1999年北京市海淀区初中毕业升学统一考试数学试题.docx
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1999年北京市海淀区初中毕业升学统一考试数学试题
1999年北京市海淀区初中毕业、升学统一考试数学试题
一、选择题:
(本题40分,每小题4分)
1.-6的绝对值是[]
2.9的平方根是[]
A.3B.3C.±3D.81
3.有下面命题①直角三角形的两个锐角互余;②钝角三角形的两个内角互补;③正方形的两条对角线相等;④菱形的两条对角线互相垂直.其中,正确的命题有[]
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.如图,DE是△ABC的中位线,则△ADE与△ABC面积的比是[]
A.1∶1B.1∶2C.1∶3D.1∶4
5.用科学记数法表示0.00032,正确的是[]
A.3.2×10-4B.3.2×10-3C.32×10-5D.0.32×10-2
6.计算a6÷a2,结果正确的是[]
A.a8B.a4C.a3D.a12
7.在下列图形中,既是中心对称图形又是轴对称图形的是[]
A.等腰三角形B.圆C.梯形D.平行四边形
[]
A.x>1B.x≥1C.x<1D.x≤1
9.对于正比例函数y=mx,当x增大时,y随x增大而增大,则m的取值范围是[]
A.m<0B.m≤0C.m>0D.m≥0
10.已知两个圆只有一条公切线,那么这两个圆的位置关系是[]
A.内切B.外切C.相交D.外离
二、填空题(本题15分,每小题3分)
11.点P(4,3)关于原点的对称点P′的坐标是______.
13.某校为了了解初一年级300名学生每天完成作业所用时间的情况,从中对20名学生每天完成作业所用时间进行了抽查,这个问题中的样本容量是______。
14.若正多边形的内角和是540°,那么这个多边形一定是正______边形.
15.若一个圆锥的母线长是5cm,底面半径是3cm,则它的侧面展开图的面积是______cm2.
三、(本题26分,第16、17小题各6分,第18、19小题各7分)
16.分解因式:
ax-ay+x2-y2.
18.先化简,再求值:
出解集。
四、(本题12分,每小题6分)
的两点,且AF=EC.
求证:
DE=BF.
21.已知:
如图,△ABC中,∠C=90°,AB的垂直平分线交AC于D,垂足为E.若∠A=30°,DE=2,求∠DBC的度数和CD的长.
五、(本题12分,每小题6分)
23.列方程或方程组解应用题:
甲、乙两组工人合作完成一项工程,合作5天后,甲组另有任务,由乙组再单独工作1天就可完成.若单独完成这项工程乙组比甲组多用2天,求甲、乙两组单独完成这项工程各需要多少天?
六、(本题12分,每小题6分)
的图象相交,其中有一个交点的纵坐标为-4,求这两个函数的解析式.
25.如图,在矩形ABCD中,AB=4,BC=7,P是BC边上与B点不重合的动点,过点P的直线交CD的延长线于R,交AD于Q(Q与D不重合),且∠RPC=45°.设BP=x,梯形ABPQ的面积为y,求y与x之间的函数关系,并求出自变量x的取值范围.
七、(本题6分)
26.已知:
如图,在⊙O中,CD过圆心O,且CD⊥AB,垂足为D,过点C任作一弦CF交⊙O于F,交AB于E
求证:
CB2=CF·CE
八、(本题7分)
27.已知关于x的方程kx2+(2k-1)x+k-1=0①只有整数根,且关于y的一元二次方程
(k-1)y2-3y+m=0②有两个实数根y1和y2.
(1)当k为整数时,确定k的值;
(2)在
(1)的条件下,若m>-2,用关于m的代数式表示y12+y22.
九、(本题9分)
28.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,O是AB上的一点,以O为圆心,以OB为半径作圆,交AC于E、F
FC=4,求∠CBF的正弦值及BC的长.
十、(本题11分)
29.已知二次函数y=ax2+bx+c,其中a>0,b2-4a2c2=0,它的图象与x轴只有一个交点,交点为A,与y轴交于点B,且AB=2.
(1)求二次函数解析式;
(2)当b<0时,过A的直线y=x+m与二次函数的图象交于点C,在线段BC上依次取D、E两点,若DE2=BD2+EC2,试确定∠DAE的度数,并简述求解过程.
参考答案
一、选择题
1.B2.C3.C4.D5.A6.B7.B8.A9.C10.A
二、填空题
11.(-4,-3)12.6013.2014.五15.15π
三、16.解:
ax-ay+x2-y2
=(ax-ay)+(x2-y2)(1分)
=a(x-y)+(x-y)(x+y)(4分)
=(x-y)(x+y+a).(6分)
18.解:
(a-b)(a2+ab+b2)+b2(b+a)-a2
=a3-b3+b3+b2a-a3(3分)
=ab2.(5分)
当a=-1/4,b=2时,
19.解:
解不等式①,得x<1.(2分)
解不等式②,得x>-2.(4分)
所以不等式组的解集为-2<x<1.(6分)
DC∥AB.(1分)
∴∠DCE=∠BAF.(2分)
在△DCE与△BAF中,
∴△DCE∽△BAF.(5分)
∴DE=BF.(6分)
21.解:
∵∠C=90°,∠A=30°,DE=2,
∴∠CBA=60°.(1分)
∵DE垂直平分AB,
∴AD=DB.
∴∠DBE=∠A=30°.(3分)
∴∠CBD=∠CBA-∠DBA=30°.(4分)
∴∠CBD=∠DBE.
∴DC=DE=2.(6分)
y2+y-12=0.
解得y1=-4,y2=3.(2分)
经检验x=-9,x=1都是原方程的根.
∴原方程的根是x=-9,x=1.(6分)
23.解:
设甲组单独完成此项工程需要x天,则乙组单独完成此项工程需要(x+2)天.依题意,得
整理得x2-9x-10=0.
解得x1=10,x2=-1.(4分)
经检验x=10,x=-1都是原方程的根,但x=-1不合题意,舍去.(5分)
当x=10时,x+2=12.
答:
单独完成此项工程甲组需要10天,乙组需要12天.(6分)
六、24.解:
依题意,由两个函数解析式得
∴一次函数和反比例函数的解析式分别为
y=2x-1,y=6/x.(6分)
25.解:
矩形ABCD中,AD=BC=7,AB=DC=4,∠C=90°.
∵∠RPC=45°,∴∠R=45°=∠RPC.
∴PC=RC.(1分)
∵BP=x,
∴PC=7-x.(2分)
∵AD∥BC,∴QD/PC=RD/RC.
∴QD=RD=RC-DC=7-x-4=3-x.(3分)
∴AQ=AD-QD=7-(3-x)=4+x.(4分)
∴y=4x+8.(5分)
当Q与D重合时,PC=DC=4,BP=3.
∵P与B不重合,Q与D不重合,
∴自变量x的取值范围是0<x<3.(6分)
七、26.证明:
连结FB.(1分)
∵CD过圆心O,且CD⊥AB,
∴∠CBE=∠F.(3分)
∵∠BCE公用,
∴△CBE∽△CFB.(4分)
八、27.解:
(1)当k=0时,方程①化为
-x-1=0,x=-1,方程有整数根.(1分)
当k≠0时,方程①可化为(x+1)(kx+k-1)=0,
∵方程①的根是整数,所以k为整数的倒数.
∵k是整数,
∴k=±1.此时
△=(2k-1)2-4k(k-1)=1>0.(3分)
但当k=1时,(k-1)y2-3y+m=0不是一元二次方程,∴k=1舍去.
∴k=0,k=-1.(4分)
(2)当k=0时,方程②化为-y2-3y+m=0.
∵方程②有两个实数根,
∴△=9+4m≥0,m≥-9/4与m>-2不符,k=0不合题意.(5分)
当k=-1时,方程②化为-2y2-3y+m=0.
∵方程有两个实数根,
∴△=9+8m≥0,m≥-9/8>-2.
于是,有y1+y2=-3/2,y1·y2=-m/2.
九、28.解:
连结OE,DF.
∴OE⊥DF,∠DFB=90°.
则可有OE∥BF.(1分)
∴AE∶EF=AO∶OB,且AE∶AF=OE∶BF.
又∵AE∶EF=3∶1,
∴AO∶OB=3∶1,AE=3EF,OE∶BF=3∶4.
∴AD=2r.
∵AE·AF=AD·AB,
∴3EF·4EF=2r·4r.
∵∠ABC=90°(即AB⊥BC),DB是⊙O的直径,
∴BC是⊙O的切线.
∴BC2=CF·CE=4(4+EF).
在Rt△ABC中,由勾股定理,得
BC2=AC2-AB2=(4EF+4)2-(4r)2.
∴4(4+EF)=(4EF+4)2-(4r)2.(6分)
∵∠CBF=∠BDF,又Rt△DFB中,
∴sin∠CBF=2/3.(9分)
(说明:
只求出∠CBF的正弦值给4分)
十、解:
(1)∵y=ax2+bx+c的图象与x轴只有一个交点,
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个相等的实数根.
∴△=b2-4ac=0.(1分)
又∵b2-4a2c2=0,∴4a2c2=4ac≥0.
由AB=2,得A与B不重合,又a>0,∴c>0.
∴ac=1.①
∴b2=4.解得b=±2.(2分)
∴二次函数与x轴,y轴交点坐标为A(1/a,0),B(0,c)或A(-1/a,0),B(0,c).
在Rt△ABO中,OA2+OB2=AB2,OA=|±1/a|=1/a,OB=c,AB=2,
∴(1/a)2+c2=4.整理得
1+a2c2=4a2.②
∴二次函数解析式为
过C点作CF⊥x轴,垂足为F,可推得
AB=AC,∠BAC=90°(如图所示).(9分)
在CF上截取CM=BD,连结EM、AM,
则EC2+CM2=EM2.
∵CE2+BD2=DE2,
∴EM=DE.
可证△ABD≌△ACM,
从而可证△DAE≌△MAE.(10)分)
∴∠1=∠2,∠DAE=∠EAM.
∴∠DAM=∠BAC=90°.
∴∠DAE=45°.(11分)
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