§序位化:
若要排序,可依長短排列,而不會就從頭排到尾。
例:
前運思期兒童排列方式:
1→2→3→4→5,
具體據思期兒童則可依長短序位化:
4→2→5→3→1。
數學教學需注意之處:
「+」、「-」、「=」對於學習中的兒童來說是新的符號,教師需開始將這些符號與數字混合組織,形成算式,使成為解題活動的溝通工具。
學童必須透過知覺與動作的活動,來賦予符號具體的意義,因此「+」和「=」符號的說、讀、聽、寫活動,亦須伴隨著分解或比較的活動,在學童使用具體物的操作,解決了問題後,再要求學童反省解題的過程,用「+」、「-」、「=」及數字來記錄整個解題活動,產生「算式」的具體經驗。
在具體物的問題情境中,合成、分解、及比較運作,強調如何操弄具體物,例如:
合成運作要求將兩堆物件「合」在一起;分解運作要求將一堆物件「分」成兩堆;比較運作要求進行兩堆物件間的對應。
而「加」、「減」運算則開始重視如何計算運作的結果。
本單元的教學活動,注重運算符號與運作方式的聯結,用運算符號及數字來記錄運作的方式、內容及結果。
教學目標,在於「算式」符號的認識,因此教師的教學步驟應採下列的順序:
(一)教師提出問題,學童提供答案;
(二)學童口述解題過程(如何獲得答案?
);(三)使用算式描述解題過程;(四)討論算式中的符號,分別代表什麼?
與問題的關聯為何?
期望於討論中,學童能將注意力,由計算的細節(數數活動),轉移至運作與「+」、「-」、及「=」符號的聯結,獲得運算符號的具體意義。
〈四〉形式運思期主要完成任務──抽象思考
§假設演譯:
從假設的前提出發,經過演譯歷程,以獲得結論,也就是從一般的
原理原則中形成假設。
§組合推理:
對於事物的多因素進行組合歸納,進而加以推理,以思考解決問題。
數學教學需注意之處:
人到11歲之後才有機會進入到皮亞傑認知理論中的形式運思期,但並不代表每個人的能力都相同,必須在其適合的領域中才可適才適性發展;且若照皮亞傑的理論,那麼進入五、六年級的學生即具有抽象思考的能力,其實有些高估學童能力,在進行數學的教學上,教師仍須以具體的事物讓孩童清楚了解其原理原則,才可更近一步引導其思考。
例如:
代數X、Y可先以或代替。
皮亞傑認知理論應用於教育上之省思:
§皮亞傑認知理論:
〈啟示性大於實用性〉
1.課程設計需配合兒童發展階段
2.教學方式須考慮兒童思考方式
3.針對個別差異實施個別化教學
4.提供良好的教育環境,促進兒童心智發展〈兒童中心、環境中心〉
§皮亞傑認知發展理論受批評之處:
1.重知識認知發展而忽略社會行為發展
2.發展先於學習的論點缺乏教育價值
3.低估兒童認知能力,而又高估青少年認知能力
§從皮亞傑理論中所獲得的教育原則:
1.主動原則:
激發學生主動學習的動機
2.先備原則:
考慮學生的先備知識〈基模〉
3.活動原則:
一切活動以生理成熟為原則,而課程設計需考慮兒童發展階段
4.個別差異:
針對兒童的個別差異性,才能提供適才適性的發展。
教學策略
加、減法
1.採用日常生活中的事項,先透過分與合的具體問題情境,進行10以內的數的分解與合成活動,再進行半具體與數字部分,一方面提供學童此兩種運作的意義(數學的外在聯結),增加學童解決數量問題的能力,並由具體操作中,經驗數與數之間的關係(數的內在聯結),增加學童對數的理解。
2.運用「添加型」、「併加型」和「拿走型」、「比較型」等加減應用題,製作合成與分解的問題情境,用具體物來模擬問題的發展。
讓學童先「做」出兩堆物體,將兩堆物體合而為一,再「說」(「寫」)出另一堆(剩下)的數量。
3.讓學童口述解題過程,引出使用算式描述解題過程,並討論算式中的符號,分別代表什麼?
與問題的關聯為何?
透過討論將學童能將注意力,由計算的細節(數數活動),轉移至運作與「+」、「-」、及「=」符號的聯結,獲得運算符號的具體意義。
4.讓學童反省解題的過程,將學童的注意力,引導至「這是怎麼做的」,進而注意到運作的意義,同時培養學童自我檢查過程、驗證答案的習慣。
5.先採用單一種類的運作方法,進行「兩步驟合成問題」,當學童開始經驗到兩個步驟時,再進行「兩步驟分解問題」,最後,再進行「兩步驟分解合成混合問題」。
在解題的過程中,仍然強調各種解題方法,請學童發表及說明他們的解題過程,將轉移至如何選擇不同的運算。
6.在解題過程發展討論時,正向地接受各種想法,以增廣學童對此類問題的理解,在溝通不同解法時,亦可採用具體物,來做為溝通及說明的輔助工具。
乘法
1.採用日常生活中的事項為集聚單位的事物,由量的倍數活動引入數的倍數活動,建立「倍」這個名詞的意義。
例如:
「4隻兔子有幾條腿﹖」的解題活動,引入「有幾個4﹖」、「4個4又是多少﹖」的解題活動。
在活動後,我們也予以定義:
「幾個4,亦可說成4的幾倍」,建立「倍」這個
名詞的意義。
2.培養兒童倍數的概念是可以用最快的方式數出全部個數的方法。
改變一向慣於一個一個點數的兒童,了解如果每次數2個、5個,或10個的話,就能更快的數完一堆東西。
例如:
「4隻兔子有幾條腿﹖」
(法1)一條一條腿數1、2、3、4、5、6、……14、15、16;一共14條腿
(法2)有4個4,4+4+4+4=16;一共14條腿
3.指導兒童認識乘法的計算式,並熟悉其讀法。
在此融入倍數的觀念,並以同數連加法來解釋倍數的意義,使兒童能充分理解乘法的內涵。
4.以數個例子讓學童歸納出交換律。
例如:
2×3=?
3×2=?
5×4=?
4×5=?
……
5.乘法的結合律
例如:
讓兒童了解3是由2和1所合成
所以3×2=2×2+1×2,亦即等於4+2,結果為6。
又如:
被乘數為4,像4×3,而4比5少1。
所以4×3就等於5×3-1×3,亦即等於15-3,結果等於12。
又如:
9×3,讓兒童了解9比10少1。
所以9×3可以看成10×3-1×3,等於30-3其結果為27。
6.學習乘法計算過程時,教導學童把握被乘數及乘數兩者之間的關係。
在加法或減法的計算,都加(減)數與加(減)數之間都是同一種量數,像5隻加2隻,8元減3元,但乘法計算時,5隻×2中的2是指2倍,不可錯成2×5隻。
7.由一位數乘一位數的直式計算開始,練習筆算的型式。
把橫式計算式轉換成直式計算式的時候,乘法口訣的念法改由上而下,指導積數的寫法,當積為一位數時怎麼寫,為二位數時又要怎麼寫,待一切熟練後,便進行二位數乘一位數,甚至三位數乘一位數乘法的練習。
8.在實際的生活中安排適當的時機,讓學童有實際使用乘法計算解決生活問題的機會。
除了在課堂中學習,日常生活中、遊戲中亦可設法安排乘法的機會。
除法
1.採用日常生活中的實際物品為單位,透過「平分東西」的處理經驗,引入除的觀念。
例如:
有12塊餅乾,要平分給兩位小朋友吃,一人可以分到幾塊餅乾?
小朋友1:
□□□□□□
小朋友2:
□□□□□□
2.以數值取代實際物品。
例如:
36顆糖平分給2個人
小朋友1:
10,5,3;10+5+3=18;分得18顆糖
小朋友2:
10,5,3;10+5+3=18;分得18顆糖
3.減法:
以減法作為解決除法問題的方法,約可以分為下列三種不同的作法:
(1)以「一次分一個」的方式解決等分除問題。
例如:
「18個糖果平分給3個小朋友,一個人分到幾個?
」
作法:
每一次分出去3個糖果,一人一顆。
18-3=15
15-3=12
12-3=9
9-3=6
6-3=3
3-3=0;共六次,六顆。
(2)以估計處理等分除問題。
例如:
「81個蘋果平分在三個箱子,一個箱子分到幾個?
」
作法:
80-20-20-20=20
20-6-6-6=2
2+1=3
3-1-1–1=081÷3=27
(3)重複地減去除數,以解決包含除的問題。
例如:
「有350個學生,每70個學生搭一部遊覽車,共需多少部?
」
作法:
350-70=280
280-70=210
210-70=140
140-140=0350÷70=5
4.加、減與乘法:
學生首先是以累加或累減的方法解決除法問題。
如:
27÷3寫下3+3=3,再寫下6+3=9,一直累加3直到27。
然後回去點數累加了幾個3,就可以得到答案。
累積此經驗後逐漸形成如此的策略及乘法概念了解的提升後,最後以乘法來表示這些累加(或累減)的過程。
例如:
473÷12=39餘5
原先作法:
30+30+30+30+30+30+30+30+30+30+30+30=360
7+7+7+7+7+7+7+7+7+7+7+7=84
2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2=24
最終作法:
30×12=360
5×12=60
2×12=24
2×12=24
473-360+60+24+24=5
5.分配律:
此方法指出學生有能力處理一個數為可重複單位(iterableunits)的倍數的和,也包含良好的估測及基本乘法的使用。
此時的特徵主要是分解被除數為除數的倍數做處理。
例如:
51÷3
作法:
30÷3=10
12÷3=4
9÷3=3
10+4+3=17
例如:
54÷3
作法:
54=50+4
30÷3=10
12÷3=4
8÷3=2餘2
4÷3=1餘1
16+1=17
餘數:
1+2=3
3÷3=1
17+1=18→18餘0
54÷3=18
四則運算
1.在多步驟加減問題情境中,透過併式填充題及使用逐次減項記法的比較活動,形成「由最左往右」記法的共識。
例如:
「小明有21枝鉛筆,給了妹妹3枝,弟弟2枝,去合作社又買了7枝,問小明現在有多少枝鉛筆?
」
甲生使用併式填充題、乙生使用逐次減項記法的解題紀錄
甲生:
乙生:
[(21-3)-2]+7=()21-3-2+7=()
[(21-3)-2]+721-3-2+7
=[18-2]+7=18-2+7
=16+7=16+7
=23=23
透過逐步比較甲、乙兩生逐次減項紀錄的方式,幫助學童發現乙生的運算次序與甲生一模一樣,並形成共識:
當併式填充題中沒有括號告訴我們先算什麼、再算什麼的時候,都表示要由最左邊往右邊一步一步的算過去,並將這種省略併式填充題括號的記法稱為「由最左往右」的記法。
2.在多步驟四則問題情境中,透過比較的活動,形成「乘、除先算,再由最左往右」記法的共識,省略在併式填充題中標示乘、除先算,再由最左往右計算步驟的括號。
例如:
「小玲帶了一張50元的鈔票和6個5元硬幣到超級市場買了1瓶18元的汽水,請問小玲還剩下多少錢?
」
甲生使用併式填充題、乙生使用逐次減項記法的解題紀錄
甲生:
乙生:
[50+(5×6)]-18=()50+5×6-18=()
[50+(5×6)]-1850+5×6-18
=[50+30]-18=50+30-18
=80-18=80-18
=62=62
透過逐步比較甲、乙兩生逐次減項紀錄的方式,幫助學童發現乙生的運算次序與甲生一模一樣,並形成「乘的先算,再用由最左往右」的記法算剩下部分的共識。
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