中考数学最新中考数学考点总动员系列专题28尺规作图.docx
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中考数学最新中考数学考点总动员系列专题28尺规作图
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【中考数学】2019-2020最新中考数学考点总动员系列专题28尺规作图
______年______月______日
____________________部门
聚焦考点☆温习理解
1.尺规作图的作图工具限定只用圆规和没有刻度的直尺
2.基本作图
(1)作一条线段等于已知线段,以及线段的和﹑差;
(2)作一个角等于已知角,以及角的和﹑差;
(3)作角的平分线;
(4)作线段的垂直平分线;
(5)过一点作已知直线的垂线.
3.利用基本作图作三角形
(1)已知三边作三角形;
(2)已知两边及其夹角作三角形;
(3)已知两角及其夹边作三角形;
(4)已知底边及底边上的高作等腰三角形;
(5)已知一直角边和斜边作直角三角形.
4.与圆有关的尺规作图
(1)过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆);
(2)作三角形的内切圆;
(3)作圆的内接正方形和正六边形.
5.有关中心对称或轴对称的作图以及设计图案是中考的常见类型
6.作图的一般步骤
尺规作图的基本步骤:
(1)已知:
写出已知的线段和角,画出图形;
(2)求作:
求作什么图形,它符合什么条件,一一具体化;
(3)作法:
应用“五种基本作图”,叙述时不需重述基本作图的过程,但图中必须保留基本作图的痕迹;
(4)证明:
为了验证所作图形的正确性,把图作出后,必须再根据已知的定义、公理、定理等,结合作法来证明所作出的图形完全符合题设条件;
(5)讨论:
研究是不是在任何已知的条件下都能作出图形;在哪些情况下,问题有一个解、多个解或者没有解;
(6)结论:
对所作图形下结论.
名师点睛☆典例分类
考点典例一、画三角形
【例1】如图,已知线段a及∠O,只用直尺和圆规,求作△ABC,使BC=a,∠B=∠O,∠C=2∠B.(在指定作图区域作图,保留作图痕迹,不写作法)
【答案】作图见解析
【解析】
试题分析:
先作一个角等于已知角,即∠MBN=∠O,在边BN上截取BC=a,以射线CB为一边,C为顶点,作∠PCB=2∠O,CP交BM于点A,△ABC即为所求.
试题解析:
如图所示:
考点:
作图—复杂作图.
【点睛】
(1)作三角形包括:
①已知三角形的两边及其夹角,求作三角形;②已知三角形的两角及其夹边,求作三角形;③已知三角形的三边,求作三角形;
(2)求作三角形的关键是确定三角形的顶点;而求作直角三角形时,一般先作出直角,然后根据条件作出所求的图形.
【举一反三】
1.(20xx.山东青岛第15题,6分)已知:
线段,直线外一点A.
求作:
Rt△ABC,使直角边为AC(AC⊥,垂足为C)斜边AB=c.
【答案】略.
【解析】
试题分析:
首先作出AB⊥l,然后以A为圆心,c的长度为半径画弧,与直线l的交点的就是点C.
试题解析:
考点:
作图.
2.已知:
线段a、c和∠β(如图),利用直尺和圆规作△ABC,使BC=a,AB=c,∠ABC=∠β.(不写作法,保留作图痕迹).
【答案】作图见解析.
【解析】
试题分析:
先作∠MBN=∠β,再在∠MBN的两边上分别截取BC=a,AB=c,连接AC即可.
试题解析:
考点:
作图—基本作图.
考点典例二、应用角平分线、线段的垂直平分线性质画图
【例2】两个城镇A、B与两条公路l1、l2位置如图所示,电信部门需在C处修建一座信号发射塔,要求发射塔到两个城镇A、B的距离必须相等,到两条公路l1,l2的距离也必须相等,那么点C应选在何处?
请在图中,用尺规作图找出所有符合条件的点C.(不写已知、求作、作法,只保留作图痕迹)
【答案】作图见解析
考点:
作图—应用与设计作图.
【点睛】本题借助实际场景,考查了几何基本作图的能力,考查了线段垂直平分线和角平分线的性质及应用.
【举一反三】
1.(20xx.陕西省,第17题,5分)(本题满分5分)如图,已知△ABC,请用尺规过点A作一条直线,使其将△ABC分成面积相等的两部分,(保留作图痕迹,不写作法)
【答案】见下图.
试题解析:
考点:
作图(复杂作图)、三角形的中线的性质.
2.(20xx.山东淄博,第19题)如图,在△ABC中,AB=4cm,AC=6cm.
(1)作图:
作BC边的垂直平分线分别交与AC,BC于点D,E(用尺规作图法,保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在
(1)的条件下,连结BD,求△ABD的周长.
【答案】
(1)作图见解析;
(2)10cm.
【解析】
试题分析:
(1)运用作垂直平分线的方法作图;
(2)运用垂直平分线的性质得出BD=DC,利用△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC即可求解.
试题解析:
:
(1)如图1,
(2)如图2,
∵DE是BC边的垂直平分线,
∴BD=DC,
∵AB=4cm,AC=6cm.
∴△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+AC=4+6=10cm.
考点:
用尺规作线段垂直平分线的方法;线段垂直平分线的性质.
考点典例三、通过画图确定圆心
【例3】如图,在△ABC中,先作∠BAC的角平分线AD交BC于点D,再以AC边上的一点O为圆心,过A,D两点作⊙O(用尺规作图,不写作法,保留作图痕迹,并把作图痕迹用黑色签字笔加黑)
【答案】
【解析】
试题分析:
先作出角平分线AD,再作AD的中垂线交AC于点O,O就是⊙O的圆心,作出⊙O,
试题解析:
作出角平分线AD,
作AD的中垂线交AC于点O,
作出⊙O,
∴⊙O为所求作的圆.
考点:
作图—复杂作图.
【点睛】本题考查了复杂的尺规作图,角平分线,线段中垂线及圆,解题的关键是找准圆周心作出圆.
【举一反三】
1.(20xx·湖北孝感)(本题满分8分)
如图,一条公路的转弯处是一段圆弧().
(1)用直尺和圆规作出所在圆的圆心;(要求保留作图痕迹,不写作法)(4分)
(2)若的中点到弦的距离为m,m,求所在圆的半径.(4分)
【答案】
(1)如图;
(2).
【解析】
试题分析:
(1)根据垂经定理画图,连接AC,AB分别做AC,AB的垂直平分线,交点就是圆心O;
(2)根据垂径定理,连接,交于D,在Rt中,由勾股定理建立等式关系,求出答案.
试题解析:
解:
(1)作图如图所示;
考点:
作图,弧.
2.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC的角平分线AD交BC边于D.
(1)以AB边上一点O为圆心,过A,D两点作⊙O;(用圆规、直尺作图,不写作法,但要保留作图痕迹)
(2)判断直线BC与⊙O的位置关系,直接写出结论,不用说明理由.
【答案】
(1)作图见解析;
(2)相切
【解析】
试题分析:
(1)作AD的垂直平分线交AB于点O,O为圆心,OA为半径作圆;
(2)BC与⊙O相切,连接OD,由OD=OA,则∠ODA=∠OAD,因为∠BAC的角平分线AD交BC边于D,所以∠OAD=∠CAD,再利用三角形的内角和定理即可证明∠ODC=90°,即BC是圆的切线.
试题解析:
(1)如图,⊙O为所求;
考点:
切线的判定;作图—复杂作图.
课时作业☆能力提升
一、选择题
1.用直尺和圆规作一个角等于已知角,如图,能得出∠A′O′B′=∠AOB的依据是()
A.SAS B.SSS C.ASA D.AAS
【答案】B.
④过点D′作射线O′B′.
所以∠A′O′B′就是与∠AOB相等的角;
作图完毕.
在△OCD与△O′C′D′,
∴△OCD≌△O′C′D′(SSS),
∴∠A′O′B′=∠AOB,
显然运用的判定方法是SSS.
故选:
B.
答案:
作图—基本作图;全等三角形的判定与性质.
2.(20xx.山东潍坊,第9题,3分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步骤作图:
第一步,分别以点A、D为圆心,以大于的长为半径在AD的两侧作弧,交于两点M、N;第二步,连结MN,分别交AB、AC于点E、F;第三步,连结DE、DF..若BD=6,AF=4,CD=3,则BE的长是()
A.2B.4C.6D.8
【答案】D
【解析】
试题分析:
根据作图的步骤和条件可得:
四边形AEDF是菱形,所以AE=AF=DE=DF=4,又DE//AC,所以,所以,所以BE=8,故选:
D.
考点:
1.菱形的判定与性质;2.平行线分线段成比例定理.
3.(20xx.河南省,第7题,3分)如图,在□ABCD中,用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E,若BF=6,AB=5,则AE的长为().
A.4B.6C.8D.10
【答案】C.
【解析】
试题分析:
设AG与BF交点为O,∵AB=AF,AG平分∠BAD,AO=AO,∴可证△ABO≌△AFO,∴BO=FO=3,∠AOB=∠AOF=90º,AB=5,∴AO=4,∵AF∥BE,∴可证△AOF≌△EOB,AO=EO,∴AE=2AO=8,故选C.
考点:
角平分线的作图原理和平行四边形的性质.
4.如图,AD为⊙O的直径,作⊙O的内接正三角形ABC,甲、乙两人的作法分别如下:
甲:
①作OD的垂直平分线,交⊙O于B,C两点.
②连接AB,AC.△ABC即为所求作的三角形.
乙:
①以D为圆心,OD的长为半径作圆弧,交⊙O于B,C两点.
②连接AB,BC,CA.△ABC即为所求作的三角形.
对于甲、乙两人的作法,可判断()
A.甲、乙均正确B.甲、乙均错误
C.甲正确,乙错误D.甲错误,乙正确
【答案】A.
由乙的思路画出相应的图形,连接OB,BD,由BD=OD,且OB=OD,等量代换可得出三角形OBD三边相等,即为等边三角形,的长∠BOE=∠DBO=60°,由BC垂直平分OD,根据三线合一得到BE为角平分线,可得出∠OBE为30°,又∠BOE为三角形ABO的外角,且OA=OB,利用等边对等角及外角的性质得到∠ABO也为30°,可得出∠ABC为60°,同理得到∠ACB也为60°,利用三角形的内角和定理得到∠BAC为60°,即三角形ABC三内角相等,进而确定三角形ABC为等边三角形,进而得出两人的作法都正确.
试题解析:
根据甲的思路,作出图形如下:
连接OB,
∵BC垂直平分OD,
∴E为OD的中点,且OD⊥BC,
∴OE=DE=OD,又OB=OD,
在Rt△OBE中,OE=OB,
∴∠OBE=30°,又∠OEB=90°,
∴∠BOE=60°,
∵OA=OB,∴∠OAB=∠OBA,
又∠BOE为△AOB的外角,
∴∠OAB=∠OBA=30°,
∴∠ABC=∠ABO+∠OBE=60°,
同理∠C=60°,
∴∠BAC=60°,
∴∠ABC=∠BAC=∠C,
∴△ABC为等边三角形,
故甲作法正确;
根据乙的思路,作图如下:
连接OB,BD,
∵OD=BD,OD=OB,
∴OD=BD=OB,
∴△BOD为等边三角形,
∴∠OBD=∠BOD=60°,
又BC垂直平分OD,∴OM=DM,
∴BM为∠OBD的平分线,
∴∠OBM=∠DBM=30°,
又OA=OB,且∠BOD为△AOB的外角,
∴∠BAO=∠ABO=30°,
∴∠ABC=∠ABO+∠OBM=60°,
同理∠ACB=60°,
∴∠BAC=60°,
∴∠ABC=∠ACB=∠BAC,
∴△ABC为等边三角形,
故乙作法正确,
故选A
考点:
垂径定理;等边三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形.
二、填空题
1.如图,BC与CD重合,∠ABC=∠CDE=90°,△ABC≌△CDE,并且△CDE可由△ABC逆时针旋转而得到.请你利用尺规作出旋转中心O(保留作图痕迹,不写作法,注意最后用墨水笔加黑),并直接写出旋转角度是.
【答案】90°.
【解析】
试题分析:
分别作出AC,CE的垂直平分线进而得出其交点O,进而得出答案.
试题解析:
如图所示:
旋转角度是90°.
考点:
作图-旋转变换.
2.如图,在△ABC中,按以下步骤作图:
①分别以B,C为圆心,以大于BC的长为半径作弧,两弧相交于M,N两点;
②作直线MN交AB于点D,连接CD,若CD=AC,∠B=25°,则∠ACB的度数为
【答案】105°.
【解析】
试题分析:
首先根据题目中的作图方法确定MN是线段BC的垂直平分线,然后利用垂直平分线的性质解题即可.
考点:
作图—基本作图;线段垂直平分线的性质.
3.如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,分别以A、C为圆心,大于AC长为半径画弧,两弧相交于点M、N,连结MN,与AC、BC分别交于点D、E,连结AE,则:
(1)∠ADE=;
(2)AEEC;(填“=”“>”或“<”)
(3)当AB=3,AC=5时,△ABE的周长=
【答案】
(1)90°;
(2)=;(3)7.
【解析】
试题分析:
(1)由作图可知,MN是线段AC的垂直平分线,故可得出结论;
(2)根据线段垂直平分线的性质即可得出结论;
(3)先根据勾股定理求出BC的长,进而可得出结论.
试题解析:
(1)∵由作图可知,MN是线段AC的垂直平分线,
∴∠ADE=90°.
(2)∵MN是线段AC的垂直平分线,
∴AE=EC.
(3)∵在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=3,AC=5,
∴BC==4,
∵AE=CE,
∴△ABE的周长=AB+BC=3+4=7.
考点:
线段垂直平分线的性质;勾股定理的应用.
4.(20xx.河北省,第22题,10分)(本小题满分10分)
嘉淇同学要证明命“两相对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的,她先用尺规作出了如图的四边形ABCD,并写出了如下不完整的已知和求证.
已知:
如图,在四边形ABCD中,
BC=AD,
AB=____.
求证:
四边形ABCD是____四过形.
(1)在方框中填空,以补全已知和求证;
(2)按嘉淇的想法写出证明:
证明:
(3)用文宇叙述所证命题的逆命题为____________________.
【答案】
(1)CD;平行
【解析】
试题分析:
平行四边形的判定,除要熟记判定定理内容外,还有注重定理的由来.
试题解析:
(1)略;
(2)证明:
连接BD.
在△ABD和△CDB中,
∵AB=CD,AD=CB,BD=DB,
∴△ABD≌△CDB.∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴AB//CD,AD//CB,∴四边形ABCD是平行四边形.
(3)平行四边形的对边相等
考点:
平行四边形的判定,全等三角形的判定
三、解答题
1.(20xx.青岛)如图,在△ABC中,AB=BC,点点D在AB的延长线上.
(1)利用尺规按下列要求作图,并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹,不写作法).
①作∠CBD的平分线BM;
②作边BC上的中线AE,并延长AE交BM于点F.
(2)由
(1)得:
BF与边AC的位置关系是
【答案】
(1)作图见解析;
(2)BF∥AC.
【解析】
试题分析:
(1)①利用角平分线的作法得出BM;
②首先作出BC的垂直平分线,进而得出BC的中点,进而得出边BC上的中线AE;
(2)利用三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质得出即可.
试题解析:
(1)①如图所示:
BM即为所求;
②如图所示:
AF即为所求;
(2)∵AB=BC,
∴∠CAB=∠C,
∵∠C+∠CAB=∠CBD,∠CBM=∠MBD,
∴∠C=∠CBM,
∴BF∥AC.
考点:
作图—复杂作图;三角形的外角性质;等腰三角形的性质.
2.(20xx.山东济宁,第19题,8分)(本题满分8分)
如图,在△ABC中,AB=AC,∠DAC是△ABC的一个外角.
实践与操作:
根据要求尺规作图,并在图中标明相应字母(保留作图痕迹,不写作法).
(1)作∠DAC的平分线AM;
(2)作线段AC的垂直平分线,与AM交于点F,与BC边交于点E,连接AE、CF.
猜想并证明:
判断四边形AECF的形状并加以证明.
【答案】
【解析】
试题分析:
(1)根据题意画出图形即可;
(2)首先根据等腰三角形的性质与三角形内角与外角的性质证明∠ACB=∠FAC,进而可得AF∥BC;然后再根据线段的垂直平分线的性质可知:
OA=OC,∠AOF=∠COE=90°,AE=EC,FA=FC,由OA=OC,∠AOF=∠COE=90°,∠CAM=∠ACB可证明AOF≌△COE,即可得到AF=EC.因此可由AF∥BC,AF=EC,得证四边形AECF是平行四边形.最后可由AC⊥EF得证结论:
菱形.
试题解析:
(1)
(2)猜想:
四边形AECF是菱形
证明:
∵AB=AC,AM平分∠CAD
∴∠B=∠ACB,∠CAD=2∠CAM
∵∠CAD是△ABC的外角
∴∠CAD=∠B+∠ACB
∴∠CAD=2∠ACB
∴∠CAM=∠ACB
∴AF∥CE
∵EF垂直平分AC
∴OA=OC,∠AOF=∠COE=
∴AOF≌△COE
∴AF=CE
在四边形AECF中,AF∥CE,AF=CE
∴四边形AECF是平行四边形
又∵EF⊥AC
∴四边形AECF是菱形
考点:
角平分线,线段的垂直平分线的基本作图,等腰三角形的内外角,三角形全等,菱形的判定
3.(20xx.××市,第18题,3分)如图,在每个小正方形的边长为1的网格中,点A,B,C,D均在格点上,点E,F分别为线段BC,
DB上的动点,且BE=DF.
(Ⅰ)如图①,当BE=时,计算的值等于;
(Ⅱ)当取得最小值时,请在如图②所示的网格中,用无刻度的直尺,画出线段AE,AF,并简要说明点E和点F的位置是如何找到的(不要求证明) .
图①
第(18)题
图②
【答案】(Ⅰ);
(Ⅱ)如图(见试题分析),取格点H、K,连接BH、CK,相交于点P.连接AP,与BC相交于点E.取格点M、N,连接DM、CN,相交于点G.连接AG,与BD相交,得点F.线段AE、AF即为所求.
【解析】
试题分析:
(Ⅰ)在Rt△ABE中,由勾股定理可得AE=;
(Ⅱ)
考点:
勾股定理;三角形全等的判定即性质;最短距离问题.
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