微专题28以分段函数为载体的应用题.docx
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微专题28以分段函数为载体的应用题
微专题28 以分段函数为载体的应用题
数学源于生活,应用所学数学知识解决实际问题是能力与素养的具体表现.数学应用问题是江苏数学高考的突出亮点,常以中档题(17或18题)的形式呈现,具有良好的区分度,是高考的重点与热点.本专题集中介绍以分段函数型的应用问题,常见的处理手段是结合实际问题,利用所给条件建立分段函数的数学模型,利用所学数学的知识与方法予以解决.
例题:
如图所示,某快递公司在某市的货物转运中心,拟引进智能机器人分拣系统,以提高分拣效率和降低物流成本.已知购买x台机器人的总成本为p(x)=
x2+x+150万元.
(1)若使每台机器人的平均成本最低,问应买多少台?
(2)现按
(1)中的数量购买机器人,需要安排m人将邮件放在机器人上,机器人将邮件送达指定落袋格口完成分拣(如图所示).经实验知,每台机器人的日平均分拣量为q(m)=
(单位:
件).已知传统的人工分拣每人每日的平均分拣量为1200件,问引进机器人后,日平均分拣量达最大时,用人数量比引进机器人前的用人数量最多可减少百分之几?
变式1某网店专卖当地某种特产,由以往的经验表明,不考虑其他因素,该特产每日的销售量y(单位:
千克)与销售价格x(单位:
元/千克,1<x≤5)满足:
当1<x≤3时,y=a(x-3)2+
(a,b为常数);当3<x≤5时,y=-70x+490,已知当销售价格为2元/千克时,每日可售出该特产700千克;当销售价格为3元/千克时,每日可售出该特产150千克.
(1)求a,b的值,并确定y关于x的函数解析式;
(2)若该特产的销售成本为1元/千克,试确定销售价格x的值,使店铺每日销售该特产所获利润f(x)最大(x精确到0.01元/千克).
变式2根据统计资料,某工艺品厂的日产量最多不超过20件,每日产品废品率p与日产量x(件)之间近似地满足关系式p=
(日产品废品率=
×100%).已知每生产一件正品可赢利2千元,而生产一件废品则亏损1千元.(该车间的日利润y=日正品赢利额-日废品亏损额)
(1)将该车间日利润y(千元)表示为日产量x(件)的函数;
(2)当该车间的日产量为多少件时,日利润最大?
最大日利润是几千元?
串讲1某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根据销售情况不断进行调整,结果40天内全部销完,公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图所示,其中图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系,图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系.
(1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关系;
(2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等于6300万元?
若有,请说明是上市后的第几天;若没有,请说明理由.
串讲2如图是一块镀锌铁皮的边角料ABCD,其中AB,CD,DA都是线段,曲线段BC是抛物线的一部分,且点B是该抛物线的顶点,BA所在直线是该抛物线的对称轴.经测量,AB=2米,AD=3米,AB⊥AD,点C到AD,AB的距离CH,CR的长均为1米.现要用这块边角料裁一个矩形AEFG(其中点F在曲线段BC或线段CD上,点E在线段AD上,点G在线段AB上).设BG的长为x米,矩形AEFG的面积为S平方米.
(1)将S表示为x的函数;
(2)当x为多少米时,S取得最大值,最大值是多少?
如图,已知半圆AOB是某爱国主义教育基地一景点的平面示意图,其中该半圆的半径OA的长为1百米.为了保护景点,基地管理部门从道路l上选取一点C,修建参观线路C-D-E-F,且CD,DE,EF均与半圆相切,四边形CDEF是等腰梯形,设DE=t百米,记修建每1百米参观线路的费用为f(t)万元,经测算f(t)=
(1)用t表示线段EF的长;
(2)求修建参观线路的最低费用.
(2018·南通二模)将一铁块高温融化后制成一张厚度忽略不计、面积为100dm2的矩形薄铁皮(如图),并沿虚线l1,l2裁剪成A,B,C三个矩形(B,C全等),用来制成一个柱体.现有两种方案.
方案①:
以l1为母线,将A作为圆柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面;
方案②:
以l1为侧棱,将A作为正四棱柱的侧面展开图,并从B,C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面.
(1)设B,C都是正方形,且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面,求底面半径;
(2)设l1的长为xdm,则当x为多少时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大?
答案:
(1)
dm;
(2)2
.
解析:
(1)设所得圆柱的半径为rdm,则(2πr+2r)×4r=100,解得r=
.6分
(2)设所得正四棱柱的底面边长为adm,则
即
9分
解法1所得正四棱柱的体积V=a2x≤
记函数p(x)=
11分
则p(x)在(0,2
]上单调递增,在[2
,+∞)上单调递减,所以当x=2
时,
p(x)max=20
.所以当x=2
,a=
时,Vmax=20
dm3.14分
解法22a≤x≤
,从而a≤
.9分
所得正四棱柱的体积V=a2x≤a2
=20a≤20
.11分
所以当a=
,x=2
时,Vmax=20
dm3.14分
答:
(1)圆柱的底面半径为
dm;
(2)当x为2
时,能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大.16分
注意:
1.直接“由x·
=100得,x=2
时正四棱柱的体积最大”,只给结果得分,即2分;
2.解法1中的求解过程要体现V≤p(x)≤2
,凡写成V=p(x)≤2
的最多得5分,
解法2类似解答参照给分.
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- 关 键 词:
- 专题 28 分段 函数 载体 应用题