空间向量学案.docx

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空间向量学案

7.3空间向量学案

7.3空间向量

【高考目标定位】

一、空间直角坐标系

1、考纲点击

（1）了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置；

（2）会推导空间两点间的距离公式。

2、热点提示

（1）通过求点的坐标考查空间想象能力；

（2）通过求两点距离考查计算能力；

（3）渗透在空间向量的坐标法应用中位进行考查；

（4）多以选择、填空的形式考查。

二、空间向量用其运算

1、考纲点击

（1）了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；

（2）掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；

（3）掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。

2、热点提示

1、利用向量法证明点共线、线共面、平行、垂直等；

2、数量积的运算及应用是考查热点；

3、多以选择题、填空题的形式考查，有时也出现在解答题中。

三、立体几何中的向量方法

1、考纲点击

（1）理解直线的方向向量与平面的法向量；

（2）能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系；

（3）能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；

（4）能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题，了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。

2、热点提示

（1）考查向量法判定线面位置关系；

（2）利用向量法求空间角与距离；

（3）在解答题中综合考查空间想象能力，计算能力及数形结合思想。

【考纲知识梳理】

一、空间直角坐标系

1、空间直角坐标系及有关概念

（1）空间直角坐标系：

以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：

x轴，y轴，z轴。

这时建立了空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点。

X轴，y轴，z轴统称坐标轴。

由坐标轴确定的平面叫做坐标平面；

（2）右手直角坐标系的含义是：

当右手拇指指向x轴正方向，食指指向y轴方向时，中指一定指向z轴的正方向；

（3）空间一点M的坐标为有序实数组（x,y,z）,记作M（x,y,z），其中x叫做M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标。

2、空间两点间的距离公式

设A（x1,y1,z1）,B（x2,y2,z2）,则|AB|=

注：

在空间直角坐标系中，点M（x,y,z）的坐标满足x2+y2+z2=1,则点M的轨迹是一个以原点为球心，以1为半径的球面。

二、空间向量及其运算

1、空间向量的概念及运算

空间向量的概念及运算同平面向量基本相同。

加减运算遵循三角形或平行四边形法则；数乘运算和数量积运算与平面向量的数乘运算和数量积运算相同；坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多出了一个竖坐标。

2、空间向量的有关定理

（1）共线向量定理：

对空间任意两个向量，，∥的充要条件是存在实数λ，使得=λ；

（2）共面向量定理：

如果两个向量，不共线，那么向量与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对，使.

注：

若与确定平面为α，则表示的有向线段与α的关系是可能与α平行，也可能在α内。

（3）空间向量基本定理：

如果三个向量，，不共面，那么对空间任一向量，存在有序实数组，使得=。

其中，叫做空间的一个基底。

3、空间向量的数量积及运算律

（1）数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作，则∠AOB叫做向量与的夹角，记作,,其范围是0≤,≤π,若,=π/2,则称与互相垂直,记为⊥.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量，，则叫做，的数量积,记作·,即·=

（2）数量积的运算律

三、立体几何中的向量方法

1、直线的方向向量与平面的法向量的确定

（1）直线的方向向量：

在直线上任取一非零向量作为它的方向向量；

（2）平面的法向量可利用方程组求出：

设，是平面α内两不共线向量，为平面α的法向量，则求法向量的方程组为。

注：

所列方程组中有三个变量，但只有两个方程，如何求法向量？

（给其中一个变量恰当赋值，求出该方程组的一组非零解，即可作为法向量的坐标。

）

2、空间向量与空间角的关系

（1）设异面直线的方向向量分别为则所成的角θ满足cosθ=|cos|;

（2）设直线的方向向量和平面α的法向量分别为，，则直线与平面α所成角θ满足sinθ=|cos,|;

（3）求二面角的大小

①如图①，AB，CD是二面角α--β的两个面内与棱垂直的直线，则二面角的大小θ=，

②如图②，，分别是二面角α--β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ=cos,或-cos,

3、点面距的求法

如图，设AB为平面α的一条斜线段，为平面α的法向量，则B到平面α的距离

【热点难点精析】

一、空间直角坐标系

（一）求空间中点的坐标

※相关链接※

1、通过分析几何体的特点，恰当的建立坐标系，可以方便的写出点的坐标，"恰当"的原则是：

①充分利用几何体的垂直关系；②尽可能的让点落在坐标轴或坐标平面上。

注：

不同的建系方法，求出的点的坐标也不同。

2、求空间点P坐标的方法

方法一：

（1）过点P作一个平面平行于坐标平面yOz,这个平面与x轴的交点记为，它在x轴上的坐标为x,这个数x叫做点P的横坐标；

（2）过点P作一个平面平行于坐标平面xOz，这个平面与y轴的交点记为，它在y轴上的坐标为y，这个数y叫做点P的纵坐标；

（3）过点P作一个平面平行于坐标平面xOy,这个平面与z轴的交点记为，它在z轴上的坐标为z,这个数z叫做点P的竖坐标。

显然x轴上点的坐标形如（x,0,0）,xOy平面上点的坐标形如（x,y,0）.

方法二：

从点P向三个坐标平面作垂线，所得点P到三个平面的距离等于点P的对应坐标的绝对值，进而可求点P的坐标。

※例题解析※

〖例〗已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M为A1C1中点，N为AB1中点，建立适当的坐标系，写出M，N两点的坐标。

思路解析：

利用正方体的共顶点的三棱两两垂直建系，然后用求空间中点的坐标的方法来求。

解答：

如图，

以A为原点，AB，AD，AA1分别为x,y,z轴的正半轴建立空间坐标系。

从M点分别向平面yAz,平面xAz,平面xAy作垂线。

∵正方体的棱长为2，∴M点的坐标为（1,1,2）.同理，N点坐标为（1,0,1）.

（二）空间中点的对称问题

※相关链接※

1、常见对称点的坐标规律

在空间直角坐标系中，已知点P（x,y,z）,则点P

（1）关于原点的对称点是（-x,-y,-z）;

（2）关于x轴的对称点是（x,-y,-z）;

（3）关于y轴的对称点是（-x,y,-z）;

（4）关于z轴的对称点是（-x,-y,z）;

（5）关于xOy坐标面的对称点是（x,y,-z）;

（6）关于yOz坐标面的对称点是（-x,y,z）;

（7）关于zOx坐标面的对称点是（x,-y,z）.

2、中点坐标公式

若A（x1,y1,z1）,B（x2,y2,z2）,则线段AB的中点P的坐标为

3、利用中点坐标公式也可求对称点的坐标。

※例题解析※

〖例〗已知矩形ABCD中，A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），求顶点D的坐标

思路解析：

AC的中点即为BD中点，利用中点坐标公式可求

解答：

∵矩形的对角线互相平分，∴AC的中点即为BD的中点。

由已知，AC中点M为（，4，-1）。

设D（x,y,z）,则∴x=5,y=13,z=-3.∴D（5,13,-3）.

（三）空间两点间距离公式的应用

〖例〗已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=900，AB=AC=AA1=2，M为BC1的中点，N为A1B1的中点，求|MN|

思路解析：

建立空间直角坐标系确定点M、N的坐标求|MN|。

解答：

如图，

以A为原点，AB，AC，AA1为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系，则B（2，0，0），C1（0，2，2），A1（0，0，2），B1（2，0，2），∴N（1，0，2），M（1，1，1）。

∴|MN|=。

注：

利用空间中两点间的距离公式，可以求两点间的距离或某线段的长，只要建立恰当的坐标系，通过简单的坐标运算即可解决。

二、空间向量及其运算

（一）空间向量的线性运算

※相关链接※

用已知向量表示未知向量，一定要结合图形。

可从以下角度入手。

（1）要有基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；

（2）把要表示感谢向量标在封闭图形中，表示为其他向量的和差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系。

（3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则考虑用减法，如果此向量与一个易求的向量共线，可用数乘。

（4）注意应用以下结论，

①A为BC中点，O为空间任一点，则

②A、B、C三点共线，O为空间任一点，则λ+（1-λ）等。

※例题解析※

〖例〗如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设=，，，M、N、P分别是AA1、BC、C1D1的中点，试用，，表示以下各向量：

（1）；

（2）；（3）

思路解析：

结合图形，利用空间向量加减法及数乘运算法则和运算律即可。

解答：

（1）∵P是C1D1的中点，

∴

（2）∵N是BC的中点，∴，

又，

∴

（二）共线向量定理、共面向量定理的应用

※相关链接※

应用共线向量定理、共面向量定理，可以证明点共线、点共面、线共面。

1、证明空间任意三点共线的方法

对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：

（1）

（2）对空间任一点O，

（3）对空间任一点O，

2、证明空间四点共面的方法

对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面

（1）

（2）对空间任一点O，

（3）对空间任一点O，；

（4）

注：

在（3）中，若，则点P即为ΔMAB的重心。

若则若P为ΔMAB的重心，则，此即为三角形重心坐标公式。

※例题解析※

〖例〗设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线上的三点，而M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点，求证：

M，N，P，Q四点共面。

思路解析：

解答：

由题意得，，又A，B，C及A1，B1，C1分别共线，∴，

∴

（三）空间向量的数量积运算

〖例〗如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC1⊥AB1，BC1⊥A1C，求证：

AB1=A1C。

思路解析：

利用直棱柱的性质，可证明AB=AC，则AB1=A1C。

解答：

。

同理：

，

注：

（1）利用向量的数量积，可以求异面直线所成的角，两点间的距离，证明垂直等问题。

当题目条件中有垂直关系时，转化为数量积为零进行应用，非常方便。

（2）利用向量解决几何体中的长度、夹角、垂直等问题的基本思路是先根据已知条件选择基向量，并求出其长度和数量积，再用基向量表示出有关的向量，并进行向量运算，从而得出相关结论。

（四）空间向量的坐标运算

※相关链接※

空间向量的有关运算

设

（1）坐标运算

（2）共线与垂直的坐标表示

（均为非零向量）。

（3）模和距离公式

若则

※例题解析※

〖例〗设向量计算以及所成角的余弦值，并确定λ，μ应满足的条件，使与z轴垂直。

思路解析：

代入向量坐标运算的公式求，利用数量积求的夹角余弦值，利用确定λ，μ的关系。

解答：

=（6，10，-8）+（6，3，24）=（12，13，16）。

=3×（3，5，-4）-2×（2，1，8）=（9，15，-12）-（4，2，16）=（5，13，-28）。

=（3,5,-4）·（2,1,8）=6+5-32=-21.

∵

∴

由=（3λ+2μ,5λ+μ,-4λ+8μ）·（0,0,1）=-4λ+8μ=0,即λ=2μ,

∴当λ,μ满足λ=2μ时,可使与z轴垂直

三、立体几何中的向量方法

（一）利用空间向量证明平行和垂直

※相关链接※

利用直线的方向向量和平面的法向量，可以判定直线与直线，直线与平面，平面与平面的平行和垂直。

（1）设直线的方向向量为，直线的方向向量为，则∥

（2）设直线的方向向量为，平面α的法向量为，则∥α

（3）设平面α的法向量为，平面β的法向量为，则α∥β

※例题解析※

〖例〗如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC=600，PA=AB=BC，E是PC的中点。

（1）证明AE⊥CD；

（2）证明：

PD⊥平面ABE。

思路解析：

①建立空间直角坐标系确定的坐标计算AE⊥CD；

②求面ABE的法向量判断满足PD⊥平面ABE或确定坐标计算PD⊥平面ABE

解答：

（1）∵AB、AD、AP两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系，

设PA=AB=BC=1，则P（0，0，1）。

（二）利用空间向量求点面距

※相关链接※

利用向量法求点面距，其步骤如下：

（1）求出该平面的一个法向量；

（2）找出过该点的平面的任一条斜线段对应的向量；

（3）求出法向量与斜线段所对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即可求出点面平面的距离，如图：

点P到平面α的距离

由于可以视为平面的单位法向量，所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点出发的斜线段所对应向量的数量积的绝对值，即。

※例题解析※

〖例〗（北京卷16）如图，在三棱锥中，，，，．

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）求点到平面的距离．

思路解析：

题中（I）利用证明；题中（II）（III）可利用题中（I）的结论：

PC，AC，BC两两垂直，建立空间直角坐标系求解。

解法一：

（Ⅰ）取中点，连结．，．，．，平面．平面，．

（Ⅱ），，．又，．又，即，且，平面．取中点．连结．，．是在平面内的射影，．是二面角的平面角．

在中，，，，．二面角的大小为．

（Ⅲ）由（Ⅰ）知平面，

平面平面．

过作，垂足为．

平面平面，平面．的长即为点到平面的距离．

由（Ⅰ）知，又，且，平面．平面，．在中，，，．．

点到平面的距离为．

解法二：

（Ⅰ），，．又，．，平面．平面，．（Ⅱ）如图，以为原点建立空间直角坐标系．则．设．，，．

取中点，连结．，，，．

是二面角的平面角．，，，．

二面角的大小为．

（Ⅲ），

在平面内的射影为正的中心，且的长为点到平面的距离．

如（Ⅱ）建立空间直角坐标系．，点的坐标为．．点到平面的距离为．

（三）利用空间向量求空间角

〖例〗湖北卷18.（本小题满分12分）

如图，在直三棱柱中，平面侧面.

（Ⅰ）求证：

；

（Ⅱ）若直线与平面所成的角为,二面角的大小为，试判断与的大小关系，并予以证明.

思路解析：

（I）利用面面垂直的性质转化为线面垂直，再证线面垂直，进而得到线线垂直；

（II）建立空间直角坐标系，求出与的某个三角函数值，然后比较两角的大小。

解答：

本小题主要考查直棱柱、直线与平面所成角、二面角和线面关系等有关知识，同时考查空间想象能力和推理能力.

（Ⅰ）证明：

如右图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D，则

由平面A1BC⊥侧面A1ABB1,且平面A1BC侧面A1ABB1=A1B,得

AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC，

所以AD⊥BC.

因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱，

则AA1⊥底面ABC，

所以AA1⊥BC.

又AA1AD=A,从而BC⊥侧面A1ABB1，

又AB侧面A1ABB1，故AB⊥BC.

（Ⅱ）解法1：

连接CD，则由（Ⅰ）知是直线AC与平面A1BC所成的角，

是二面角A1-BC-A的平面角，即

于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，

由AB＜AC，得又所以

解法2：

由（Ⅰ）知，以点B为坐标原点，以BC、BA、BB1所在的直线分

别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设AA1=a,AC=b,

AB=c,则B（0,0,0）,A（0,c,0）,于是

设平面A1BC的一个法向量为n=（x,y,z），则由得可取n=（0,-a,c），于是与n的夹角为锐角，则与互为余角.所以于是由c＜b，得

即又所以

注：

求空间角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角）一直是高考的热点，如果用几何法求需要作出这些角的平面角，对空间想象能力要求高。

而用向量法求解时，只需利用公式。

通过简单的向量运算即可解决，显示了向量这一工具巨大的作用。

求二面角时，可以利用法向量求。