立体几何难题解析附有答案详解.docx
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立体几何难题解析附有答案详解
立体几何试题分析
[设计思路]围绕前两年高考试题的类型以及常考的知识点和解题方法设计,通过对2005和2006浙江省立体几何试题及2006年部分省市的试题的研究大致预测2007年立体几何试题的类型。
[设计理念]略[考点回顾]常考的知识点有线面平行、垂直;两个平面垂直的判定和性质;线线角、线面角、二面角;向量坐标运算;线面角公式、二面角公式、点到平面的距离。
考查的(能力)方法有:
逻辑推理能力;空间想象能力。
、2005——2006浙江省试题分析
1、(2005浙江18).如图,在三棱锥P—ABC中,AB丄BC,AB=BC=kFA,点0、D分别是AC、PC的中点,OP丄底面ABC.
求证:
OD//平面PAB
[简析]:
本题考查的知识点有:
线面平行的判定;线线角、线面角、二面角;两个平面垂直的判定和性质;向量坐标运算;线面角公式。
考查的(能力)方法有:
逻辑推理能力;空间想象能力。
[试题结构]:
以底面是等腰直角三角形的三棱锥为载体结合线面垂直,以及面面
垂直,证明线面平行,求线面角,并由点的垂足的位置确定参数k的值。
1、(2005浙江18).解:
2、(2006浙江17)如图,在四棱锥PABCD中,底面为直角梯形,AD//BC,
BAD90,
PA丄底面ABCD,且PAADAB2BC,M、N分别为PC、PB的中点.
(I)求证:
PBDM;
(n)求CD与平面ADMN所成的角。
[简析]:
本题考查的知识点有:
空间线线、线面关系、空间向量的概念;。
考查的(能力)方法有:
逻辑推理能力;空间想象能力。
[试题结构]:
以底面是直角梯形的四棱锥为载体,结合线面垂直及特殊的线段长度关系,证明两异面直线垂直,并求线面角。
2、(2006浙江17)解:
方法一:
(1)因为N是PB的中点,PAPB,所以ANPB.
因为AD平面PAB,所以ADPB,从而PB平面ADMN.
因为DM平面ADMN,所以PBDM.
(II)取AD的中点G,连结BG、NG,则
BG//CD,
所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面
ADMN所成的角相等.
因为PB平面ADMN,
在RtBGN中,sinBNG
BG5
所以BGN是BG与平面ADMN所成的角•
方法二:
如图,以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz,设BC1则
A(0,0,0),P(0,0,2),B(2,0,0),C(2,1,0),M(1,丄,1),D(0,2,0)
2
•怖
arcsin
、2006年其他省市(部分)试题分析
1,(福建18)
如图,四面体ABCD中,0、E分别是BD、BC的中点,
CACBCDBD2,ABAD,2.
(I)求证:
AO平面BCD;
(II)求异面直线AB与CD所成角的大小;
(III)求点E到平面ACD的距离。
[简析]:
本题考查的知识点有:
直线与平面的位置
关系、异面直线所成的角以及点到平面的距离。
考查的(能力)方法有:
逻辑推理能力;空间想象能力和运算能力。
[试题结构]:
以一个特殊结构的四面体(三棱锥)为载体,考查线面垂直,并求
两异面直线所成的角和点到平面的距离。
M
D
O
1、(福建18)解:
方法一:
(I)证明:
连结OC
QBODO,ABAD,AOBD.
QBODO,BCCD,COBD.
在AOC中,由已知可得AO1,CO,3.
而AC2,AO2CO2AC2,AOC90°,即AOOC.
QBDIOCO,AO平面BCD
(II)解:
取AC的中点M,连结OM、ME、OE,由E为BC的中点知
ME//AB,OE/DC
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在OME中,
1迈1
EM-AB,OE-DC1,
222
1
QOM是直角AOC斜边AC上的中线,OM—AC1,
2
cosOEM,
4
异面直线AB与CD所成角的大小为
2
arccos
4
(III)解:
设点E到平面ACD的距离为h.
2
AO.SCDE
SACD
1辽
2
7
点E到平面ACD的距离为
7
方法
(I)同方法
(II)解:
以O为原点,如图建立空间直角坐标系,贝UB(1,0,0),D(1,0,0),
C(0,、3,0),A(0,0,1),E(1J,O),BA(1,0,1),CD(1,3,0).
22
uurmurcosBA,CD
-uuu-
-UUUh
BA
CD
4
(III)解:
设平面ACD
rUULT
n.AD(x,y,z).(1,0,1)0,
rUULT-
n.AC(x,y,z).(0,、、3,1)0,
xz0,
\3yz0.
令y1,得n(J3,1,J3)是平面ACD的一个法向量。
uuu1、、3
又EC(,,0),点E到平面ACD的距离
22
uuur
EC.n73^21
h—r—.
n万7
、2007年试题的结构(仅仅是可能性)
要点:
根据对前两年的高考试卷的分析并结合我们的体会,我们认为2007年的立体几何大题,可以从这几个方面来考虑,首先以什么为载体,是锥体还是柱体,若是锥体,那么是三棱锥呢还是四棱锥?
若是柱体呢?
已经有好几年考锥体了,今年考柱体的可能性是否在增大呢?
但这载体其实不是最重要的,最重要的是由哪些知识点组合给出题目的条件,一般来讲,给出线面垂直,面面垂直这样的关系是比较常见的,也可以结合线面关系和面面关系(如平行、垂直)。
前面的三个例子都是这样的。
再者求(证)什么?
证明的一般是线面平行或线面垂直、线线垂直,少数情况下证明面面垂直。
所求多数情况下是线面角、二面角,距离,当然两条异面直线所成的角有时也会考的。
距离这个内容浙江省已经有几年没考了,这并不说明它不重要,其他省去年也有考(如福建)。
今年会不会考?
我们认为可能性比较大,那么考什么距离/线面距离、面面距离还是点面距离,由于立体几何中的五个距离都可以转化为点面距离,并且用向量运算时点面距离有公式可用,因此若考距离,则点面距离考的可能性相对较大。
[例题]:
如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,ABBCAA,2,且ABC90,O为
A1C的中点•
(I)证明:
B,C,A,B;
(H)求O到平面ABB1A1的距离;
(川)求ABi与平面ABC所成的角
解(I)由已知此三棱柱为直三棱柱,•••BB1丄B1C1,又•••ABC90,故,A1B1丄BiCi,
于疋BiCi丄平面ABBiAi,…BiCiAiB。
(□)•••BC//BiCi且BC=BiCi•BC丄平面ABBiAi,于是点C平面ABBA的距离为2,而0为A,C中点,二O到C平面ABBA的距离为i。
(川)由BC丄平面ABBiAi得到平面AiBC丄平面ABBiAi,取AiB中点D,•••ABAAi2,BiD丄AiB,•BiD丄平面AiBC.•./BiAiB就是
AiBi与平面A,BC所成的角•而/BiAiB=450,因此AiBi与平面AiBC所成的角是45°。
解:
(向量法)由已知可分别以BC、BA、BBi为x、y、z轴,以点B为原点。
则各点的坐标分别是A(0,2,0),B(0,0,0),C(2,0,0),人(0,2,2),
Bi(0,0,2),G(2,0,2)
(I)BA(0,22)B1C1(2,0,0),/.BA?
BQ0,从而B1C1A1B
(n)因为O是AC的中点,•••O(1,1,1),AO(1,1,1)而平面ABB1A1的
_n1?
A1O
法向量是(1,0,0)O到平面ABB1A1的距离d;——1
(川)由A,。
(1,1,1),BC(2,0,0),设平面ABC的法向量是n2(x,y,z),
则
2,0),设A1B1与平面A1BC所成的角为,则
有A1O?
n2xyz0以及BC?
n22x0得n2(0,1,1)。
另一方
n2
面A1B1
所以=450,即A1B1与平面A1BC所成的角
sin
是45°。
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