刘任任离散数学答案.docx

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刘任任离散数学答案

刘任任离散数学答案

【篇一：

湘潭大学刘任任版离散数学课后习题答案习题17】

设g是群，a,b?

g.试证：

（a?

1）?

1?

a

（ab）?

1?

b?

1a?

1

证明：

设e是单位元（下同），直接根据定义即有：

?

a?

1a?

e,（ab）（b?

1a?

1）?

a（bb?

1）a?

1?

（ae）a?

1?

aa?

1?

e,

?

（a?

1）?

1?

a,（ab）?

1?

b?

1a?

1

2.试举一个只有两元素的群。

解：

设g?

?

{0,1},?

?

，并且g的单位元为0,则可以确定乘法表中的三个元素，0?

0=0；0?

1=1；1?

0=1；由群的定义，任意元素都有逆元，0的逆元为0，1的逆元为1，因此1?

1=0

?

1易知，单位元e?

0，运算满足封闭性和结合律，且1?

1。

故g是群。

3.设a?

{1,2,3,4}的乘法表为

1

2

3

412413212343432143142

问：

a是否成为群？

若不是群，结合律是否成立？

a有无单位元?

解：

如果a是一个群，则一定有单位元i，乘法表中第i行第i列元素保持不变，而定义的乘法表不满足此性质。

因此a无单位元，故a不成群。

且4?

（2?

3）?

4?

2?

（3?

4）?

1,无结合律。

4.设g是群.试证：

若对任何a,b?

g，均有

a3b3?

（ab）3,a4b4?

（ab）4,a5b5?

（ab）5，则g是交换群.

证明：

利用消去律，将各等式降阶。

?

a3b3?

（ab）3?

a（ba）2b,?

a2b2?

（ba）2

（1）

5554444又?

ab?

（ab）?

a（ba）b,?

ab?

（ba）

（2）

22222222因此，ab?

（ba）?

（ba）（ba）?

（ab）（ab）?

a（ba）b,于是，

2222得ab?

ba,再由

（1）知，b2a2?

a2b2?

（ba）2?

baba,故有ab?

ba.44

（2）422

（1）

5.设g是群.试证：

若对任何a?

g，有a?

1?

a，则g是交换群。

?

1?

1?

1证明：

利用群的性质（3）,（4）,对任意a,b?

g，有ab?

ab?

（ba）?

ba。

故g是交

换群。

6.设g是群，|g|?

2n,n是正整数.试证：

存在a?

g,a?

e，使aa?

e.

证明：

任取x?

g。

若x?

x，则x和x在g中成对出现。

注意到群g的元素个数为偶

2数，因此，在g中满足y?

y?

1即yy?

e的元素个数也是偶数。

但e满足e?

e.故除e

2之外，至少还有一个a?

g,使得a?

e.?

1?

1

7.试证：

1阶群，2阶群，3阶群和4阶群都是交换群，并构造一个不是交换群的6阶群.证明：

设1至4阶群分别为

g1?

?

e?

g2?

?

e,a?

g3?

?

e,a,b?

g4?

?

e,a,b,c?

1）显然，g1是交换群。

2）?

ea?

ae?

a?

g2是交换群。

3）对g3，若ab?

a，则有a（ab）?

aa，即（aa）b?

aa,从而b?

e（矛盾）;

同理，若ab?

b,则有a?

e（矛盾）。

因此必有ab?

e。

又

ba?

ba（bb?

1）?

b（ab）b?

1?

beb?

1?

bb?

1?

e?

ab

故g3是交换群。

4）对于g4。

（i）若a,b,c中两个元素互为逆元，不妨设ab?

ba?

e，则必有ac?

b且ca?

b,否则有c?

e或a?

e。

同理可证bc?

cb?

a。

（ii）若a,b,c各自以自身为逆元，即aa?

bb?

cc?

e，则必有

ab?

ba?

c,bc?

cb?

a,ac?

ca?

b.

总之，g4是交换群。

（其实可以用第5题的结论直接得出）

换的乘法运算构成一个群。

但它不是交换群，即设s?

?

a,b,c?

。

由s上的所有3元置换所组成的集合s3?

?

?

1,?

2,?

?

6?

对于置

?

i?

j?

?

i?

j1?

i,j?

6

8.设g是群，a,b?

g.试证：

?

1?

1

（1）a,a,bab有相同的周期；

（2）ab与ba有相同的周期。

k?

1k证明：

（1）因为对任意整数k，a?

e当且仅当（a）?

e。

所以

a的周期是无限的，当且仅当a?

1的周期是无限的.若a的周期是k（正数），则a?

1的

?

1周期k1?

k.由对称性有k?

k1.因此，k?

k1.故a与a的周期相同。

注意到

（b?

1ab）k?

b?

1akb，于是（b?

1ab）k?

e当且仅当b?

1akb?

e当且仅当ak?

e。

因此b?

1ab与a的周期相同。

kk

（2）由

（1）,只须证对任意整数k，（ab）?

e当且仅当（ba）?

e.

kk?

1当k?

0时，结论显然成立。

今设k?

0。

则（ab）?

e当且仅当a（ba）b?

e当且仅当

（ba）k?

1?

a?

1b?

1当且仅当（ba）k?

1?

（ba）?

1当且仅当（ba）k?

e.

ll再设k?

0。

令l?

?

k?

0，由上有（ab）?

e当且仅当时（ba）?

e。

注意到对任意

x?

g,xl?

e当且仅当x?

l?

e，于是xl?

e当且仅当xk?

e.故

kk（ab）?

e当且仅当（ba）?

e.

9.设g是群，令

z（g）?

{a?

g|ax?

xa，对任意x?

g}

试证：

z（g）是g的子群.z（g）称为g的中心，z（g）的元素称为g的中心元素.

证明：

任取a,b?

z（g）,则对任意x?

g,有ax?

xa,bx?

xb，从而

ab?

1x?

a（xx?

1）b?

1x?

（ax）（x?

1b?

1）x?

（ax）（bx）?

1x

?

1?

1?

1?

1?

1?

（xa）（bx）x?

x（ab）（xx）?

xab

因此，ab?

1?

z（g）.故z（g）是g的子群.

10.设g是一个群，a,b?

g且ab?

ba，a和b的周期分别为m和n，m与n互质，

证明：

ab的周期等于mn.

分析：

设ab周期为t，利用定理17.2.5

（2），分两步分别证明tmn,.

证明：

设ab的周期为t。

由ab?

ba得（ab）mn?

amnbmn?

e。

于是tmn（定理

t?

tttt17.2.5）。

又e?

（ab）?

ab。

令c?

a?

b。

设c的周期为p.

?

cm?

（at）m?

amt?

e,?

pm（定理17.2.5）.又?

cn?

b?

nt?

e,?

pn,于是，p?

（m,n）。

但gcd（m,n）?

1,故p?

1.从而at?

e,bt?

e.于是，有

mt,nt。

即t?

m,n,而gcd（m,n）?

1，因此，,故t?

mn.

11.设a是群g的一个元素，其周期为n,h是g的子群，试证：

如果am?

h，且n与

m互质.则a?

h.

分析：

因为n，m互质，利用整除性质，见书定理16.1.3，易证a?

h.

证明：

因为gcd（m,n）?

1,所以存在整数s,t使得sm?

tn?

1.于是

a?

asm?

tn?

（am）s.但am?

h,h是g的子群.故a?

h.

12.设g是群，a,b?

g且ab?

ba，a和b的周期分别为s和t.试证：

若

（a）?

（b）?

{e}，则ab的周期等于s与t的最小公倍数.

分析：

设ab的周期为m，s和t的最小公倍数为n，要证明m?

n,只需证明mn，nm即可。

利用定理17.2.5易证mn；利用整除的基本性质，定理16.1.1，分别可以将m表示成s,t的倍数与余数之和，利用（a）?

（b）?

{e}，可得sm,tm,即m是s,t的倍数，nm.证明

（一）：

设s和t的最小公倍数为n。

ab的周期为m。

因为ab?

ba,

nnn所以，（ab）?

ab?

e，从而mn.又设

m?

ps?

r10?

r1?

s,m?

qt?

r2,0?

r2?

t

rrmmmrr因为（a）?

（b）?

{e}，所以a?

biffr1?

r2?

0。

又e?

（ab）?

ab?

ab，

r?

r因此，a?

b，从而，r1?

r2?

0。

于是sm,tm,即m?

?

s,t?

。

因此nm.故m?

n.

mmm证明

（二）：

设ab的周期为m。

因为e?

（ab）?

ab且（a）?

（b）?

{e}，所以

am?

e,bm?

e（否则，am?

（bm）?

1?

b?

m?

（b），从而得m?

0。

此与m的假设矛盾）。

于是，,tm，即m是s和t的公倍数。

若s,t的最小公倍数不是m而是m?

，121212则0?

m?

?

m，且（ab）?

ab?

e,此与m的假设矛盾。

得证。

13.设g是一个群，a,b?

g且ab?

ba，a的周期为质数p，且a?

（b）.试证：

m?

m?

m?

（a）?

（b）?

{e}.

st分析：

用反证法，则有非单位元x，x?

a?

b，利用p为质数，整除性质有

ms?

np?

1，容易推出矛盾a?

?

b?

。

证明：

若?

a?

?

?

b?

?

?

e?

则存在x?

?

a?

?

?

b?

且x?

e,即存在整数s,t，使x?

as?

bt且1?

s?

p。

因p是质数，所以存在整数m,n,使ms?

np?

1.于是，a?

ams?

np?

ams?

btm?

?

b?

，即a?

?

b?

矛盾。

故?

a?

?

?

b?

?

?

e?

.

14.写出s3的群表.

解：

设?

1?

?

1?

?

2?

?

12?

?

3?

?

13?

?

4?

?

23?

?

5?

?

123?

?

6?

?

132?

于是，根据置换的乘法运算规则，有

?

1?

2?

3?

4?

5?

6

?

1?

1?

2?

3?

4?

5?

6

?

2?

2?

1?

6?

5?

4?

3

?

3?

3?

5?

1?

6?

2?

4

?

4?

4?

6?

5?

1?

3?

2

?

5?

5?

3?

4?

2?

6?

1

?

6?

6?

4?

2?

3?

1?

5

15.证明：

任何对换都是一个奇置换，又恒等置换是偶置换.

分析：

根据对换的定义，命题17.3.4即可证。

证明：

（1）设?

为n元对换，?

可分解成一些对换的乘积，显然有?

?

?

，由命题17.3.4可知，对换?

是一个奇置换。

（2）设?

为n元恒等置换，?

是n元对换，显然有?

?

?

?

?

1，由命题17.3.4可知，对换?

是一个偶置换。

16.设n元置换?

?

?

1?

2?

?

r，其中?

1?

2?

?

r互不相交，且|?

i|?

li,i?

1,?

r.试证：

?

的周期（即满足?

n?

e的最小正整数n）等于l1,?

lr的最小公倍数.

分析：

设周期为d，最小公倍数为m，根据定义易证dm；由?

1,?

?

r互不相交，证lidi?

1,2,?

r。

证明：

设?

的周期为d.l1,?

lr的最小公倍数为m。

因?

1,?

?

r互不相交，所以

dddmm?

?

1?

2?

?

d?

m?

?

1?

2?

?

mr且r?

e.于是dm。

另一方面，因为e?

?

dd?

1,?

?

r互不相交，因此，?

1?

?

d2?

?

?

?

r?

e。

于是，lidi?

1,2,?

r.由最小公倍数的性质知，md,故d?

m.

?

123456?

?

123456?

?

?

17.设?

?

?

?

?

?

563142?

?

346251?

?

?

?

?

?

是s6的两个置换.

（1）写出?

?

的轮换表示，并求出?

和?

的周期.

?

123?

1

（2）计算?

?

?

?

?

?

?

?

?

?

.

解：

（1）?

?

（154）（26）?

=（136）（24）.由题16有?

和?

的周期为6。

（2）?

?

?

（154）（26）（136）（24）?

（154）（1326）（24）

?

（154）（24613）?

（132）（465）

?

?

?

（136）（24）（154）（26）?

（136）（1524）（26）

?

（136）（26415）?

（215）（643）

?

?

?

?

?

1?

123?

（145）（26）?

?

1?

（163）（24）?

（154）（26）（154）（26）?

（154）（154）（26）（26）?

（145）?

?

2?

?

（145）（154）（26）?

（26）?

?

?

（163）（24）（154）（26）（136）（24）?

（163）（1524）（1326）（24）

?

（152463）（24613）?

（265）（34）

18.试找