第1章 13 132 利用导数研究函数的极值.docx
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第1章13132利用导数研究函数的极值
1.3.2 利用导数研究函数的极值
学习目标
核心素养
1.理解极值、极值点的概念,明确极值存在的条件.(易混点)
2.会求函数的极值.(重点)
3.会求函数在闭区间上的最值.
4.能利用导数解决与函数极值、最值相关的综合问题.(难点)
1.通过学习函数的极值、极值点、最值等概念,培养学生的数学抽象素养.
2.借助利用导数求函数的极值、最值,提升学生的逻辑推理、数学运算素养.
一、极值点和极值的概念
名称
定义
表示法
极
值
极
大
值
已知函数y=f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有f(x) 记作y极大=f(x0) 极 值 极 小 值 已知函数y=f(x),设x0是定义域(a,b)内任一点,如果对x0附近的所有点x,都有f(x)>f(x0),则称函数f(x)在点x0处取极小值 记作y极小=f(x0) 极值点 极大值点与极小值点统称为极值点 二、函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值 假设函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图象是一条连续不间断的曲线,则该函数在[a,b]一定能够取得最大值与最小值,若函数在[a,b]内是可导的,则该函数的最值必在极值点或区间端点取得. 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)函数f(x)=x3+ax2-x+1必有2个极值.( ) (2)在可导函数的极值点处,切线与x轴平行或重合.( ) (3)函数f(x)= 有极值.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× 2.函数f(x)=2x-cosx在(-∞,+∞)上( ) A.无最值 B.有极值 C.有最大值D.有最小值 [解析] f′(x)=2+sinx>0恒成立,所以f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,无极值,也无最值. [答案] A 3.下列说法正确的是________.(填序号) ①函数的最大值一定是函数的极大值; ②开区间上的单调连续函数无最值; ③函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值一定在两个端点处取得. [答案] ② 求函数的极值 【例1】 求下列函数的极值. (1)f(x)=x2-2x-1; (2)f(x)= - x3+ -6; (3)f(x)=|x|. [解] (1)f′(x)=2x-2,令f′(x)=0,解得x=1. 因为当x<1时,f′(x)<0, 当x>1时,f′(x)>0, 所以函数在x=1处有极小值,且y极小=-2. (2)f′(x)=x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2. 令f′(x)=0,解得x1=0,x2=1. 所以当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) f′(x) - 0 + 0 + f(x) 单调 递减↘ 极小值 单调 递增↗ 无极值 单调 递增↗ 所以当x=0时,函数取得极小值,且y极小=-6. (3)f(x)=|x|= 显然函数f(x)=|x|在x=0处不可导, 当x>0时,f′(x)=x′=1>0, 函数f(x)=|x|在(0,+∞)内单调递增; 当x<0时,f′(x)=(-x)′=-1<0, 函数f(x)=|x|在(-∞,0)内单调递减. 故当x=0时,函数取得极小值,且y极小=0. 1.讨论函数的性质要注意定义域优先的原则. 2.极值点与导数的关系 (1)可导函数的极值点一定是导数值为0的点,导数值为0的点不一定是极值点. 点x0是可导函数f(x)在区间(a,b)内的极值点的充要条件: ①f′(x0)=0; ②点x0两侧f′(x)的符号不同. (2)不可导的点可能是极值点(如本例(3)中x=0点),也可能不是极值点(如y= ,在x=0处不可导,在x=0处也取不到极值),所以函数的极值点可能是f′(x)=0的根,也可能是不可导点. 1.已知函数f(x)=x2-2lnx,则f(x)的极小值是__________. [解析] ∵f′(x)=2x- , 且函数定义域为(0,+∞), 令f′(x)=0,得x=1或x=-1(舍去), 当x∈(0,1)时,f′(x)<0, 当x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, ∴当x=1时,函数有极小值,极小值为f (1)=1. [答案] 1 利用函数的极值求参数 【例2】 已知f(x)=x3+ax2+bx+c在x=1与x=- 时都取得极值. (1)求a,b的值; (2)若f(-1)= ,求f(x)的单调区间和极值. [思路探究] (1)求导函数f′(x),则由x=1和x=- 是f′(x)=0的两根及根与系数的关系求出a,b. (2)由f(-1)= 求出c,再列表求解. [解] (1)f′(x)=3x2+2ax+b, 令f′(x)=0,由题设知x=1与x=- 为f′(x)=0的解. ∴ ∴a=- ,b=-2. (2)由 (1)知f(x)=x3- x2-2x+c, 由f(-1)=-1- +2+c= ,得c=1. ∴f(x)=x3- x2-2x+1. ∴f′(x)=3x2-x-2. 令f′(x)=0,得x=- 或x=1, 当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x - 1 (1,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) 单调递增↗ 单调递减↘ - 单调递增↗ ∴f(x)的递增区间为 和(1,+∞),递减区间为 . 当x=- 时,f(x)有极大值为f = ; 当x=1时,f(x)有极小值为f (1)=- . 已知函数极值的情况,逆向应用确定函数的解析式时,应注意以下两点: (1)根据极值点处导数为0和极值两个条件列方程组,利用待定系数法求解; (2)因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性. 2.已知函数f(x)= x3- (m+3)x2+(m+6)x(x∈R,m为常数),在区间(1,+∞)内有两个极值点,求实数m的取值范围. [解] f′(x)=x2-(m+3)x+m+6. 因为函数f(x)在(1,+∞)内有两个极值点, 所以导数f′(x)=x2-(m+3)x+m+6在(1,+∞)内与x轴有两个不同的交点, 如图所示. 所以 解得m>3.故实数m的取值范围是(3,+∞). 求函数的最值 [探究问题] 如图为y=f(x),x∈[a,b]的图象. 1.观察[a,b]上函数y=f(x)的图象,试找出它的极大值、极小值. 提示: f(x1),f(x3)为函数的极大值,f(x2),f(x4)为函数的极小值. 2.结合图象判断,函数y=f(x)在区间[a,b]上是否存在最大值,最小值? 若存在,分别为多少? 提示: 存在.f(x)的最小值为f(a),f(x)的最大值为f(x3). 3.函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值一定是其极值吗? 提示: 不一定.也可能是区间端点的函数值. 【例3】 (1)函数y=x4-4x+3在区间[-2,3]上的最小值为( ) A.72 B.36 C.12D.0 (2)函数f(x)=lnx-x在区间(0,e]上的最大值为( ) A.1-eB.-1 C.-eD.0 (3)求函数f(x)=-x4+2x2+3,x∈[-3,2]的最值. [解析] (1)因为y=x4-4x+3,所以y′=4x3-4,令y′=0,解得x=1.当x<1时,y′<0,函数单调递减;当x>1时,y′>0,函数单调递增,所以函数y=x4-4x+3在x=1处取得极小值0.而当x=-2时,y=27,当x=3时,y=72,所以当x=1时,函数y=x4-4x+3取得最小值0,故选D. (2)f′(x)= -1,令f′(x)=0,得x=1. 当x∈(0,1)时,f′(x)>0,当x∈(1,e)时,f′(x)<0, ∴当x=1时,f(x)有极大值,也是最大值,最大值为f (1)=-1,故选B. [答案] (1)D (2)B (3)f′(x)=-4x3+4x=-4x(x+1)(x-1), 令f′(x)=0,得x=-1,x=0,x=1. 当x变化时,f′(x)及f(x)的变化情况如下表: x -3 (-3,-1) -1 (-1,0) 0 (0,1) 1 (1,2) 2 f′(x) + 0 - 0 + 0 - f(x) -60 单调递增↗ 极大 值4 单调递减 ↘ 极小 值3 单调递增 ↗ 极大值4 单调递减 ↘ -5 ∴当x=-3时,f(x)取最小值-60; 当x=-1或x=1时,f(x)取最大值4. 求函数最值的四个步骤 第一步,求函数的定义域; 第二步,求f′(x),解方程f′(x)=0; 第三步,列出关于x,f(x),f′(x)的变化表; 第四步,求极值、端点值,确定最值. 3.已知函数f(x)=-x3+3x2+m(x∈[-2,2]),f(x)的最小值为1,则m=__________. [解析] f′(x)=-3x2+6x,x∈[-2,2]. 令f′(x)=0,得x=0或x=2, 当x∈(-2,0)时,f′(x)<0, 当x∈(0,2)时,f′(x)>0, ∴当x=0时,f(x)有极小值,也是最小值. ∴f(0)=m=1. [答案] 1 1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b),其导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内的极大值点有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 [解析] 依题意,记函数y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标自左向右依次为x1,x2,x3,x4,当a<x<x1时,f′(x)>0;当x1<x<x2时,f′(x)<0;当x2<x<x4时,f′(x)≥0;当x4<x<b时,f′(x)<0.因此,函数f(x)分别在x=x1,x=x4处取得极大值,选B. [答案] B 2.函数y=x3-3x2-9x(-2<x<2)有( ) A.极大值5,极小值-27 B.极大值5,极小值-11 C.极大值5,无极小值 D.极小值-27,无极大值 [解析] 由y′=3x2-6x-9=0,得x=-1或x=3. 当x<-1或x>3时,y′>0;由-1<x<3时,y′<0. ∴当x=-1时,函数有极大值5;3∉(-2,2),故无极小值. [答案] C 3.设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于零的极值点,则a的取值范围为________. [解析] ∵y=ex+ax, ∴y′=ex+a,令y′=ex+a=0,则ex=-a, 即x=ln(-a),又∵x>0,∴-a>1,即a<-1. [答案] a<-1 4.函数y= 在[0,2]上的最大值为________. [解析] ∵y′= = , 令y′=0,得x=1∈[0,2]. ∴f (1)= ,f(0)=0,f (2)= . ∴f(x)最大值=f (1)= . [答案] 5.已知a为实数,f(x)=(x2-4)·(x-a). (1)求导数f′(x); (2)若f′(-1)=0,求f(x)在[-2,2]上的最大值和最小值. [解] (1)由原式得f(x)=x3-ax2-4x+4a, ∴f′(x)=3x2-2ax-4. (2)由f′(-1)=0,得a= , 此时有f(x)=(x2-4)· , f′(x)=3x2-x-4. 由f′(x)=0,得x= 或x=-1. 又f =- ,f(-1)= , f(-2)=0,f (2)=0, ∴f(x)在[-2,2]上的最大值为 , 最小值为- .
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