《烙饼问题》实录与评析.docx
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《烙饼问题》实录与评析
基于核心素养和学科德育的教学设计
--以《烙饼问题》一节为例
一、知识内容分析
“烙饼问题”是人教版小学四年级上册教材第八单“数学广角—优化”中一个富有魅力与童趣的教学内容。
优化的前提是统筹,统筹过程的本质是各种数量关系和空间形式的逻辑疏理,是一种推理和建模的过程。
教材首先给出一幅生动有趣的情境图,让学生探索发现3张饼的烙法,然后在探究烙三张饼怎样省时的基础上,探索出烙更多张饼的最优策略,并明晰其中的规律和道理。
教材设计了几个具有启发性的问题:
“怎样才能尽快吃上饼”“哪种方法比较合理?
”“要烙4张饼、5张饼、6张饼……呢?
你有什么发现?
”为学生指明了动手实践和研究探索的方向。
此外,还设计了“每次总烙()张饼,别让锅(),这样应该最省时间”这种总结性的提示语,引领学生将具体的感性经验上升为理性的数学规律或模型,初步理解优化的数学思想,提高思维能力。
《义务教育数学课程标准》在“学段目标”的“第二学段”中提出:
“在观察、实验、猜想、验证等活动中,发展合情推理能力,能进行有条理的思考,能比较清楚地表达自己的思考过程与结果”“会独立思考,体会一些数学的基本思想”“能探索分析和解决简单问题的有效方法,了解解决问题方法的多样性”“经历与他人合作交流解决问题的过程,尝试解释自己的思考过程”“在运用数学知识和方法解决问题的过程中,认识数学的价值”;在“课程内容”的“第二学段”中提出:
“结合实际情境,体验发现和提出问题、分析和解决问题的过程”“通过应用和反思,进一步理解所用的知识和方法,了解所学知识之间的联系,获得数学活动经验”。
基于对教材和课标的分析,本节课的教学目标确定为:
一是通过简单事例,使学生理解三张饼的最佳烙饼方法,认识到解决问题策略的多样性,渗透解决问题最优方案的意识;二是在解决问题的过程中,积累丰富的数学活动经验,感悟优化、模型等数学思想,培养建模的核心素养和严谨的思维品质;三是凸显数学与生活的紧密联系,使学生初步形成从数学的角度发现、提出问题的能力以及分析、解决问题的能力,增强应用意识和实践能力。
教学重点是使学生能从解决问题的多种方案中寻找出最优方案,初步体会优化的思想,形成优化的意识;教学难点是探索3张饼的最优方案,形成优化的意识,并用此模型解决相关的问题。
二、学科德育渗透点分析
本节课承载的主要学科德育渗透点是思维严谨。
严谨性是数学科学的基本特征。
数学思维的严谨性,是指思考问题符合逻辑、严密、有根据;重视问题成立的条件,不但关注明显的,还留意并挖掘隐蔽的;能够找出问题的全部解答而无遗漏。
本节课在引导学生思考烙两张饼的最优方法(不能空锅,两张饼同时烙)和探究烙三张饼的最优方法(采用轮换策略,保证锅里始终有2张饼)时,要引导学生全面周密、统筹兼顾的考虑问题;在探究烙更多张饼的规律和模型的构建应用,要引导学生有条有理、有根有据的思考问题,优化分析问题与解决问题的思维程序,形成“持之有故,言之有理”的思维习惯与意识。
三、核心素养渗透点分析
“烙饼问题”属于“数学广角”里的内容,作为“数学广角”,应把教学的重点放在探索、建立模型的过程和体验数学思想方法的应用上,抽象、推理、模型,几乎体现在“数学广角”每个内容中,而这些恰好是落实数学学科核心素养目标的体现。
《烙饼问题》蕴含了很多数学思想方法:
优化、模型、推理、化归等,本节课需要重点落实的核心素养是模型思想。
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径,它的最本质特征是模型的建立和问题的求解。
可以说,烙饼问题就是一个理想的建模问题,纵观整个解决问题的过程,从情境创设、信息解读,到探究烙三张饼的最优方案、推理得到多张饼的最优烙法及规律,再到解决实际问题,实际上就是一个模型假设、模型准备、模型构建、模型求解、模型检验、模型应用的过程,尽管学生体会不到两者间的联系,但是在这个过程中,无时无刻都在强化数学建模核心素养的培养。
那么在教学实践中,具体该怎样渗透学科德育和核心素养呢?
具体的教学设计如下。
四、教学实施过程
一、解读信息,建模准备
师:
课前聊到烙饼,烙饼中也有数学问题,今天我们就一起研究烙饼问题。
小红一家也特别喜欢烙饼,那该怎么烙呢?
请看,认真观察,从图中你能获得哪些数学信息?
生回答。
师:
那我们重点理解一下这些信息。
最多的意思是什么?
两面都要烙什么意思?
学生理解关键句。
师:
根据这些信息,想想看,1张饼烙几次?
多少分钟?
2张饼怎么烙?
学生回答,课件出示:
师:
认真观察,你发现了什么?
生:
烙2张和烙1张的时间相同。
师:
为什么烙两张饼和烙一张饼时间是一样的呢?
生:
两张饼是同时烙的,锅里没有空余,烙一张饼的时候是一面一面烙的,锅里有空余。
师:
看来,同时烙,锅里没有空余的时候才能做到节省时间。
师:
爸爸妈妈和我各一张,说明需要烙几张饼?
师:
尽快是什么意思?
学生回答。
师:
好,看来都理解了这些信息。
“为什么只烙3张”,那这三张饼怎样烙最省时呢?
想不想试一试?
【核心素养(模型思想)渗透点:
解读数学信息的过程实际上就是模型假设和建模准备的过程,因此,引导学生理解数学信息的内涵是非常关键的。
这个环节的基本任务就在于引导学生弄清以下信息:
每次最多只能烙2张、每张饼2面都要烙、每面烙3分钟,并根据这些信息思考如何烙1张饼、2张饼,体会同时烙可以节省时间。
与此同时,提出核心问题:
为什么只烙3张饼?
怎样才能尽快吃上饼?
为探究三张饼的最优烙法和后面学生的恍然大悟埋下伏笔。
】
【学科德育(思维严谨)渗透点:
在审题时,不走过场,不泛泛而谈,而是通过课件标注的方式,引导学生重视问题成立的条件,不但关注显性的,还留意并挖掘隐性的数学信息,思考出1张饼、2张饼的烙法。
】
二、合作学习,模型构建
1.独立探究
师:
请独立完成自主记录单上的题。
学生思考、操作、填写,教师巡视。
2.全班交流
师:
3张饼怎么烙?
生:
我第一次烙饼1、饼2的正面,第二次烙饼1、饼2的反面,第三次烙饼3的正面,第四次烙饼3的反面,用了12分钟。
师:
为了便于研究,我把他的烙法放到了屏幕上。
认真观察,12分钟是最少时间吗?
为什么?
生:
不是,因为后面两次只烙1张饼,锅的一半空着。
师:
是的,烙两张饼的经验告诉我们,锅里没有空余才会让时间最省。
而这里有空余,12分钟烙法所以不是最省的。
那么,有没有可能烙3张饼锅里始终不空呢?
生:
有。
师:
有的同学已经想到了方法,但对于答案是12分钟的同学来说,这还是一个猜想。
那请同桌两人互相说一说,怎样安排,才能让烙3张饼时锅里始终不空。
同桌交流后全班交流。
师:
谁来边摆边说你是怎么烙的?
生(边操作边说):
第一次烙饼1、饼2的正面;然后取出饼2,放入饼3,第二次烙饼1的反面和饼3的正面;饼1烙好了,取出饼1,放入饼2,第三次烙饼2和饼3的反面,一共用9分钟。
学生回答后,课件动画演示烙法。
师:
这位同学把这种烙法用图表示出来了(出示学生的探究单)。
谁来看图说一说他是怎么烙的。
学生回答。
师:
相比较而言,3次轮换着烙的方法,你认为哪一次要特别引起重视?
生:
第二次,把2号饼换3号饼。
师:
是的,第1次必然是烙前2张饼的正面,第3次一定是烙后两张饼的反面,那么第2次呢?
生:
饼1的反面和饼3的正面,放在第2次。
师:
对,在这个过程中,我们是调整了饼面的顺序,采用轮换的方法使每次都烙2张,让锅里始终没有空余,做到充分利用了空间!
给这种烙法起个名字吧!
生起名字。
板书:
轮换烙
(三)深化认识
师:
想想看,9分钟是不是最少的时间?
为什么?
生1:
从图上看出,锅一直不空,所以是最快的。
生2:
3张饼有6个面,每次烙2个面,必须要烙3次才能完成任务,所以,要3×3=9分钟。
师:
从面的角度上去考虑,烙饼实质上就是在烙面!
原来最优方案只要这样思考就行了。
【核心素养(模型思想)渗透点:
以上问题探究的过程,就是烙饼问题模型构建、求解的过程。
在这个过程中,让学生独立地去经历烙饼的过程,主动地去探究烙3张饼的最优方案,通过操作、演示、表示、解释,不断强化3次烙完3张饼的轮换过程,体会求异、求优的优化思想,认识统筹优化的关键,体验问题解决策略的多样性。
同时启动问题“为什么用时9分钟是最少的?
”,对最优的思考过程作出了更数学化的回应,引导学生关注了最佳方案思考过程的优化。
】
【学科德育(思维严谨)渗透点:
1.独立思考是有效交流的前提,自主探究单为学生展现表征的多样化创造了条件。
2.整个探究三张饼最优方案的过程中,学生始终处于积极主动、不断思考的状态中,通过关键问题的引领,如:
12分钟是最少时间吗?
为什么?
怎样安排,才能让烙3张饼时锅里始终不空?
9分钟是不是最少的时间?
等等,实现了智慧碰撞、思维提升,促进了学生对最优方案的理解与内化,培养了思维的缜密性。
】
(四)规律探索
师(配合课件):
回头看刚才的研究过程,从信息中我们已经知道了2两张饼的烙法:
同时烙、烙两次、6分钟,接着重点研究了3张饼的最优烙法:
轮换烙、烙三次、9分钟。
那烙4张、5张、6张、7张……更多张饼,最少多少分钟,能利用烙2张饼、3张饼的经验推出来吗?
学生小组讨论。
全班交流。
学生回答,教师适时点拨、提升。
师:
这位同学在烙的时候,无形中把4张饼转化成了两张两张同时烙。
那还有哪些张饼也可以这样两张两张的烙,表示成几个2的形式?
结合学生回答,依次出示那6、8、10张饼的烙法。
师:
那单数张饼呢?
3张饼已经研究了?
5张饼最短用几分钟?
怎么烙?
生:
先烙3张,再烙2张。
师:
也就是把5张饼的问题,巧妙的转化成了3张饼的轮换烙和2张饼的同时烙,结合着烙,咱们也可以表示成3+2。
师:
你们真是太会推理了,那还有哪些张饼也可以转化成3张饼的轮换烙和2张饼的同时烙相结合的方法呢?
生:
7张饼,9张饼。
师:
怎么烙的?
生:
7张饼是3+2+2,9张饼是3+2+2+2。
师:
那我们整体来看,在大于1张饼的时,双数张饼都是怎么烙的?
生:
2张2张来烙的。
师:
也就是几个2的和,那单数张饼呢?
生:
先烙3张饼,再2张2张的烙。
师:
对呀,也就是3加几个2的和。
师:
看来大家已经能够从整体的角度出发,运用转化的方法寻找优化方案了。
那同学们想一想,为什么课本上重点让我们研究3张饼呢?
看能不能想明白喽。
交流后,教师追问:
师:
哪些张数一开始就不用探究?
为什么?
生:
2张、4张、6张,双数张不用探究,都是两张两张烙的。
师:
那么单数张,3张优化了,5张、7张还要探究吗?
为什么?
生:
因为双数张饼都可以通过2张饼的经验推出来,而单数张饼是转化成3加几个2的形式来烙的。
师:
现在我们终于明白了为什么题目只要我们“烙3张”。
原来大于1的数不是几个2的和,就是3加几个2的和。
看来,我们研究这类问题的时候,要善于从整体出发,抓住关键问题,采用轮换策略,统筹安排,就能顺利解决并优化很多问题。
【核心素养(模型思想)渗透点:
所谓“统筹”,顾名思义就是从系统的整体入手,筹划安排。
这常常是运筹学解决问题的基本策略。
在这个模型检验的过程中,启发学生在已有结论的基础上,通过推理将未知转化为已知,分类讨论,归纳总结,并回过头来体会例题的用意,呼应审题时抛出的悬念,凸显问题解决的整体思考,这对模型的构建和优化思想的渗透大有裨益。
】
【学科德育(思维严谨)渗透点:
研究规律环节学生由操作学具到摆脱学具、由动作思维到抽象思维,通过独立思考、小组合作、对比分析,逐步推理出烙多张饼的最优方法,层层深入,做到了思维缜密、有理有据。
】
三、巩固提升,模型应用
师:
我们探究得到的优化方法在生活中有什么用呢?
怎么用?
请看这些实际问题。
1.复印问题。
出示,学生读题。
学生解释。
师:
对比着烙饼问题看,烙饼问题是每次最多烙2张、3张饼、烙2面,这道题呢?
生:
这道题是3张纸、2面都要印、每次最多放2张。
2.游戏问题。
出示,学生读题。
学生解释。
师:
对比着烙饼问题看,这道题呢?
生:
这道题是3人玩、每人玩2局、最多2人玩。
3.对比深化
师:
发现了什么?
生:
问题的类型都差不多。
师(结合课件):
像这一类问题,还有很多,比如上菜问题、等候问题等等,他们的情境虽然不一样,但问题的结构都是一样的。
我们不妨把这一类问题称之为烙饼问题。
解决这些问题时都需要从整体出发,用轮换的方法统筹安排,优化解决方案。
而优化的思想是运筹学的范围。
我国著名的数学家华罗庚爷爷就是研究这方面专家,他最早在我国提出了“优选法”理论,为人们节约资源、提高效率作出了巨大贡献。
【核心素养(模型思想)渗透点:
数学模型从情境中来,也要回归到情境中去,用它解决生活中的实际问题。
可以说,学习数学的意义就在于能够对现实生活中的实际问题提出有效的解决方案,用数学模型解决实际问题。
就“烙饼问题”而言,可将其拓展到相应的一类题,如上次问题、加水问题、复印问题等,在这个模型应用的过程中,通过对信息的摘录、排列,便于学生对照、比较,理解情境变换后不同问题的内在联系,体会模型思想的应用,促进数学建模的核心素养的形成。
】
【学科德育(思维严谨)渗透点:
通过对烙饼问题、复印问题、游戏问题的分析、比较、沟通、提炼,让学生更深层次的体会和理解数学与外部世界的联系,培养学生透过现象看本质的洞察力,形成思维严密、不偏不倚的个性品质。
】
四、回顾整理,模型拓展
师:
这节课我们研究了什么?
学生回答。
师:
当每次最多只能烙2张饼时,它的倍数2、4、6、……张饼不用研究,只要研究3张饼,然后3加几个2……都解决了。
那如果换大一点的锅,当每次最多只能烙3张饼时,想想看,哪些张饼并不用研究了?
需要研究几张饼?
怎么优化?
有兴趣的同学课下研究。
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